2021年中考数学三轮冲刺：二次函数中四边形存在练习（含答案）

这是一份2021年中考数学三轮冲刺：二次函数中四边形存在练习（含答案），共42页。试卷主要包含了平行四边形的存在问题，矩形的存在问题，菱形的存在问题，正方形存在问题等内容，欢迎下载使用。

二次函数中四边形存在练习
一、平行四边形的存在问题
1．如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；
②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．

2．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（5，0），点C在抛物线上，且直线AC与x轴形成的夹角为45°．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）将满足（2）中到直线AC距离最大时的点P，向下平移4个单位长度得到点Q，将原抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），M为平移后抛物线上的动点，N为平移后抛物线对称轴上的动点，是否存在点M，使得以点C，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，A（﹣2，0），B（4，0），在对称轴右侧的抛物线上有一动点D，连接BD，BC，CD．
（Ⅰ）求抛物线的函数表达式；
（Ⅱ）若点D在x轴的下方，设点D的横坐标为t，过点D作DE垂直于x轴，交BC于点F，用含有t的式子表示DF的长，并写出t的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当△CBD的面积是时，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，其图象与直线y＝x+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为x0，当x0为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．

5．如图所示，抛物线L：y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B（6，0）两点，对称轴为直线x＝2，顶点为E．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）将抛物线L向左平移2个单位长度得到抛物线L'，点M为抛物线L的对称轴上一动点，点N为抛物线L'上一动点．是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

二、矩形的存在问题
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点P为直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△BCP的面积最大，求△BCP的最大面积及此时点P的坐标；
（3）点M为抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，直接写出点M的坐标．

7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0）两点，于y轴交于C点，且OC＝3OB，顶点为D点，连接OD．
（1）求抛物线解析式；
（2）P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值及此时P点坐标．
（3）在（2）问的情况下，把抛物线向右平移两个单位长度，在平移后的新抛物线对称轴上找一个点M，在平面内找一个点N，使以D、P、M、N为顶点的四边形为矩形，请直接写出N点坐标．

8．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D是抛物线上位于直线BC下方的一点．
（1）如图1，连接AD，CD，当点D的横坐标为5时，求S△ADC；
（2）如图2，过点D作DE∥AC交BC于点E，求DE长度的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝x2﹣x+3向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线y'＝ax2+bx+c．新抛物线与原抛物线的交点为点F，G为新抛物线的对称轴上的一点，点H是坐标平面内一点，若以C，F，G，H为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点H坐标．

9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D是抛物线上一点，D点横坐标为3，连接AD，点P为AD上方抛物线上一点，连接PA，PD，请求出△PAD面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线y＝ax2+bx+4沿x轴负半轴方向平移2个单位长度，得到新抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新抛物线与原抛物线交于点M．点N是原抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以点A、M、N、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
三、菱形的存在问题
10．如图，抛物线y＝与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）如图1，连接AC，BC，判断△ABC的形状，说明理由；
（2）如图2，若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥BC交AC于点E，作PQ∥y轴交AC于点Q，求CE+AQ的最小值及此时E点坐标；
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点P，点Q为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点M，使以点A，P，Q，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（0，4）．
（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；
（2）若点F为该抛物线在第一象限内的一动点，求△FCD面积的最大值；
（3）如图2，将抛物线C1向右平移2个单位，向下平移5个单位得到抛物线C2，M为抛物线C2上一动点，N为平面内一动点，问是否存在这样的点M、N，使得四边形DMCN为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，2），交x轴于点A（﹣1，0）和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）求的最大值及此时点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

四、正方形存在问题
13．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0），交y轴于点C（0，4）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线y＝x+与抛物线交于A、D两点，与直线BC交于点E．若点M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．
①当SEOG＝S△AOE时，求m的值；
②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
14．如图1，抛物线y＝ax2﹣5x+c与直线y＝﹣x+4相交于A（4，0），B（0，4）两点．动点C从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA方向运动，设运动的时间为t秒．过点C作CD⊥x轴分别交直线AB于点D，抛物线于点E．
（1）求抛物线y＝ax2﹣5x+c的表达式；
（2）连接AE，当t＝3时，求△ADE的面积；
（3）如图2．当t＝2时，在x轴上存在点F，抛物线上存在点G，直线DE上存在点H，当以C，F，G，H为顶点的四边形是正方形时，求点F的坐标．








