2025年中考数学二轮复习：二次函数的相似三角形问题 提分刷题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：二次函数的相似三角形问题 提分刷题练习题（含答案解析），共48页。试卷主要包含了已知，抛物线经过点和，如图等内容，欢迎下载使用。
1．已知，抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点，
（ⅰ）如图1，求证：是直角三角形；
（ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
2．如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，直线上方抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3，若存在，写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，记，的面积分别为，，求的最大值．
3．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点的右边），交轴于点．点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点E．
(1)求，两点的坐标；
(2)求线段的最大值；
(3)如图2，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)设x轴上的一个动点P的横坐标为t，过点P作直线轴，交抛物线于点N，交直线于点M．
①当点P在线段上时，设的长度为s，求s与t的函数关系式；
②当点P在线段上时，是否存在点P，使得以O、P、N三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点．抛物线分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，OA＝OC．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2，点P为第二象限抛物线上一点，过点P作于点D，设点P的横坐标为t，线段PD的长度为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，当直线PD经过点B时，如图3，点E在线段BD上，点F在线段AE上，且∠DFE＝45°，的面积为，求DF的长．
6．如图，已知A（﹣2，0）、B（3，0），抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为点N．
(1)直接写出抛物线的函数关系式 ；
(2)请用含m的代数式表示线段PN的长 ；
(3)连接PC，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠BCO＋2∠PCN＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；
(4)连接AQ，若△ACQ为等腰三角形，请直接写出m的值 ．
7．如图1，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是直线上一动点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，求点P的坐标；
(3)如图2，连接，过点P作PEBC交x轴于点E，连接，将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，求点E的坐标．
8．如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．
①当＝时，求t的值；
②当CD平分∠ACB时，求ABC的面积．
9．如图，抛物线与x轴相交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E．
(1)求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标；
(2)当以B，E，D为顶点的三角形与相似时，求点C的坐标；
(3)当时，求与的面积之比．
10．如图．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线于点E．
(1)求抛物的解析式；
(2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段EF的长度：
(3)如果将沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标．
11．如图1，抛物线经过，，点B在x轴上，且，过点B作轴交抛物线于点D，点E，F分别是线段CO，BC上的动点，且，连接EF．
(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；
(2)当是直角三角形时，求点F的坐标；
(3)如图2，连接AE，AF，直接写出的最小值为：______．
12．如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点．
(1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；
(3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C，顶点为D．抛物线对称轴与x轴交于点F，E是对称轴上的一个动点．
(1)若，求的值；
(2)若，求点E的坐标；
(3)当取得最小值时，连接并延长交抛物线于点M，请直接写出的长度．
14．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，，点坐标为．

(1)求抛物线解析式；
(2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
(3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C．抛物线的对称轴是直线且经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
(1)①直接写出点A的坐标；②求抛物线解析式．
