2025年中考数学三轮冲刺：一次函数与几何问题综合解答题 提分刷题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学三轮冲刺：一次函数与几何问题综合解答题 提分刷题练习题（含答案解析），共36页。试卷主要包含了如图，在平面直角坐标系中，直线，已知点，且，综合与探究等内容，欢迎下载使用。
1．如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点．
(1)求的值与求直线的解析式；
(2)根据图像，直接写出关于的不等式的解集；
(3)求四边形的面积．
2．如图1，在Rt中，，，，点P以每秒1个单位的速度从点A出发，沿运动到点C后停止．连接PC，设点P的运动时间为，的面积为y．

(1)直接写出y关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
(2)在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质；
(3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线，与x轴，y轴分别交于A，B两点，若将直线向右平移长度个单位得到直线l，直线l与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接．
(1)求直线l的解析式；
(2)若点P为直线l上一点，且射线、射线、射线中某一条射线是另外两条射线所形成的角的角平分线时，求点P的坐标；
(3)己知直线，当时，对x的每一个值都有，请直接写出k的取值范围．
4．已知，一次函数与x轴交点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线的函数解析式；
(2)设点M是x轴上一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q，当的面积是时，求点M的坐标；
(3)已知是的角平分线，在线段上找一点F，使得，求点F的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，点，与直线：交于点，直线交轴于点．
(1)求的值及直线的函数表达式；
(2)求四边形的面积．
6．如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A，B两点．
(1)求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解；
(2)求的面积；
(3)若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值．
7．已知点，且．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图，已知直线与直线相交于点C，点P为直线上一动点，若有，请求出点P的坐标；
(3)点T为平面内一动点，连接，将线段绕点T旋转得到线段．若点Q恰好落在直线上，且当取到最小值时，请求出点T的坐标．
8．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，一次函数：的图象分别交x轴、y轴于点A，B，点C在x轴上，平分．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求线段的长；
(3)若点D是y轴上的一个动点，当为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．
9．如图，一次函数的图象与，轴分别交于，两点，点与点关于轴对称．动点，分别在线段，上（点与点，不重合），且满足．
(1)线段长为 ；
(2)当为等腰三角形时，求点的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，与轴，轴分别交于点，点，直线的函数表达式为，与轴，轴分别交于点，点，直线与交于点，已知点的横坐标为．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若直线上存在点，使得，请求出点的坐标；
(3)已知是线段上的动点，过点作直线平行于轴，交直线于点，过点作轴的垂线，交轴于点，是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
(1)求的值及的解析式；
(2)求的值；
(3)一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出的值．
12．在平面直角坐标系中，已知直线分别交x轴，y轴于点点C在x轴的负半轴上，且．
(1)求直线的表达式；
(2)若点M是直线上的一点，连接，使得，求出此时点M的坐标；
(3)若点，在轴上是否存在点Q，使，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
13．如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点．
(1)点坐标为(________，________)．
(2)在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形；
(3)若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点的长为10，点在轴的负半轴上，以为对称轴作的轴对称图形，点的对称点为点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点恰好落在轴正半轴上，求点的坐标以及直线的解析式；
(3)当时，直接写出点的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，直线交直线于点，交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)若点在第二象限，的面积是5．