二次函数中四边形存在练习
参考答案与试题解析
一、平行四边形存在问题
1．如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；
②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．

【解答】解：（1）∵抛物线经过A（0，1）和点B，
∴，
∴解得：，
∴．
∴该抛物线表达式为．
（2）①由题意可得：直线AB的解析式为，
∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP＝m，
∴P（m，0），，
∴．
②由题意可得：，MN∥BC，
∴当MN＝BC时，四边形BCMN为平行四边形．
1° 当点P在线段OC上时，，
又∵BC＝，
∴．
得m1＝1，m2＝2．
2° 当点P在线段OC的延长线上时，．
∴，
解得 （不合题意，舍去），．
综上所述，当m的值为1或2或时，以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
2．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（5，0），点C在抛物线上，且直线AC与x轴形成的夹角为45°．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）将满足（2）中到直线AC距离最大时的点P，向下平移4个单位长度得到点Q，将原抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），M为平移后抛物线上的动点，N为平移后抛物线对称轴上的动点，是否存在点M，使得以点C，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（5，0），
∴y＝﹣（x+2）（x﹣5），
∴y＝﹣x2+3x+10，
（2）作PH⊥AC于H，PD∥y轴交AC于D点，交x轴于E，
∵∠CAB＝45°，
∴∠PDH＝45°，
∴PD＝，
设P（m，﹣m2+3m+10），
则E（m，0），
∴AE＝m+2，
∴DE＝m+2，
∴PD＝﹣m2+3m+10﹣（m+2）
＝﹣m2+2m+8，
当m＝1时，PD最大为9，
∴PH的最大值为，
即P到AC的最大距离为，
（3）由（2）知：P（1，12），
∴Q（1，8），
∵直线AC：y＝x+2与抛物线y＝﹣（x+2）（x﹣5）交点C坐标为（4，6），
抛物线y＝﹣（x+2）（x﹣5）向右平移2个单位后解析式为：y＝﹣x（x﹣7）＝﹣x2+7x，
∴对称轴为：直线x＝，
当CQ为边时，如图，若C（4，6）平移到N，Q（1，8）平移到M，则M的横坐标为，
将x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，
∴，
当CQ为边时，若C（4，6）平移到M，Q（1，8）平移到N，则M的横坐标为，
将x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，
∴，
当CQ为对角线时，可看作C平移到N，M平移到Q，
∴M的横坐标为，
将x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，
∴，
综上所述：或M（）或M（）．

3．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，A（﹣2，0），B（4，0），在对称轴右侧的抛物线上有一动点D，连接BD，BC，CD．
（Ⅰ）求抛物线的函数表达式；
（Ⅱ）若点D在x轴的下方，设点D的横坐标为t，过点D作DE垂直于x轴，交BC于点F，用含有t的式子表示DF的长，并写出t的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当△CBD的面积是时，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣6得：得，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
（Ⅱ）抛物线的对称轴为直线x＝1，C（0，﹣6），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把B（4，0），C（0，﹣6）代入可得：
'
解得，
∴直线BC的函数表达式为：，
有，则，
∴，其中1＜t＜4；
（Ⅲ），
化简得，
解得t1＝1（舍去），t2＝3，
∴，
①如图2，
当MB∥ND，且MB＝ND时，
四边形BDNM即为平行四边形，
此时MB＝ND＝4，点M与点O重合，四边形BDNM即为平行四边形，
∴由对称性可知N点横坐标为﹣1，将x＝﹣1代入，
解得．
∴此时，四边形BDNM即为平行四边形；
②如图3，
当MN∥BD，且MN＝BD时，四边形BDMN为平行四边形，
过点N做NP⊥x轴，过点D做DF⊥x轴，由题意可得NP＝DF，
∴此时N点纵坐标为，
将y＝代入，
得，解得：，
∴此时或，四边形BDMN为平行四边形，
综上所述，或或．



