2025年中考数学二轮复习：全等三角形解答题 提分刷题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：全等三角形解答题 提分刷题练习题（含答案解析），共31页。试卷主要包含了在中，，在边上顺次取点、，使，已知和均是等边三角形，如图，且，，，等内容，欢迎下载使用。
1．在中，，在边上顺次取点、，使．作，，分别与、的延长线交于点、，试说明．
2．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使．
(1)求证：；
(2)求证：．
3．已知和均是等边三角形．
(1)与之间的数量关系为_____；
(2)如图2，当绕点C旋转至点D，且在的延长线上时，，，存在什么数量关系？并说明理由；
(3)如图3，当绕点C旋转至经过点B时，过点A作于点F，请直接写出线段，与之间的数量关系．
4．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
5．已知，中，，点为边上一点，，连接．
(1)如图1，点为边上一点，作点关于的对称点，直线交于点，交于点，且．求的度数；（用含的式子表示）
(2)在（1）问的条件下，求证：．
(3)如图2，以，为边构造平行四边形，点为边上一点，点为中点，连接，过点作交于点，连接．当时，请直接写出此时的最小值．
6．如图，在中，，，动点从点出发，按的路径运动（回到点停止），且速度为每秒个单位，设运动时间为秒．
(1)在中边上的高长为______；边上的高长为______；
(2)当时，求的值；
(3)如图，若是等腰三角形，直接写出所有满足条件的的值．
7．如图，且，，，．
(1)求的长度．
(2)求的度数．
8．如图，点E是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
(3)连接，若，，，求的面积．
9．如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且.
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，，且，求的面积.
10．公路上、两车站相距5千米，、为公路同侧的两所学校，，，垂足分别为点、（如图所示），千米．现要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且，问：报亭应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？
11．【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点，
①求的大小；
②，求的面积；
【拓展提高】（3）如图3，与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长．
12．如图1，在中．，，D为内一点．，且，连接，的延长线与交于点F．
(1)求证：，；
(2)如图2，连接，，已知．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②当F是线段中点时，直接写出线段与线段的关系： ．
13．综合与探索
如图，在中，，，点P从点B出发沿射线移动，同时，点Q从点C出发沿线段的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D．
(1)如图1，当点P为的中点时，求证：．
(2)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段的长度是否保持不变？请说明理由．
14．如图，在中，为边上一点，为边上一点，且，连接，为的中点．连接并延长，交于点，在上截取点，使，连接，若．
(1)求证：；
(2)求证：．
15．【问题情境】在和中，，，．
(1)【初步探究】如图1，当点，，在同一条直线上时，连接、，延长交于点，试说明；
(2)【类比探究】如图2，当点、、不在同一条直线上时，连接交于点，连接交于点，试说明；
(3)如图3，、、三点共线，且，将线段绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时线段绕点以每秒的速度顺时针旋转后立即以相同速度回转，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中．当和互相平行时，请直接写出此时的值．
参考答案
1．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再利用证明即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
2．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定．
（1）结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明；
（2）结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明．
【详解】（1）证明：是的角平分线上一点，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
又，
，
又，即，
，
在和中，
，
，
．
3．(1)相等
(2)，理由见解析
(3)
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判断，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）由等边三角形得到，，，然后证明出，即可得到；
（2）同（1）可得，结合，可得结论；
（3）如图所示，连接，同（1）可得，，得到，，然后求出，得到，进而求解即可．
【详解】（1）相等，理由如下：
∵和均是等边三角形
∴，，
∴
∴
∴；
（2），理由如下：
同（1）可得，
∴ ，
∵，
∴；
（3），理由如下：
如图所示，连接
同（1）可得，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴．
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）运用“”定理直接证明，即可得解；
（2）求出，证出，即可得解．
【详解】（1）证明：，
与为直角三角形，
在与中，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
．
5．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用，，得出，利用，得出，最后利用三角形内角和定理即可解决；
（2）过点作交于点，先通过导角推出，证明，得出四边形是平行四边形，再证明，得出，即可证明；
（3）过点作于点，先求解出，再得出，将沿着方向平移个单位长度，得到线段，使点与点重合，即四边形是平行四边形，则，，则，由两点之间线段最短，得，当，，依次共线时，取得最小值，即最小，连接，，，过点作延长线于点，过点作于点，延长交延长线于点，得出四边形是平行四边形，四边形是矩形，分别计算和即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过点作交于点，
∵，
∴，
∵点关于的对称点是，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
如图，将沿着方向平移个单位长度，得到线段，使点与点重合，即四边形是平行四边形，
则，，
∴，
由两点之间线段最短，得，
当，，依次共线时，取得最小值，即最小，
此时，如图，连接，，，过点作延长线于点，过点作于点，延长交延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次根式的运算，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
6．(1)，；
(2)；
(3)为秒或秒或秒或秒．
【分析】根据等腰三角形的三线合一定理可知，，利用勾股定理可求，再利用三角形的面积公式可得，从而可求的长；
过点作，根据等腰三角形的性质可知，利用勾股定理定理求出，可得：，再根据点运动的速度求出运动的时间；
