2025年中考数学二轮复习：相似三角形综合解答题 刷题练习题（含答案解析）

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1．如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为点，若，．
(1)求的长；
(2)求的正切值．
2．如图，是正方形的对角线，点E、F分别在边上，，延长到，且，连接．
(1)求证：；
(2)延长交于点，连接，求证：．
3．如图9，在梯形中，，连接，点在上，连接，使得，点在边上，连接，分别交、于点、，且，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如果，求证：．
4．已知：如图，在中，和是中线．
(1)求证：．
(2)、的面积分别表示为、，则___________．
5．（如图，在平行四边形中，点E在边上，点F在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
6．如图，是的外接圆，是直径，，，D是弦下方弧上的点（与B、C均不重合）．连接并延长交过A点的直线于E点，连接，使．
(1)请直接写出的正切函数值，即______；
(2)求证：是的切线；
(3)设与交于点F，点F在上（与O、C均不重合），过F点作，垂足为G，．与的大小相关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
7．如图，一棵树的高度为5米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长为3米，现在小明想要站这棵树下乘凉，已知他的身高为1.5米，那么小明最多可以离开树干多少米才可以不被阳光晒到？（不考虑其他情况）
8．如图，等腰中，，，点分别在边上，且，

(1)求证：；
(2)试猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)连接交于点，若，求的值．
9．如图1，在中，，是平面内一点（不与点重合），是线段中点，连接，过点作，垂足为点，为直线上一点，连接，且满足，连接．
(1)如图1，若，判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，若，判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，点在直线上方，，，，当是直角三角形时，直接写出线段的长．
10．把两个含有角的直角三角板如图放置，点在上，连接、，的延长线交于于点．
(1)直接写出线段与线段的关系___________．
(2)若将角换成如图，线段与线段在数量和位置上分别有何关系？说明理由．
(3)若将图中两个三角板旋转成图、图、图的位置，则（2）中结论是否仍然成立，选择其中一种图形进行说明．
11．在 中， ，在 上取一点，使 ，点 在边 上运动，点在射线上运动，在运动过程中使 ．当点到达点 时，点、点同时停止运动．
(1)线段 的长为 ；
(2)当 时，求的长；
(3)当点 和点到的距离相等时，求 的长．
(4)作点关于直线的对称点 ， 当直线 经过 一边中点时，直接写出的长．（写出一个即可）
12．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高．
13．如图，为直角三角形，，点是上一点，连接．
(1)如图1，若平分，，垂足为，若，，求的长；
(2)如图2，若，为线段靠近的三等分点，，，延长线与延长线交于点，，猜想，，三者的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点是平面内一点，且，，过点作交于点，交于点，连接．若，，直接写出的最小值．
14．如图，在中，，点在边上，连接，且．
(1)如图1，设，
①求的度数（用含的代数式表示）；
②若，求的长．
(2)如图2，将沿折叠得到交于点．
①求证：；
②如图3，点在线段上，连接并延长交的延长线于点，若，求的值．
15．如图，与均为直角三角形，．
(1)如图1，点与点重合，过点作于点，与相交于点，若，，求的度数．
(2)如图2，点在上，，，连接，点为的中点，点在上，连接、，，请写出、、的数量关系并予以证明．
(3)在（2）的条件下，如图3，点为直线上的动点，点关于直线的对称点为点，点为线段的中点，连接、、，当的值最大时，求的值．
参考答案
1．(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确构造直角三角形是解题的关键．
（1）解斜，先求出，再求出即可；
（2）点作于点，由得，而，则，那么，即可求解正切．
【详解】（1）解：∵，
∴，
设，
，
，
，
∴，
，
，
；
（2）解：过点作于点，
∵，
，
∴，
∴
∵是边上的中线，
∴，
，
由（1）可知：，
，
，
．
2．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先由正方形的性质结合平行线分线段成比例得到，然后证明即可；
（2）由，得到，证明，由直角三角形斜边上中线的性质得到，证明，则，那么，再交叉相乘即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图：
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，找出相似三角形是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据题意得出，进而得出，根据中位线的性质可得出，结合已知可得四边形是平行四边形，根据，即可得证；
（2）证明，得出进而证明得出，证明，即可证明得出，进而根据，，即可得证．
【详解】（1）证明：如图，
∵，即
∴
∵，即
∴
∴
又∵
∴
∴，即是的中点，
又∵，
∴是的中点，
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形为菱形；
（2）证明：∵，即
又
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
又∵是的中位线，
∴
又
∴即
4．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质得出，由已知条件得出，证明，得出对应边相等，即可得出结论；
（2）根据三角形中位线判定与性质得出，，即可判定，根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
、是中线，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵和是中线，
∴点E、D是、的中点，
，，
，
．
故答案为：．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质可知，．所以，，又因为，进而可证明；
（2）由（1）可知：，得出，由平行四边形的性质可知，进而得到，代入计算求出，即可解题．
【详解】（1）（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，．
又，
．
；
（2）解：，
四边形是平行四边形，
．，
．