4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，其图象与直线y＝x+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为x0，当x0为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，
∴对称轴x＝﹣＝＝，
∴b＝，
又∵直线y＝x+2与y轴交于C，
∴C（0，2），
∵C点在抛物线上，
∴c＝2，
即抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵点P的横坐标为x0，且在抛物线上，
∴P（x0，+x0+2），
∵F在直线y＝x+2上，
∴F（x0，x0+2），
∵PF∥CO，
∴当PF＝CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
①当0＜x0＜3时，
PF＝（+x0+2）﹣（x0+2）＝﹣+3x0，
∵OC＝2，
∴﹣+3x0＝2，
解得x01＝1，x02＝2，
即当x0＝1或2时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
②当x0≥3时，
PF＝（x0+2）﹣（+x0+2＝﹣3x0，
∵OC＝2，
∴﹣3x0＝2，
解得x03＝，x04＝（舍去），
即当x0＝时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
综上当x0＝1或2或时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形．


5．如图所示，抛物线L：y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B（6，0）两点，对称轴为直线x＝2，顶点为E．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）将抛物线L向左平移2个单位长度得到抛物线L'，点M为抛物线L的对称轴上一动点，点N为抛物线L'上一动点．是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，即：b＝﹣4a，
∴抛物线解析式为：y＝ax2﹣4ax+3，
∵抛物线经过B（6，0），
∴36a﹣24a+3＝0，
解得：a＝﹣，
∴b＝1，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）存在，理由如下：
∵原抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，顶点为E（2，4），
∴向左平移2个单位后的解析式为：y＝﹣x2+4，
根据题意，设M（2，m），N（n，﹣n2+4），
①当AE为对角线时，根据平行四边形四点的相对位置关系可得：
，
解得：，
∴M1（2，1），N1（﹣2，3），如图所示，四边形AM1EN1为平行四边形；
②当AM为对角线时，根据平行四边形四点的相对位置关系可得：
，
解得：，
∴M2（2，7），N2（﹣2，3），如图所示，四边形AEM2N2为平行四边形；
③当AN为对角线时，根据平行四边形四点的相对位置关系可得：
，
解得：，
∴M3（2，﹣9），N3（6，﹣5），如图所示，四边形AM3N3E为平行四边形；
综上，存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（﹣2，3）或（6，﹣5）．

二、矩形的存在问题
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点P为直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△BCP的面积最大，求△BCP的最大面积及此时点P的坐标；
（3）点M为抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，直接写出点M的坐标．

【解答】解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝3或﹣1，
∴C（0，﹣3），A（﹣1，0），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，﹣3）代入得：
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；
（2）过P作PD∥y轴交BC于D，如图：

设P（m，m2﹣2m﹣3），则D（m，m﹣3），
∴PD＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴△BCP的面积S△BCP＝PD•|xB﹣xC|＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝时，S△BCP最大为，
此时P（，﹣）；
（3）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，分三种情况：
①过B作BM⊥BC交对称轴x＝1于M，如图：

∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴设直线BM解析式为y＝﹣x+n，将B（3，0）代入得：
0＝﹣3+n，解得n＝3，
∴直线BM解析式为y＝﹣x+3，
令x＝1得y＝2，
∴M（1，2）；
②过C作CM⊥BC交对称轴x＝1于M，如图：