①求点的坐标；
②将沿轴平移，点的对应点分别为，，，设点的横坐标为．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，的取值范围．
参考答案
1．(1),
(2)
(3)
【分析】（）把点坐标代入中求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；
（）根据函数图象找到当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案；
（）得出点的坐标，进而根据四边形的面积解答即可；
本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，一次函数与不等式之间的关系，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵直线与直线相交于点,
∴，
解得
∴，
把点，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为：；
（2）解：由图象可知，当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围为，
∴不等式的解集是；
（3）解：把代入得，，
∴，
把代入得，，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形的面积．
2．(1)
(2)当时，随着x的增大而增大，当时，随着x的增大而减小
(3)
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题等知识．
（1）分两段分别写出函数关系式及其自变量取值范围即可；
（2）用两点法画出函数图象，写出性质即可；
（3）根据图象进行解答即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∴
（2）如图即为为所求，

当时，随着x的增大而增大，当时，随着x的增大而减小，
（3）如图，当，直线与（2）中的函数图象有两个交点
3．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先求出点，，求出，再根据一次函数的平移规律即可求解．
（2）分为当射线是射线、射线所形成的角的角平分线时，当射线是射线、射线所形成的角的角平分线时，当射线是射线、射线所形成的角的角平分线时，分别求解即可．
（3）求出恒过点，在中，令，则，求出当直线经过时，的值，再结合图象即可求解．
【详解】（1）解：中，令，解得：，则，
令，，则，
则，
若将直线向右平移长度个单位得到直线．
（2）解：如图，当射线是射线、射线所形成的角的角平分线时，
则，
根据（1）可得，
∴，
∴，
∴，
故点P的纵坐标点B的纵坐标，
将代入可得，即；
当射线是射线、射线所形成的角的角平分线时，
则，
根据题意可得，
∴，
∴，
∴，
在中，令，解得：，则，
设，
则，
解得：或（不符合题意，舍去），
即可得：；
当射线是射线、射线所形成的角的角平分线时，点P不可能在直线l上，不符合题意；
综上，或．
（3）解：在中，令，则，故恒过点，
在中，令，则，
当直线经过时，，解得：，
即，
结合图象可得当时，若对x的每一个值都有，
则k的取值范围为．
【点睛】该题考查了一次函数的综合，一次函数的图象和性质，一次函数平移，解一元二次方程，勾股定理，也考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，解题的关键是数形结合．
4．(1)直线的函数解析式为；
(2)点M的坐标为或；
(3)点F的坐标为．
【分析】（1）先求出的坐标，对称性求出点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可；
（2）设，则、，过点B作于点D，利用，进行求解即可；
（3）作于点，利用等积法求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：对于，
由得：，
∴，
由得：，解得，
∴，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴，
设直线的函数解析式为，则，
解得．
∴直线的函数解析式为；
（2）解：设，
则、，
如图，过点B作于点D，
∴，，
∴，
解得，
∴点M的坐标为或；
（3）解：∵，，
∴，，
∴，
作于点，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
即，
解得，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴点F的坐标为．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
5．(1)，直线的解析式为
(2)四边形的面积为13
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征．
（1）将代入可得，从而得出点C的坐标，再根据待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）过点作轴于点，根据一次函数图象上点的坐标特征求出的值，令，即可求出点D的坐标，即可得出，再将四边形分成一个三角形和一个梯形，分别求面积即可得出答案．
【详解】（1）解：∵直线：过点，
，
解得，，
，
把点，代入直线：中，
，
解得，
直线的解析式为：；
（2）如图1所示，过点作轴于点，
，，
，，，则，
直线：交轴于点，
令，则，
，则，
，
四边形的面积为13．
6．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，两条直线相交或平行问题以及三角形面积，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将点代入，求出点的坐标，再将点代入直线，求出的值，即可得到答案；