，
．
6．(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用直径所对圆周角是直角得到，再根据正切函数定义 ，代入、计算得出结果．
（2）先由得出，结合证明，得到，再通过圆的性质及等量代换推出，即，从而证明结论．
（3）过点作，先利用平行线性质得出，结合三角函数值求出长度，再通过相似三角形得出长度，进而得到，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质证明 ．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
在中，，，，
∴．
（2）证明：如图，连接，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
是⊙的直径，
，
，
，即，
．
是的半径，
是的切线．
（3），理由如下：
如图，过点作，垂足为，与交于点，
，
，
．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题考查了圆的相关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定以及三角函数的应用，解题关键是熟练运用上述知识，通过边与角的关系进行推理和计算．
7．2.1米
【分析】本题考查了平行投影，在同一时刻时，树的高度与影长与人的高度与影长成正比列比例式，求出此时人的影长，计算出最多离树干的长度．
【详解】解：设小明在同一时刻在水平地面上形成的影长为米，
则，
解得，
经检验，是原方程的根.，
，
答：小明最多可以离开树干2.1米才可以不被阳光晒到．
8．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用一线三等角即可证明；
（2）由，推出，过点作于，过点作于，求出，，得到；设，则，求出，即可得出结论；
（3）在上取点，使得，过点作于，取中点，连接，证明，得到，设，则，同理（2）得，求出，，，利用勾股定理得到，证明是的中位线，进而证明，推出，求出，结合完全平方公式求出，且为正实数，，得到，即，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
过点作于，过点作于，
则，，

∵，
∴，
∴，
∴；
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在上取点，使得，过点作于，取中点，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
同理（2）得，
∴，
同理（2）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点，
∵点K是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
∵，且为正实数，，
∴，
∴，即，
∴；
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质以及勾股定理．本题的综合性强，难度较大，解题的关键是添加辅助线，构造三角形全等，相似是解题的关键．
9．(1)，理由见详解；
(2)，理由见详解；
(3)或
【分析】（1）延长至使，连接，证明，得，则，再证，即可得出答案；
（2）延长至使，连接，证明，得，则，再证，得，即可解决问题；
（3）分两种情况：当时，延长至使，连接，延长交延长线于点，证，得，，再证，求得，然后证，得，求出，进而由勾股定理得，则，最后证明是的中位线，即可得出答案．当时，用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：线段与线段之间的数量关系为：，
理由如下：如图2，延长至使，连接，
是线段中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：线段与线段之间的数量关系为：，
理由如下：如图3，延长至使，连接，