同①可得M（1，﹣4）；
③以BC为对角线时，作以BC为直径的圆与对称轴交于M，如图：

设M（1，t），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线CM解析式为y＝（t﹣3）x﹣3，直线BM解析式为y＝﹣x+t，
∵CM⊥BM，
∴﹣•（t﹣3）＝﹣1，解得：t＝或t＝，
∴M（1，）或M（1，）．
综上所述，以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，M坐标为（1，2）或（1，﹣4）或（1，）或（1，）．
7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0）两点，于y轴交于C点，且OC＝3OB，顶点为D点，连接OD．
（1）求抛物线解析式；
（2）P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值及此时P点坐标．
（3）在（2）问的情况下，把抛物线向右平移两个单位长度，在平移后的新抛物线对称轴上找一个点M，在平面内找一个点N，使以D、P、M、N为顶点的四边形为矩形，请直接写出N点坐标．

【解答】解：（1）∵点A（3，0），B（﹣1，0），
∴OA＝3，OB＝1．
∵OC＝3OB，
∴OC＝3．
∴C（0，3）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意得：
．
解得：．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵y＝﹣x2+2x＝3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
过点E作EM⊥OA于M，过点P作PN⊥OA于N，连接EP，如图，

∵DE∥PF，
∴S△DPF＝S△EPF．
∴S四边形DPAF＝S△APF+S△DPF＝S△APF+S△EPF＝S△APE．
设点P（m，﹣m2+2m+3），
则ON＝m，PN＝﹣m2+2m+3．设直线AC的解析式为y＝kx+n，
∴．
解得：．
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+3．
设直线OD的解析式为：y＝dx，
∴d＝4．
∴直线OD的解析式为：y＝4x．
∴．
解得：．
∴E（，）．
∴OM＝，ME＝．
∴MN＝m﹣，NA＝3﹣m．
∵S△APE＝S四边形EMNP+S△ANP﹣S△AME，
∴S△APE＝
＝﹣
＝﹣
＝．
∵，
∴当m＝时，S△APE有最大值．
∴四边形DPAF面积的最大值为．
此时点P的坐标为：（，）．
（3）∵y＝﹣x2+2x＝3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4，对称轴为x＝3．
当四边形DPNM为矩形时，如图，

过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥y轴于H，
则DK＝DE﹣PF＝4﹣＝，KP＝OF﹣OE＝﹣1＝．
易证△DKP≌△MHN．
∴NH＝KP＝，MH＝＝DK＝．
设DP的解析式为y＝ex+f，
∴．
解得：．
∴y＝﹣x+．
∴设直线DM的解析式为y＝2x+n，
∴4＝1×2+n．
∴n＝2．
∴直线DM的解析式为y＝2x+2．
当x＝3时，y＝2×3+2＝8．
∴MG＝8，
∴HG＝MG﹣MH＝．
∴N（）．
当四边形DPNM为矩形时，如图，

过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥y轴于H，
则DK＝DE﹣PF＝4﹣＝，KP＝OF﹣OE＝﹣1＝．
易证△DKP≌△MHN．
∴NH＝KP＝，MH＝DK＝．
设DP的解析式为y＝ex+f，
∴．
解得：．
∴y＝﹣x+．
∴设直线PM的解析式为y＝2x+h，
∴．
∴h＝．
∴直线PM的解析式为y＝2x+．
∴当x＝3时，y＝2×3+＝．
∴MG＝．
∴GH＝MG+MH＝7．
∴N（）．
综上，N点的坐标为：（）或（）．
8．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D是抛物线上位于直线BC下方的一点．
（1）如图1，连接AD，CD，当点D的横坐标为5时，求S△ADC；
（2）如图2，过点D作DE∥AC交BC于点E，求DE长度的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝x2﹣x+3向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线y'＝ax2+bx+c．新抛物线与原抛物线的交点为点F，G为新抛物线的对称轴上的一点，点H是坐标平面内一点，若以C，F，G，H为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点H坐标．

【解答】解：（1）将x＝5代入y＝x2﹣x+3，
得y＝﹣2，
∴D（5，﹣2），
令DC与x轴交点为E，
由题可知：C（0，3），
∴CD直线的表达式：y＝x+3＝﹣x+3，
由此可知E（3，0），且如图1可知，

