2025年中考数学二轮复习：三角形证明与计算 提分刷题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：三角形证明与计算 提分刷题练习题（含答案解析），共31页。试卷主要包含了如图，在四边形中，点分别在边上等内容，欢迎下载使用。

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连结，交于点O，若，求的长．
2．如图，中，，D、E分别为、的中点，连接，过E作交的延长线于F．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求的长．
3．如图，在中，，对角线、相交于点，将直线绕点按顺时针方向旋转，分别交、于点、．
(1)试证明在旋转过程中，线段与总保持相等．
(2)在旋转过程中，就图中四边形的形状而言，你有哪些发现？对其中的一个结论加以证明．
4．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点．
(1)求证：；
(2)连接，为的中点，连接．若，求的长．
5．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，已知，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，求的度数；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．
6．如图1，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接交于点O，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长；
(3)如图2，若矩形是正方形，，求的值．
7．如图，在 中，，是 的外接圆的切线，交的延长线于点D，F为的中点，连接并延长，分别交于点 E，G，连接．
(1)写出图中一对相等的角： ．
(2)求证：；
(3)若，求的值．
8．如图，在四边形中，点分别在边上．连接．
(1)如图1，当四边形为正方形时，连接，且
①求证：；
②已知，，求的长；
(2)如图2，若四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长．
9．如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形：
(2)求的值．
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
10．如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求和的长．
11．在中，，．将绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为，线段与相交于点，线段分别交于点．
(1)如图1，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，始终为等腰三角形，请你证明这一结论；
(2)如图2，当时，求的长；
(3)如图3，当时，求的长．
12．已知是等边三角形．
(1)如图1，若，点在线段上，且，连接，求的长；
(2)如图2，点是延长线上一点，，交的外角平分线于点，求证：；
(3)如图3，若，动点从点出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边三角形，取中点，连接，请直接写出的最小值及此时的长．
13．已知正方形，点为的中点．
(1)如图①，点为线段上的一点，且，延长，分别与，交于点，．
①求证：；
②若，求线段的长．
(2)如图②，在边上取一点，满足，连接交于点，连接并延长交于点，求的值．
14．如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点重合），点F在的延长线上，且，连接，交于点P，交于点Q，连接．
(1)求证
①；
②；
(2)若，求的长；
(3)连接，在点E的运动过程中，的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由．
15．如图1，菱形中，，，点，分别在边，上，．
(1)求证：；
(2)求的最小值；
(3)如图2，线段的中点是点，连接，，求四边形的面积．
参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形中位线的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
（1）利用三角形中位线的性质得，进而可得，，即可求证；
（2）由可得，，利用勾股定理得，再根据平行四边形的性质得，，利用勾股定理求出即可求解；
【详解】（1）证明：分别为的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
在中，，
在平行四边形中，，
在中，，
．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，三角形中位线的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．
（1）由已知条件得出为的中位线，由三角形中位线的性质得出，结合已知条件可得出四边形为平行四边形．
（2）先证明为等边三角形，再由三线合一的性质得出，进而可得出，再由含30度的直角三角形的性质得出，再利用勾股定理得出，最后根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵D、E分别为、的中点
∴为的中位线，
，即
又，
四边形为平行四边形．
（2）解：，，
为等边三角形，
D为中点，
，
．
在中，，
，
，
四边形为平行四边形，
．
3．(1)见解析
(2)发现的结论不唯一，证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）由平行四边形的性质得，，所以，又，所以证明出，即可得解；
（2）对“当旋转角，四边形是平行四边形”加以证明：当时，，再结合，即可得证．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
；
（2）就图中四边形的形状而言，发现的结论不唯一，例如：当旋转角时，四边形是平行四边形；
对“当旋转角，四边形是平行四边形”加以证明如下：
当时，，
又，
四边形是平行四边形．
4．(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形中位线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键；
（1）根据四边形是平行四边形，得到，从而证明，进而得证；
（2）根据三角形的中位线，即可求解；
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
∴，
，
，
在和中，
，，，
，
；
（2）解：∵点为的中点，，
是的中位线，
，
，．
5．(1)证明见解析；
(2)；
(3)或或，是等腰三角形．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据题意求出，根据三角形内角和定理计算；
（3）分三种情况，根据等腰三角形的判定定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：∵，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①当时，，
∴，
②当时，，
∴，
③当时，，
∴，
综上所述，当或或时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查了是全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形相似的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和找准相似三角形．
（1）利用矩形的性质和三角形内角和定理，求出，通过等量代换即可求出的度数，从而证明；
（2）延长交于点G，根据矩形的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明，得到，求出长度，再证明，即可求出的长；
（3）设正方形的边长为，延长交于点G，根据正方的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明，得到，用a表示长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长，从而求出的值．
【详解】（1）证明：矩形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，延长交于点G，
矩形，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：设正方形的边长为，则，
如图，延长交于点G，
正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
7．(1)（答案不唯一）
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等弧对等角直接求解即可；
（2）根据切线性质求出为圆的直径，根据等弧对等角，垂径定理可得到，推出进而得出结论；