(2)如图2，若点P为直线下方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在点M，过点M作垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．(1)
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）或或或
【分析】（1）运用待定系数法解方程组即可；
（2）①利用勾股定理的逆定理证明即可；
②分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，
，
解得
抛物线的函数表达式为；
（2）解：（ⅰ），
当时，，
点坐标为，
当时，，
解得或，
点A在点的左侧，
点A坐标为，点坐标为，
，，，
，，
，
是直角三角形；
（ⅱ），
抛物线的对称轴是直线，
点坐标为，设点坐标为，
分两种情况：①当时，，
即，
解得，
此时点的坐标为或；
②当时，，即，
解得，
此时点的坐标为或；
综上，点坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理．解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用．
2．(1)
(2)存在，，
(3)
【分析】（1）由直线与两坐标的交点可得，，然后利用待定系数法求解即可；
（2）在图1中，过点M作交直线于点N，设，则，，利用坐标与图形可得，由求得t值，进而可求解；
（3）过点P作交直线于点E，则，所以，设点 ，利用坐标与图形可得，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解： 直线与坐标轴交于A、B两点，
当时，，当时，，
，，
将A、B代入抛物线，得
，解得 ，
抛物线的解析式为：．
（2）解：存在．
在图1中，过点M作交直线于点N，
依题意，设，则，，
，
∴，
由得，
解得，，
当时，，则；
当时，，则，
综上，存在点M，使得的面积等于3，此时，；
（3）解：在图2中，过点P作交直线于点E，则，
，则，
设点 ，
，
，
，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的交点问题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标与图形，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是添加合适的辅助线构造．
3．(1)，
(2)最大值为
(3)存在，或
【分析】（1）令，得到，即可求解；
（2）设，则，先求出直线的解析式为，可得，可得到用m表示的长，再根据二次函数的性质，即可求解；
（3）根据题意可得，从而得到当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点．然后分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点
∴．
解得：，
∴，；
（2）解：设，则，
∵抛物线与轴相交于点，
∴．
设直线解析式为，
∵直线经过点，，
∴，解得 ．
∴直线的解析式为，
∴，
又∵，
∴；
∴当时，取得最大值；
（3）解：存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下：
设，
由（2）得：，
如图，过点F作轴于点G，则，
由（1）可得：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点．
①当时，，
即，
解得：或（舍去），
∴；
②当时，，即
解得：或（舍去）
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
4．(1)，，；
(2)①；②点P的坐标为和．
【分析】（1）分别令、，求出对应的y值和x的值，即可求出A、B、C的坐标；
（2）①根据点P的横坐标为t，可得，，然后分点P在y轴的左侧和点P在y轴的右侧两种情况，分别表示出即可；
②分时和时两种情况，分别根据相似三角形的性质列出比例式，整理后得出关于t的一元二次方程，解方程求出t的值即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，即，
解得：，，
∴，，；
（2）解：①设直线的解析式为，
把，代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点P的横坐标为t，
∴，，
当点P在y轴的左侧，即时，
由题意得：；
当点P在y轴的右侧（包含原点），即时，
由题意得：；
综上，；
②如图，当时，
可得，即，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
当时，
可得，即，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
综上，点P的坐标为和．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图像和性质、二次函数的应用、相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是数形结合思想与分类讨论思想的应用．
5．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据二次函数与y轴的交点，求出，可得出，再代入解二次函数解析式即可；
（2）过P作轴于K，交AC于点J，分别用含t的代数式表示出KJ，PJ，在中，有勾股定理即可求出求d与t的函数关系式；
（3）延长DF交AB于N，过F、D分别作，，垂足为H、Q，证明，，根据相似三角形的性质及勾股定理即可求DF的长．
【详解】（1）解：抛物线交y轴于C，
当x＝0时，y＝3a，
∴，
∴OC＝3a，
∵OA＝OC，
∴OA＝3a，
∴，
∵点A在抛物线上，
∴，
解得：，，
∵a＞0，
∴a＝1，
∴抛物线解析式．
（2）过P作轴于K，交AC于点J，
∵点P横坐标为t，
∴OK＝－t，
∵，
∴OA＝3，AK＝AO－OK＝3－（－t）＝3＋t，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝45°，∠KJA＝∠KAJ＝45°，
∴KJ＝AK＝3＋t，