S△ADC＝S△ACE+S△ADE＝•AE•OC+•AE•|y0|＝×AE（OC+|y0|），
将y＝0代入方程，
x2﹣x+3＝0，
可知A（1，0），B（6，0），
∴AE＝2，
∴S△ADC＝×2×（3+2）＝5，
∴S△ADC＝5；
（2）如图2，

∵方程表达式没有变化，
∴由（1）可知A（1，0），B（6，0），C（0，3），
∴KAC＝﹣3，KBC＝﹣，
∴AC：y＝﹣3x+3，BC：y＝﹣x+3，
∵DE∥AC，
∴KDE＝KAC＝﹣3，
过D点作l平行于BC，
只有当l与抛物线相切的时候，DE取最大值，
∵l∥BC，
∴令l：y＝﹣x+b，
，
得x2﹣x+3＝﹣x+b，
x2﹣3x+3﹣b＝0，
x2﹣6x+6﹣2b＝0，
当两条直线相切时，△＝0，
∴b2﹣4ac＝0，
3b﹣4（6﹣2b）＝0，
12+8b＝0，
∴b＝﹣，
∴l：y＝﹣x﹣，
将b＝﹣代入x2﹣6x+6﹣2b＝0，
可得x＝3，
∴xD＝3，
∴D（3，﹣3），
∵KDE＝﹣3，
∴DE：y＝﹣3（x﹣3）﹣3＝﹣3x+6，
∵E是CB、DE的交点，
∴，
得E（，），
∴DEmax＝＝，
D坐标为（3，﹣3）；
（3）

y＝x2﹣x+3向右平移4个单位，向下平移2个单位，
∴新抛物线方程为：y＝（x﹣4）2﹣（x﹣4）+3﹣2＝x2﹣x+23，
∴对称轴为：x＝，
∵F是它两交点，
∴，
得F（5，﹣2），
∵C（0，3），
∴CF：y＝﹣x+3，
①如果CFGH是矩形，
即CF⊥FG，
∴KFG•KCF＝﹣1，
∴KFG＝1，
∴PG：y＝x﹣5﹣2＝x﹣7，
∵xG＝，
∴G（，），
∵HG⊥FG，HC⊥CF，
∴KCH＝1，KHG＝﹣1，
∴CH：y＝x+3，
HG：y＝﹣x+8，
∴H（，），
②如果CG⊥CF，
如下图，

CF：y＝﹣x+3，
∴CG：y＝x+3，
∴G（，），
∵KGH＝﹣1，KFH＝1，
∴GH：y＝﹣x+18，
FH：y＝x﹣7，
∴H（，），
综上所述，H（，）或（，）．
9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D是抛物线上一点，D点横坐标为3，连接AD，点P为AD上方抛物线上一点，连接PA，PD，请求出△PAD面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线y＝ax2+bx+4沿x轴负半轴方向平移2个单位长度，得到新抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新抛物线与原抛物线交于点M．点N是原抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以点A、M、N、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A、B点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+4中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）分别过点D、P作x轴的垂线，交x轴于E、F，如图1，
∵点P为AD上方抛物线上一点，
∴x的取值范围是﹣2＜x＜3，
∵D、P都是抛物线上的点，设P（x，﹣x2+x+4），D点的横坐标为3，
∴DE＝﹣×32+3+4＝，PF＝﹣x2+x+4，
∵S△PAD＝S梯形PFED+S△APF﹣S△AED，
即S△PAD＝×[（PF+DE）×EF]+×AE×DE，
∴S△PAD＝×[（﹣x2+x+4+）×（3﹣x）]+×[x﹣（﹣2）]×（﹣x2+x+4）﹣×[3﹣（﹣2）]×，
化简得S△PAD＝﹣x2+x+，
∵﹣＜0，
∴S△PAD有最大值，
当x＝＝时，S△PAD有最大值为，
此时P（，）；
（3）存在，
∵抛物线解析式y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴移动后的解析式为y＝﹣（x﹣1+2）2+＝﹣x2﹣x+4，
∵二次函数前后图象交于M，
∴﹣x2+x+4＝﹣x2﹣x+4，
解得x＝0，
∴M（0，4），
∵抛物线移动前对称轴为x＝＝1，点N是原对称轴上的一点，
∴N点的横坐标为1；
①若以点A、M、N、Q为顶点的四边形是矩形，当MN和AM为邻边时，
则MN⊥AM，
过点N作平行于x轴的直线交y轴于点T，如图2，
在△AMO和△MNT中，
，
∴△AMO∽△MNT，
∴＝，
∵AO＝2，MO＝4，NT＝1，
∴＝，即＝，
∴MT＝，
∴点T的纵坐标为4﹣＝，
∴点N的坐标为（1，），
根据矩形性质和平移法则，线段AM向右平移1，向下平移，得到对应线段QN，四边形AQNM构成矩形，
∴点A向右平移1，向下平移，得到点Q，
此时点Q的坐标为（﹣1，﹣），
②若以点A、M、N、Q为顶点的四边形是矩形，当AN和AM为邻边时，
则AN⊥AM，设原抛物线对称轴交x轴于G，如图3，
在△AOM和△NGA中，
，
∴△AOM∽△NGA，
∴＝，
∵AO＝2，MO＝4，AG＝1﹣（﹣2）＝3，
∴＝，即＝，
∴NG＝3，
同理点M向右平移3，向下平移，得到Q，
∴此时点Q的坐标为（3，），
综上，以点A、M、N、Q为顶点的四边形是矩形时点Q的坐标为（﹣1，﹣）或（3，）．