（3）根据切线性质，勾股定理求出的长，再证明，得到，从而求出结果．
【详解】（1）解：为的中点，
；
（2），
是的直径，
经过圆心O．
为的中点，
，
．
又，
，
，
，
；
（3）解：∵，
∴，
是的切线，
．
又，
．
，
．
，
．
又，
,
．
由（1）知，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线性质，垂径定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
8．(1)①见解析；②
(2)
【分析】本题主要考查正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握正方形，矩形的性质证明三角形全等，合理作出辅助线是关键．
（1）①如图，延长至点，使，连接，根据正方形的性质可证，得到，再证，则有，即可求解；
②设，由题意和①得，，，，，在中运用勾股定理得到，由此列式求解即可；
（2）如图，延长交于点,可证，得到，则，，设，则由勾股定理得到，列式求解即可．
【详解】（1）解：①如图，延长至点，使，连接，
在正方形中，，，
在和中，
，
，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
②设，
由题意和①得，，，，，
在中，，
，
解得，
∴．
（2）解：如图，延长交于点,
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，
解得，
．
9．(1)见解析
(2)
(3)或．
【分析】（1）作于，于．只要证明即可解决问题；
（2）只要证明，可得，即可解决问题；
（3）根据题意，分两种情况分析：当线段与夹角为时，即，当线段与夹角为时，即，交的延长线于点F，结合图形分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图，作于，于．
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
（2）解：∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，
，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴．
（3）解：如图，当线段与夹角为时，即，
∴，
如图所示：
由（1）得，
∴，
∴；
当线段与夹角为时，即，交的延长线于点F，
∴，
如图所示：
∴，
∴；
综上可得：或．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
10．(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形是菱形；
（2）解，得出，解，得出，然后菱形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：，平分，
，．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
（2）解：，，，
在中，，
．
，
在中，，，
．
四边形是菱形，
．
11．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意证明，得到，即可求解；
（2）根据题意得到，可证，，，则，则，在中由勾股定理即可求解；
（3）根据题意可证四边形是平行四边形，得到，，再证，得到，即，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，将绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），
∴，，
∴，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
又，
，，
在中，，，
，则，
；
（3）解：，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，即，
．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是关键．
12．(1)
(2)见解析
(3)的最小值为，此时的长为1
【分析】（1）过点作于点，由题意易得，然后根据含度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解；
（2）在线段上截取一点，使得，连接，由题意易得是等边三角形，则有，，然后可证，进而问题可求证；
（3）连接，由题意易证，则有，然后可得点在的外角的角平分线上运动，进而根据垂线段最短可得的最小值，及此时的长．
【详解】（1）解：过点作于点，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得：．
（2）证明：在线段上截取一点，使得，连接，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：连接，如图所示：
∵，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点在的外角的角平分线上运动，
由垂线段最短可知当时，最短，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、垂线段最短及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
13．(1)①证明见解析；②
(2)
【分析】（1）①根据正方形的性质得，，继而得到，推出，利用即可得证；
②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，由等边对等角得，，然后证明得即，再推出，继而得到，代入数据求解即可；
（2）设正方形的边长为，，可得，求解后可得到，如图所示：过点作交于点，证明，得，推出，设，则，求出，证明得即，得出，求得，推出，继而得到，则，再代入计算即可．
【详解】（1）①证明：四边形为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
②解：∵为的中点，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，即，
∵在正方形中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由①知：，
∴，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴线段的长为；
（2）解：设正方形的边长为，，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
即，
如图所示：过点作交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由①知：，
∴，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识点，通过作适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．
14．(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）①根据证明即可．②由全等三角形的性质可得，，证明，结合，，可得，从而可得结论；
（2）作交的延长线于H，可证，可得，，即可求解；
（3）由（2）可得，即可得到，得到为定值．
【详解】（1）证明：①∵正方形，
∴，，
∵
∴．
②∵，
∴，，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：作交的延长线于H，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，；
∵，，
∴，，
∴；
（3）解：为定值，理由如下：
由（2）可得，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为定值．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
15．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】此题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质，三角函数，
（1）由，所以．因为是菱形，且，所以与都是正三角形，从而，，故．
（2）解：过作延长线的垂线，交于点，设，则，根据勾股定理，得，所以当时，有最小值为．
（3）解：方法一：过点作边的垂线，交与点，交于点．再过点向边所在的直线作垂线，交的延长线于点．设，则，可得四边形的面积．方法二：取中点，连接，过作于，得，求出，，可得四边形的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴与都是正三角形，
∴，，
∵
∴，
∴；
（2）解：过作延长线的垂线，交于点，设，则．
∵，
∴，，
∴．
在中，据勾股定理，得
，
∴当时，有最小值为．
（3）解：方法一：过点作边的垂线，交于点，交于点．再过点向边所在的直线作垂线，交的延长线于点．设，则，
∵线段的中点是点，
∴．
故．
过点作边的垂线，交于点．
同理可得，
∴四边形的面积．
方法二：取中点，连接，过作于，
则，
∵，
所以，
同理：，
∴．