∵点P在抛物线上，当x＝t时，，
∴，，
∵PD=d，∠DJP＝∠AJK＝45°，
∴∠DPJ＝∠DJP，DJ＝DP，
∴DP＝DJ＝d，在中，∠PDA＝90°，
∴，
，
，
∴．
（3）延长DF交AB于N，过F、D分别作，，垂足为H、Q，
∵抛物线为，
∴，，
∴AB＝4，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴∠DAB＝45°，，
∵，，
∴，
∴，
设NF＝2m，则ND＝5m，DF＝3m，
∵∠DFE＝45°，∠DAB＝45°，
∴∠DAF＋∠ADF＝45°，∠DAF＋∠NAF＝45°，
∴∠ADF＝∠NAF，
∵∠ANF＝∠DNA，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）
在中，，，DQ＝2，
勾股定理得，
∴，
解得：，（负根舍去），
∴．
【点睛】本题考查二次函数与几何图形综合，涉及到勾股定理、相似三角形的判定和性质，属于中考压轴题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的性质和判定定理．
6．(1)
(2)
(3)存在，
(4)或
【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；
（2）先由二次函数解析式求得，C(0，4)，P(m， -+m+4)，证△BMQ∽△BOC，从而求得MQ=，PQ=PM-MQ=，再证△PNQ∽△BMQ，求得PN=，代入即可求解．
（3）过点C作CD⊥OC，交直线MP于D，易证四边形OMDC是矩形，从而得PD=MD-PM=4-(-+m+4)= -m，再证∠PCD=∠PCN，从而得到PN=PD，由（2）知：PN=，则有-m=，求解即可；
（4）分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三种情况，分别求解即可；
【详解】（1）解：设二次函数表达式为：y=a（x+2）（x-3）=a（x2-x-6）=ax2-ax-6a，
又∵抛物线y＝ax2＋bx＋4
∴-6a=4，解得：a=-，
则抛物线的表达式为y=-+x+4；
（2）解：当x=m，则y=-+m+4，
∴P(m， -+m+4)，
当x=0时，y=4，
∴C(0，4)，
∴OC=4，
∵B(3，0)，
∴OB=3，
∴BC=，
∵PM⊥x轴，
∴PMOC，
∴△BMQ∽△BOC，
∴，即，，
∴MQ=，
∴PQ=PM-MQ=-+m+4-=，
∵PN⊥BC，
∴∠PNQ=∠BMQ=90°，
∵∠PQN=∠BQM，
∴△PNQ∽△BMQ，
∴，即，
∴PN==；
（3）解：过点C作CD⊥OC，交直线MP于D，如图，
∵CD⊥OC，OC⊥OM，PM⊥OM，
∴四边形OMDC是矩形，
∴OCD=∠PDC=90°，MD=OC=4，
∴PD=MD-PM=4-(-+m+4)= -m，
∴∠BCO＋∠PCN+∠PCD＝90°
当∠BCO＋2∠PCN＝90°时，
则∠PCD=∠PCN，
∴PD=PN，
由（2）知：PN=，
∴-m=，
化简得：，
解得：，，
∵点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m，
∴m=，
∴当m=时，在第一象限的抛物线上存在点P，使得∠BCO＋2∠PCN＝90°；
（4）解：存在，理由：
点A、B、C的坐标分别为（-2，0）、(3，0)、(0，4)，
则AC=，AB=3-(-2)=5，，
①当AC=AQ时，如图1，
则AC=AQ=，
∵M(m，0)，
∴AM=m+2，
由（2）知：MQ=，
由勾股定理，得，
∴，
解得：m=或m=0(舍去)，
∴m=；
②当AC=CQ时，如图2，
CQ=AC=，则BQ=BC-CQ=5-，
由勾股定理，得，
即，
解得：m=或m=(不符合题意，舍去)，
∴m=；
③当CQ=AQ时，点Q在AC的垂直平分线上，
∵BC=AB=5，
∴点B在AC的垂直平分线上，
∴点Q与点B重合，不符合题意，
∴CQ=AQ此种情况不存在；
综上，△ACQ为等腰三角形时，m=或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与了二次函数几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．本题属二次函数与几何图形综合题目，难度较大，熟练掌握二次函数图象性质，相似三角形判定与性质，勾股定理是解题的关键．
7．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据抛物线的解析式令即可求得的坐标，令即可求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式；
（2）由（1）设点，则在上，代入解方程即可求得的值，进而求得点的值；
（3）先求得直线的解析式，进而表示出解析式，得点的坐标为，进而根据平行得，根据相似三角形的性质可得，根据勾股定理及逆定理证明是直角三角形，进而可得对称后的点与重合，进而可得，求得点的纵坐标，进而根据求得的值，即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，
令，得
即
令，即
解得
设直线的解析式为，将点代入得，
解得
直线的解析式为
（2）点P是直线上一动点，直线的解析式为
设点，
点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，
则在上
即
解得
或
或
（3）依题意，设点，
设直线的解析式为，将点代入得，
解得
直线的解析式为
PEBC
设直线的解析式为
令，，则点的坐标为
，，
PEBC
是直角三角形
将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，
,
与点重合，
则
，
解得
或
即或
解得或
或

【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，轴对称问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，一次函数的平移问题，设参数求解是解题的关键．
8．(1)
(2)①2；②
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）①证明△ADE∽△BDC，由相似三角形的性质得出∠DAE＝∠DBC，证出AE∥BC，得出C点的纵坐标为2，则可求出答案；