（2）根据解析式求出的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出答案；
（3）根据题意求出的坐标，结合的长为2，得到关于的一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：把点代入，得，
∴．
把点P坐标代入，得，
∴，
∴直线的表达式为，
则方程组的解为；
（2）解：∵：，：，
当，，
解得：，，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：直线与直线的交点C为，
与直线的交点D为．
∵，
∴，
∴，
∴．
7．(1)
(2)P的坐标为或
(3)或
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）非负性求出的值，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出点坐标，进而求出，分点在下方和上方，两种情况进行求解即可；
（3）分T在O上方和T在O下方，两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
∴；
（2）联立，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点在直线下方时：，
∴，
当时，，
∴；
当点在直线上方时：，
∴，
当时，，
∴；
综上：或．
（3）当T在O上方时，过T作轴于M，过Q作于N，如图：
∵将线段绕点T旋转得到线段，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最小时，最小，
此时，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
∴，
∴
∴
∵将线段绕点T旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
解得，
∴T；
当T在O下方时，同理可得T，
∴T的坐标为或．
8．(1)，
(2)
(3)点坐标为或或或
【分析】（1）求出当时，，当时，即可得到答案；
（2）如图所示，过点作于，由角平分线的性质得到，根据（1）所求得到，，则，再由，求出；
（3）△为等腰三角形，分，，三种情况讨论即可．
【详解】（1）在中，当时，，当时，，
∴，；
（2）解：如图所示，过点作于，
平分，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：当时，
，
，
点，
当时，
点或，
当时，如图，
，
，
，
点，
综上所述：点坐标为或或或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
9．(1)
(2)当为等腰三角形时，点的坐标是或
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质．解决本题的关键是运用分类讨论的思想，分情况求解．
首先根据一次函数的解析式可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据点与点关于轴对称，可以求出点的坐标是，利用勾股定理求出的长度即可；
当为等腰三角形时，共有三种情况：当时；当时；当时．分情况讨论求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：当时，
可得：，
点的坐标是，
当时，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
点与点关于轴对称，
点的坐标是，
，
故答案为：；
（2）解：当为等腰三角形时，分为三种情况，
当时，如下图所示，
在中，，，
，
由可知和关于轴对称，
，
在和中，
，
，
，
点的坐标为；
当时，
根据三角形的外角性质得：，
此种情况不存在；
当时，如下图所示，
则，即，
设，则，
在中，
由勾股定理得：，
，
解得：，
点的坐标是．
综上，当为等腰三角形时，点的坐标是或．
10．(1)；
(2)或；
(3)存在，满足条件的所有点M的坐标为或．
【分析】本题主要考查了一次函数与三角形综合，解题的关键是掌握一次函数性质，运用分类讨论思想解答；
（1）将点的横坐标，代入求得点E的坐标为，再利用待定系数法求得直线的函数表达式；
（2）根据，解出或，将其代入即可解答；
（3）设点，则，，表示出，，分两种情况：①当时，②当时，分别进行计算即可解答；
【详解】（1）解：对于，当时，．
所以点E的坐标为．
将，代入，
得，
解得．
∴直线的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴，
解得或．
当时，，
解得；
当时，，
解得．
∴点P的坐标为或；
（3）解：存在．
设点，则，．
所以，．
分两种情况：
①当时，，
解得或（舍去）．
所以点M的坐标为；
②当时，，
解得或（舍去）．
所以点M的坐标为．
综上，满足条件的所有点M的坐标为或．
11．(1)，直线的解析式为
(2)7
(3)或或
【分析】本题考查了一次函数与几何综合、正比例函数，熟练掌握一次函数和正比例函数的图象与性质是解题关键．
（1）将代入直线的解析式即可得的值；再利用待定系数法即可得直线的解析式；
（2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得；
（3）分三种情况：①当经过点时，②当时，③当时，根据一次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：将点代入一次函数得：，
解得；
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为．
（2）解：对于一次函数，
当时，，解得，即，
当时，，即，
由（1）已得：，
∴的边上的高为4，的边上的高为6，
∴．
（3）解：∵一次函数的图象为，且不能围成三角形，