三、菱形的存在问题
10．如图，抛物线y＝与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）如图1，连接AC，BC，判断△ABC的形状，说明理由；
（2）如图2，若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥BC交AC于点E，作PQ∥y轴交AC于点Q，求CE+AQ的最小值及此时E点坐标；
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点P，点Q为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点M，使以点A，P，Q，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）△ABC为直角三角形，理由如下：
当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，0＝，
解得x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（6，0），B（﹣2，0），C（0，2），
∵BC2＝OB2+OC2＝16，AC2＝OA2+OC2＝48，AB2＝82＝64，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）由（1）得，tan∠BCO＝＝，
故∠BCO＝30°，
∵A（6，0），C（0，2），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，
∵CE+AQ＝AC﹣EQ，
∴当EQ最大时，CE+AQ最小，
∵PE∥BC，PO∥y轴，
∴∠BCO＝∠QPE＝30°，
∴EQ＝PQ，
设P点的坐标为（m，﹣m2+m+2），则Q点的坐标为（m，﹣m+2），
∴EQ＝PQ＝[﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）]＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，
当m＝3时，EQ最大，最大值为，
此时P（3，），
∵PE∥BC，
∴PE⊥AC，
设直线PE的解析式为y＝x+b，
把P点代入可得b＝﹣，
即直线PE的解析式为y＝x﹣，
联立直线AC、PE的解析式解得，
∴E点坐标为（，），
CE+AQ最小值为CE+EQ＝AC﹣EQ＝4＝；
（3）存在，
由题知平移后的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+（x﹣2）+2＝﹣x2+，
与原解析式联立解得，
∴P点的坐标为（1，），
∵原抛物线对称轴为x＝﹣＝＝2，
∴设Q点的坐标为（2，n），
①当AP2＝AQ2时，52+（）2＝42+n2，
解得n＝±，
则Q点的坐标为（2，）或（2，﹣），
∴M点的坐标为（﹣3，）或（﹣3，），
②当AP2＝PQ2时，52+（）2＝12+（n﹣）2，
解得n＝，
则Q点的坐标为（2，）或（2，），
∴M点的坐标为（7，）或（7，﹣），
③当QA2＝PQ2时，42+n2＝12+（n﹣）2，
解得n＝，
则Q点的坐标为（2，），
∴M点的坐标为（5，），
综上，M点的坐标可能为（5，）或（7，）或（7，﹣）或（﹣3，）或（﹣3，）．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（0，4）．
（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；
（2）若点F为该抛物线在第一象限内的一动点，求△FCD面积的最大值；
（3）如图2，将抛物线C1向右平移2个单位，向下平移5个单位得到抛物线C2，M为抛物线C2上一动点，N为平面内一动点，问是否存在这样的点M、N，使得四边形DMCN为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把A（0，8）、B（﹣4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，解得，
∴该二次函数的表达式为y＝x2+x+8；
当y＝0时，由x2+x+8＝0，得x1＝﹣4，x2＝8，
∴C（8，0）．
（2）如图1，作FG⊥x轴于点G，交CD于点E.
设直线CD的函数表达式为y＝kx+4，则8k+4＝0，解得k＝，
∴y＝x+4．
设F（x，x2+x+8）（0＜x＜8），则E（x，x+4），
∴EF＝x2+x+8+x﹣4＝x2+x+4，
∵S△FCD＝OG•EF+CG•EF＝OC•EF，
∴S△FCD＝×8（x2+x+4）＝﹣x2+6x+16＝﹣（x﹣3）2+25，
∴当x＝3时，△FCD面积的最大值为25．
（3）存在．
由题意可知，点M、N在线段CD的垂直平分线上.
抛物线C1：y＝x2+x+8＝（x﹣2）2+9，
平移后得抛物线C2：y＝（x﹣4）2+4＝x2+2x．
如图2，设CD的中点为Q，则Q（4，2），
过点Q作CD的垂线交抛物线C2于点M，交x轴于点H．
∵∠CQH＝∠COD＝90°，
∴．
∵OD＝4，CO＝8，
∴CD＝＝4，
∴CQ＝CD＝2，
∴CH＝＝5，
∴OH＝8﹣5＝3，H（3，0），
设直线QH的函数表达式为y＝mx+n，
则，解得，
∴y＝2x﹣6．
由，得，，
∴M1（，），M2（，），
∵点N与点M关于点Q（4，2）成中心对称，
∴N1（8+2，10+4），N2（8﹣2，10﹣4）．