②设C（t，），过点B作BH⊥CE于点H，得出tan∠BCH＝tan∠ACE，则，解方程求出t的值，则可求出答案．
【详解】（1）解：由y=-x+2可得：
当x=0时，y=2；当y=0时，x=3，
∴A（3，0），B（0，2），
把A、B的坐标代入y=-x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+2；
（2）①如图1，
∵DE∥OB，
∴，
∵，
∴，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴△ADE∽△BDC，
∴∠DAE=∠DBC，
∴AE∥BC，
∴C点的纵坐标为2，
∴2=-x2+x+2，
∴x=0或x=2，
∴C（2，2），
∴t=2；
②如图2，设C（t，-t2+t+2），
过点B作BH⊥CE于点H，
∵∠BCH=∠ACE，
∴tan∠BCH=tan∠ACE，
∴，
∴，
∴t=，
∴C（，），
∴S△ACB=S△ACE+S梯形BOCE-S△ABO
=．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
9．(1),，
(2)，或，
(3)
【分析】（1）求出、点的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）由题意可知是直角三角形，设，分两种情况讨论①当，时，，此时，由此可求；②当时，过点作轴交于点，可证明，则，可求，再由点在抛物线上，则可求，进而求点坐标；
（3）作的垂直平分线交轴于点，连接，过点作于点，则有，在中，，求出，，则，设，则，，则有，求出，即可求．
【详解】（1）解：令，则，
或，
，
令，则，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，；
（2）解：，，
是直角三角形，
设，
①如图1，
当，时，，
，
，
（舍或，
，；
②如图2，
当时，
过点作轴交于点，
，，
，
，
，即，
，
，
，
（舍或，
，；
综上所述：点的坐标为，或，；
（3）解：如图3，作的垂直平分线交轴于点，连接，过点作于点，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
设，则，，
，，，，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是二次函数的综合题，求一次函数的解析式，解题的关键熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的性质与判定，分类讨论，数形结合也是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)N的坐标是
【分析】（1）根据抛物线过点A，对称轴为直线列方程计算即可；
（2）求出B、C坐标及直线BC解析式，由可得，再设E、F的坐标，根据相似计算即可；
（3）由翻折结合EF∥y轴可得，设E、F坐标计算即可．
【详解】（1）由题意得：
解得：
∴所求的抛物线的解析式是：
（2）由题意得：，
∴直线BC的解析式为：
∴，
∴
设，则
当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，
①若，则，
∴或 （舍去）
∴
②若，则，
∴或 （舍去）
∴
（3）
∵是由沿直线CE翻折而得
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
设，则
∵，
解得：或 （舍去）
∴
∴
∴N的坐标是
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及解析式、三角形相似的判定与性质、对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的线段长度，根据已知列方程求解．
11．(1)，点D（-3，-5）；
(2)或
(3)
【分析】（1）把点，代入可求出抛物线解析式，再由，OC⊥AB，可得点D的横坐标为-3，即可求解；
（2）根据勾股定理求出BC=5，设点E（0，m），则BF=CE=4-m，可得CF=BC-BF=m+1，然后分两种情况讨论：当∠CEF=∠BOC=90°时，EF∥x轴，△ECF∽△OCB，当∠CFE=∠BOC=90°时，△FCE∽△OCB，即可求解；
（3）连接AD，DF，可证得△BDF≌△CAE，可得DF=AE，从而得到当A、F、D三点共线时，AE+AF的值最小，最小值为AD的长，再由勾股定理求出AD，即可求解．
【详解】（1）解：把点，代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∵，OC⊥AB，
∴OB=OA=3，即点D的横坐标为-3，
当x=-3时，，
∴点D（-3，-5）；
（2）解：∵点C（0，-4），
∴OC=4，
∴，
设点E（0，m），则BF=CE=4-m，
∴CF=BC-BF=5-（4-m）=m+1，
∵∠ECF=∠OCB，
当∠CEF=∠BOC=90°时，EF∥x轴，△ECF∽△OCB，
∴，即，
解得：，
∴，解得：，
∴此时点F；
当∠CFE=∠BOC=90°时，△FCE∽△OCB，过点F作FG⊥y轴于点G，
∴，即，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴此时点F；
综上所述，点F的坐标为或；
（3）如图，连接AD，DF，
∵AC=BC，且OC⊥AB，
∴∠OCB=∠OCA，
∵点D（-3，-5），轴，
∴BD=BC=AC=5，BD∥y轴，
∴∠CBD=∠OCB，
∴∠CBD=∠OCA，
∵，
∴△BDF≌△CAE，
∴DF=AE，
∴=DF+AF≥AD，即当A、F、D三点共线时，AE+AF的值最小，最小值为AD的长，
，
即AE+AF的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
12．(1)
(2)或
(3)存在，或或
【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；
（2）联立方程组，由判别式△=0求得b值，结合图象即可求解；
（3）根据相似三角形的性质分∠CNM=90°和∠NCM=90°讨论求解即可．
【详解】（1）解：由翻折可知：.