当是等腰三角形时分：当时、当时、当时，共四个满足条件的点，根据情况求解．
【详解】（1）解：在中，，，，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：如下图所示，过点作，
，
，
在中，，
，
；
（3）解：如下图所示，
当时，是等腰三角形，
过点作，
由可知，
，
，
，
秒；
当点运动到点时，，
，
秒；
如下图所示，当时，
，
，
，
秒；
如下图所示，当时，
过点作，则，
由可知，，
设，则，
在中，，
，
解得：；
，
，
秒；
综上所述，若是等腰三角形，的值为秒或秒或秒或秒．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，是三角形综合题，解决本题的关键是运用分类讨论的思想，分情况解答．
7．(1)
(2)
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等．
（1）根据题意求出的长，根据全等三角形的性质得到答案；
（2）根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：∵
∴．
8．(1)证明见解析
(2)
(3)1
【分析】（1）证明即可；
（2）连接交于点P，得到，则，由勾股定理得，再由勾股定理求得，即；
（3）设，由勾股定理得，由，结合菱形性质得到，那么，则，则，而，则，化简得到，而，则，即可求解面积．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵是菱形，是菱形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在菱形中，连接交于点P，则，
∵在菱形中，，
∴，
∴，
∴，
∵在菱形中，，
∴，
∴
∴；
（3）解：如图：
设
∵，
∴，
∴
∵菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∵
∴，
∴，而
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，解题的关键是合理利用菱形的性质．
9．(1)
(2)见解析
(3)的面积为15
【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键．
（1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案；
（2）过点作于点，作于点，利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可．
（3）设，利用，求出，从而求出的面积即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，
∵平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，，
，
，
又点在的内部，
平分；
（3）解：如上图，过点作于点，作于点，
由（2）已得：，
设，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
，
∵，
∴的面积为．
10．报亭应建在距离站千米处，学校到公路的距离是千米
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由垂线的定义可得，再证明，得出千米，，即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴千米，，
∴千米，
∴千米，
∴报亭应建在距离站千米处，学校到公路的距离是千米．
11．（1）见解析；（2）①；②2；（3）6
【分析】（1）由证即可；
（2）①同（1）得，得，即可得出结论；
②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论；
（3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论．
【详解】解：（1），
，
即，
在和中，
，
；
（2）①，，
，
，
同（1）得：，
，
；
②如图2，过点A作于点G，
则，
由①可知，，
，
点F为中点，
，
又，
，
，，
，，
，
，
；
（3）解：如图3，连接，
同（2）得：，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
负值舍去，
即的长为6．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
12．(1)见解析
(2)①，见解析；②互相垂直
【分析】（1）通过证明，可得，，再利用三角形内角和定理可证；
（2）①作，，由全等知，从而得到平分，证出，从而证出平行；
②连接．由，且，推出，由（1），F是线段中点，推出，从而得出，即可证明．
【详解】（1）证明：如图1，设与交于O点，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，
理由如下：
如图2，作于G，于H，
由（1）知，
∴，，
∴，
又∵，，
∴平分，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②连接．
∵，且，
∴，
∵，
∴，
由（1），
∵F是线段中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质等知识，作出辅助线是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)线段的长度保持不变，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）过P点作交于F，由题意可证，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况讨论，利用全等三角形的性质和判定可得的长度不变．
【详解】（1）证明：如图1，过点作交于点．
．
点和点同时出发，且移动的速度相同，
．
，
，
，
．
，
．
．
（2）解：线段的长度保持不变，理由如下：
分两种情况，①若点在线段上，
如图2，过点作交于点．
与（1）同理可知，，，
．
，
．
．
②若点在线段的延长线上，
如图3，过点作交的延长线于点．
．
又，
．
．
，
．
，
，
又，
．
．
，
．
综上所述，线段的长度保持不变．
14．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）根据为的中点得，进而可依据判定和全等；
（2）根据和全等得，则，再根据平行线的性质得，然后依据判定和全等，则，进而得，由此即可得出结论，
【详解】（1）证明：点是的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)、或
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，角度的和差，一元一次方程，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
（1）证明即可得；
（2）证明，得出，再利用，，即可得出；
（3）先得出，根据题意，分情况分别讨论，分别画出图形，构建方程求解即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
如图，设与交于点，
∵，，
∴，
∴；
（3）\解：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
线段绕点以每秒的速度顺时针旋转时，运动时间为，以相同速度回转到出发时的位置时，运动时间为，
当时，由旋转知，，
如图1，第一次与平行时，

∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
如图2，第二次与平行时，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
当时，由旋转知，，
如图3，第三次与平行时，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
如图4，∵的运动时间，
∴的旋转度数，
∴由图可知第三次与平行后无法再存在平行情况；
综上所述，的值为、或．