12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，2），交x轴于点A（﹣1，0）和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）求的最大值及此时点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设B（xB，yB），
将A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2，
∵点B在x轴上，
∴yB＝0，
将yB＝0代入y＝﹣x2+x+2中，得：﹣xB2+xB+2＝0，
解得：xB1＝4，xB2＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴B（4，0）；
（2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴交BC于点G，
∴CD∥EG，
∴＝，
∵直线y＝kx+1与y轴交于点D，
∴D（0，1），
∴CD＝2﹣1＝1，
∴＝EG，
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（4，0），C（0，2）代入，得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设点E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），且0＜t＜4，
∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∴＝﹣（t﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴当t＝2时，的值最大，最大值为2，此时点E的坐标为（2，3）；
（3）存在点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形．
设直线DE的解析式为y＝kx+b，将D（0，1），E（2，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线DE的解析式为y＝x+1，
设M（n，n+1），
∵B（4，0），D（0，1），
∴BM2＝（4﹣n）2+（0﹣n﹣1）2＝2n2﹣6n+17，
DM2＝（0﹣n）2+（1﹣n﹣1）2＝2n2，
BD2＝42+12＝17，
∵以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形，
∴分两种情况：BD为边时或BD为对角线，
①当BD为边时，MN＝DM＝BD（如图2）或MN＝BM＝BD（如图3），
∴DM2＝BD2＝17或BM2＝BD2＝17，即2n2＝17或2n2﹣6n+17＝17，
解得：n＝±或n＝0（舍去）或n＝3，
∴M（，）或M（﹣，）或M（3，4），
②如图4，当BD为对角线时，设BD的中点为Q，则Q（2，），
∵四边形BMDN是菱形，
∴MN⊥BD，QB＝QD＝BD，
∴QD2+QM2＝DM2，
∴（2﹣0）2+（﹣1）2+（n﹣2）2+（n+1﹣）2＝2n2，
解得：n＝，
∴M（，），
综上所述，点M的坐标为（，）或（﹣，）或（3，4）或（，）．