令，解得：，，
∴，，
设图象的解析式为，代入，解得，
∴对应函数关系式为=．
（2）解：联立方程组，
整理，得：，
由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，
由图象可知，当b=2或b=3时，直线与图象有三个交点；
（3）解：存在．如图1，当时，，此时，N与C关于直线x= 对称，
∴点N的横坐标为1，∴；
如图2，当时，，此时，点纵坐标为2，
由，解得，（舍），
∴N的横坐标为，
所以；
如图3，当时，，此时，直线的解析式为，
联立方程组：，解得，（舍），
∴N的横坐标为，
所以，
因此，综上所述：点坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度．
13．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先分别求出，，根据勾股定理得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出，即可求解；
（2）找出的外心P，计算，得出点D、C、F、B四点共圆，要使，且点E在直线上，则点F为直线于的交点，即当点E和点F重合，分两种情况：点E在上方，点E在下方，即可得出结论；
（3）过点E作于点H，得出，当点H，E，A三点共线时，，此时取得最小值，证明，得出则，求出，再得出所在直线的表达式为，即可得出，根据两点之间的距离公式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，则，
把代入得：，
解得：，
∴，则，
在中，根据勾股定理可得，
当时，，
∴．
（2）解：把代入得：，
∴，
令中点为P，
∵，
∴，
∵是直角三角形，
∴的外心为中点P，
∴的外接圆半径，
∵，，
∴，
∴点D、C、F、B四点共圆，
∵，点E在直线上，
∴点F为直线与的交点，即当点E和点F重合，
∵，
∴，
∴当点E在下方时，；
当点E在上方时，如图所示：

此时，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴此时点E的坐标为，
综上分析可知，点E的坐标为或；
（3）解：过点E作于点H，
∵，
∴，则，
∴，
如图：当点H，E，A三点共线时，，此时取得最小值，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，则
∴，即，
解得：，
∴，
设所在直线的表达式为，
把，代入得：
，解得：，
∴所在直线的表达式为，
联立得：，
解得：，，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，平行线的性质，解直角三角形的方法和步骤，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，以及掌握“胡不归”问题的解题方法．
14．(1)；
(2)P点的坐标为或
(3)的坐标为或或
【分析】（1）根据得，再由待定系数法即可求出解析式；
（2）分类讨论和，结合相似三角形的性质求得相关线段的长度，从而求得点的坐标；
（3）存在．分类讨论：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形为平行四边形．由平行线的性质和平移的性质可得点的坐标．
【详解】（1），
，
设，
把代入得，
解得，
；
（2），对称轴是：直线，
，，
，，
，
，
，
，
如图，当时，，
，
，
，
则，

当时，，
，
，
，
，
点的坐标为或；
（3）存在．
假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．
如图，当四边形是平行四边形时，则，
，点的横坐标为，
点的横坐标为，
将代入，
；

如图，当四边形是平行四边形时，则，
同理得：；

如图，当四边形为平行四边形时，

由平行四边形对角线互相平分可得：点的横坐标为：，
将代入，

综上所述，点的坐标为或或
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，三角形相似的性质和判定，平行四边形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是利用平移的性质确定点的坐标，并正确画图，运用分类讨论的思想解决问题
15．(1)①；②
(2)面积最大为4，
(3)存在，或或或
【分析】（1）①求解点坐标，根据二次函数的对称性求解点坐标即可；②待定系数法求解析式即可；
（2）如图2，过点P作轴，交直线于点Q，设，则，，，根据二次函数的性质求解即可；
（3）由题意得，，，由，可知是直角三角形，且，设，则，，，由题意知，使得以点A、M、N为顶点的三角形与相似，分和两种情况求解：①当时，则，即，整理得或；分别计算求解满足要求的解即可；②当时，则，即，整理得或；分别计算求解满足要求的解即可．
【详解】（1）①解：当，，解得，
∴，
∵，解得，
∴；
②解：∵直线与y轴交于点C，
∴
∵抛物线过点、、，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图2，过点P作轴，交直线于点Q，
设，则，
∴，
∴，即，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为4，
∴；
（3）解：存在；
∵、、，
∴，，，
∵，
∴是直角三角形，且，
设，则，，，
由题意知，使得以点A、M、N为顶点的三角形与相似，分和两种情况求解：
①当时，则，即，
整理得或；
解得，（舍去）或，即；
解得，（舍去）或，即；
∴为或时，以点A、M、N为顶点的三角形与相似；
②当时，则，即，
整理得或；
解得，（舍去）或，即；
解得，（舍去）或，即；
∴为或时，以点A、M、N为顶点的三角形与相似；
综上所述，存在，当为或或或时，以点A、M、N为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数综合，二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数与面积综合，勾股定理逆定理，勾股定理，相似三角形的性质，解一元二次方程等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．