∴①当经过点时，则，解得；
②当时，则；
③当时，则；
综上，的值为或或．
12．(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题为一次函数综合题，涉及到三角形全等和相似等，分类求解和正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）过点C作直线交y轴于点，取，过点L作直线交直线于点，则点，取，过点作直线交于点M，则此时，点为所求点，即可求解；
（3）分两种情况分别是点Q在B点的左边和右边进行讨论，在右边时由于内错角相等，两直线平行，故只要作直线平行于即可得到点Q坐标；在左边的情况是，则再求出点Q坐标即可．
【详解】（1）解：直线分别交x轴，y轴于点，
则点的坐标分别为：，
，则，
则点，
设直线的表达式为，
将点C的坐标代入上式得：，则，
则直线的表达式为：；
（2）解：设M坐标为，
可看成为底，高为C到距离的三角形，
过点C作直线交y轴于点，则解析式为，
代入得，解得，
故解析式为，
∴点，
取，则点，
过点L作直线交直线于点，
则，
故此时到距离为点C到距离2倍， 则此时，
取，
过点作直线交于点M，
同理则此时，
点为所求点，
∵直线且点，
则直线l的表达式为：，
同理可得：直线k的表达式为：，
分别联立和直线的表达式得：或，
解得：或，
即点M的坐标为：或；
（3）解：存在；
情况一：作，
，，
，
，
所以点Q坐标为：．
情况二：取，
则，，
在和中，
，
，
此时坐标为：．
综上所述：点坐标为：或．
13．(1)
(2)或
(3)存在，点坐标为或
【分析】（1）先根据点求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得；
（2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得；
（3）分两种情况：①以、、、四个点构成的是矩形，先利用三角形的面积公式和勾股定理可得的长，从而可得点的坐标，再根据矩形的对角线互相平分、点坐标的中点公式即可得；②以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，根据矩形的性质可得，，由此即可得．
【详解】（1）解：将点代入直线得：，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入一次函数得：，解得，
∴点坐标为；
故答案为：．
（2）解：将代入直线得：，即，
将点代入直线得：，解得，
∴直线的解析式为，
由题意得：点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则，
∴，
解得或，
所以当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形．
（3）解：由上已得：，，
∴，
∴，
∵点为直线上一点，且在中，，
∴分以下两种情况：
①如图，以、、、四个点构成的是矩形，
过点作轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点的坐标为，
∵矩形的对角线互相平分，，
∴，解得，
∴此时点的坐标为；
②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，
∴，
∴此时点的坐标为；
综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、点坐标的中点公式等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键．
14．(1)直线的解析式为；
(2)点的坐标为，直线的解析式为
(3)点坐标为
【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据题意求出，即点坐标为，将两点坐标分别带入，即可得到答案；
（2）以为对称轴作的轴对称图形为，设点的坐标为，求出点的坐标为．设直线的解析式为，即可得到答案．
（3）当时，由题意得点在第一象限，过作轴于点，证明，则可求得点D的坐标；设直线与交点为，点为中点，可得点E的坐标，求出直线的解析式为，即可得到答案．
【详解】（1）解：为直角三角形，，
，即，
解得，
即点坐标为，
将两点坐标分别带入，
得，
解得，
故直线的解析式为．
（2）解：以为对称轴作的轴对称图形为，
，
．
点在轴的正半轴上，
点的坐标为．
设点的坐标为，由题意可知．
在中，由勾股定理，得，解得．
点的坐标为．
设直线的解析式为．
点在直线上，
，解得．
直线的解析式为．
（3）解：当时，由题意得点在第一象限，如图，
过作轴于点，
，
，，
，
以为对称轴作的轴对称图形为，
，
在和中，
，
，
，
，
．
设直线与交点为，点为中点，
则点坐标为．
设直线的解析式为，
将点，分别代入直线方程，
得，
解得，
故直线的解析式为，
上式中，令，则，
则点坐标为．
15．(1)
(2)①；②或
【分析】本题考查了一次函数与几何综合，一次函数图象与性质，平移的性质，利用数形结合思想是解题的关键．
（1）把代入求得对应的自变量x的值即可求得；
（2）①利用三角形面积公式求得C的纵坐标，代入即可求得C的坐标；
②分两种情况：当沿x轴向右平移时和当沿x轴向左平移时讨论求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
∴；
（2）解：①∵点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
把代入，得，
解得，
∴；
②连接，
把代入得：，
∴点B的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
把代得：，解得：，．
当点在直线上时，点的横坐标为：，
当点在点D上时，点的横坐标为：，
当沿x轴向右平移时，只有两个顶点在外部时，；
当沿x轴向左平移，只有两个顶点在外部时；
综上可知，只有两个顶点在外部时，m的取值范围为或．