四、正方形存在问题
13．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0），交y轴于点C（0，4）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线y＝x+与抛物线交于A、D两点，与直线BC交于点E．若点M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．
①当SEOG＝S△AOE时，求m的值；
②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
∴y＝﹣x2+x+4；

（2）①当点G在点E的左侧时，
如图1，∵B（4，0），C（0，4），

∴设BC的解析式为：y＝kx+n，
则，解得，
∴BC的解析式为：y＝﹣x+4，
∴﹣x+4＝x+，
解得：x＝1，
∴E（1，3），
∵M（m，0），且MH⊥x轴，
∴G的横坐标为m，
∵SEOG＝S△AOE，
∴×ON×（xE﹣xG）＝××ON×（xE﹣xG），
即xE+xA＝2xG，即1﹣3＝2m，
解得m＝﹣1；
当点G在点E的右侧时，
同理可得：×ON×（xG﹣xE）＝×ON×（xE﹣xA），
即（m﹣1）＝×（1+3），
解得m＝3，
综上，m＝3或﹣1；
②存在，由①知：E（1，3），
∵四边形EFHP是正方形，
∴FH＝EF，∠EFH＝∠FHP＝∠HPE＝90°，
∵M（m，0），且MH⊥x轴，
∴H（m，﹣m+4），F（m，﹣m2+m+4），
分两种情况：
i）当﹣3≤m＜1时，如图2，点F在EP的左侧，

∴FH＝（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣m，
∵EF＝FH，
∴m2﹣m＝1﹣m，
解得：m＝（舍去正值），
∴H（，），
∴P（1，），
ii）当1＜m＜4时，点F在PE的右边，如图3，

同理得∴m2﹣m＝﹣1+m，
解得：m＝（舍去负值），
同理得P（1，）；
综上，点P的坐标为：（1，）或（1，）．
14．如图1，抛物线y＝ax2﹣5x+c与直线y＝﹣x+4相交于A（4，0），B（0，4）两点．动点C从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA方向运动，设运动的时间为t秒．过点C作CD⊥x轴分别交直线AB于点D，抛物线于点E．
（1）求抛物线y＝ax2﹣5x+c的表达式；
（2）连接AE，当t＝3时，求△ADE的面积；
（3）如图2．当t＝2时，在x轴上存在点F，抛物线上存在点G，直线DE上存在点H，当以C，F，G，H为顶点的四边形是正方形时，求点F的坐标．

【解答】解：（1）把A（4，0），B（0，4）两点代入抛物线解析式y＝ax2﹣5x+c中得：
，解得：，
∴该抛物线得表达式为：y＝x2﹣5x+4，
（2）当t＝3时，如图所示：

由题意得：C（3，0），D（3，1），点E在抛物线上，故xE＝3，代入抛物线中得：
yE＝﹣2，
∴E（3，﹣2），
∴S△ADE＝DE•AC＝＝，
（3）当t＝2时，假设存在这样的F，G，H与C点构成正方形，故由题意可作图：

此时：C（2，0），E（2，﹣2），设F（n，0），G（n，n2﹣5n+4）则：
xG＝xF＝m，GF＝|n2﹣5n+4|，CF＝n﹣2，
∵C，F，G，H构成正方形，
∴GF＝CF，即，|n2﹣5n+4|＝n﹣2，
从图象上观察，点F可以位于不同位置，故应分类讨论：
①当n≥4时，n2﹣5n+4＝n﹣2，解得：n＝3+，
②当2＜n＜4时，﹣n2+5n﹣4＝n﹣2，解得：n＝2+，
③当1＜n≤2时，﹣n2+5n﹣4＝2﹣n，解得：n＝3﹣，
④当n≤1时，n2﹣5n+4＝2﹣n，解得：n＝2﹣，
综上所述：F点得坐标为：（3+，0）或（3，0）或（2，0）或（2，0）．