在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延长至使，连接，延长交延长线于点，

在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，，
是的中位线，
．
当时，如图所示：
由前面的过程可知，此时共线，；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质三角形中位线定理等知识，本题综合性强，正确作出辅助线，构建全等三角形和相似三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
10．(1)，
(2)，，理由见解析
(3)（2）中结论仍然成立，说明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）证明得，，又，所以，求得，即，即可求解；
（2）证明得，，又，所以，求得，即，即可求解；
（3）由，得，，在图中：由，得，再结合得，即可求解；在图中：由题可知：，又，所以，再结合，所以，即可求解；在图中：由，得，又，所以，即可求解．
【详解】（1）解：由题可得：，，，
，
，，
又，
，
，即，
故答案为：，；
（2）解：，，理由如下：
由题可得：，，
，
又，
，
，，
又，
，
，即；
（3）解：（2）中结论仍然成立，仍然证，得到，，
图：由，得，
又，
，
，即；
图：由题可知：，
又，
，
而，
，
，即；
图：由，得，
又，
，
，即．
11．(1)
(2)
(3)或；
(4)或
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据已知得出，进而得出；
（3）过点作于点，得出，分两种情况讨论，当在同侧时，当在异侧时，根据相似三角形的性质，即可求解；
（4）作关于对称点，连接并延长，交于点，则，是的中点，则，分两种情况讨论，过的中点和过的中点，分别画出图形，根据相似三角形的中即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴可设，，
∴，
当时，，
∵，设，则
∴
∴，
∴，
即，
解得，
∴；
（3）解：如图，过点作于点，
∵，设，则
∴
∵是等腰直角三角形，则
∴是等腰三角形，
∴
∴，
∵
∴,
如图，当在同侧时，
∵点 和点到的距离相等，
∴
∴
∴
∵
设，
∴，
∴
解得：
∴
如图，当在异侧时，过点作交于点，设与交于点，
∵与到直线的距离相等，设距离为
设，则
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
设，
∴
∴
解得：
∴
综上所述，或；
（4）解： ∵
设，
如图，作关于对称点，连接并延长，交于点，则，是的中点，则
∵
∴
∴
∵，，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
解得：或（舍去）
∴；
如图所示，是的中点，设交于点，则，
∵
∴
∴
∴
则
∵
∴
∴
∴
解得：或（舍去）
∴
综上所述， 或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，分类讨论是解题的关键．
12．树高为8米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【详解】解：和均为直角，
．
,
．
，，，
．
．
答：树高为8米．
13．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据题意证明出，得到，，然后利用勾股定理求出，设，，在中，理由勾股定理求出，进而求解即可；
（2）如图，延长和交于点，证明出，得到，，设，然后得到，得到，进而求解即可；
（3）如图所示，取中点，连接，，证明出，得到，证明出，得到，推出，然后代数求出，然后求出，勾股定理求出，然后利用求解即可．
【详解】（1）∵平分，，，
∴，．
∵，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
设，
∴．
在中，，，
∴．
解得．
∴．
在中，，
；
（2）．理由如下：
如图，延长和交于点，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，．
∴．
又∵为线段靠近的三等分点，
∴．
∴．
又∵，，
∴．
又∵，
∴．
∴．
又∵，设，
∴，
．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，，
∴；
（3）如图所示，取中点，连接，，
∵，
∴
又∵
∴
∴，即；
同理可证
∴，即．
∴．
∵，，
∴．
∵为中点，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴当、、共线时，取到最小值．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判断，勾股定理，全等三角形的性质和判断，等腰三角选的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
14．(1)①；②
(2)①见解析；②
【分析】（1）①根据三角形外角的性质可得，推出，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；②过作于，利用三角函数解和即可求解；
（2）①由折叠的性质得，再证，依次得出，，等量代换得出，根据等角对等边得出，即可证明；②过作于于,证明四边形是正方形，再依次证明，，，即可求解．
【详解】（1）解：①，
，
，
；
②如图1，过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
在Rt中，，
，
；
（2）①证明：沿折叠得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图2，过作于于,
,
四边形是矩形，
又，
，
四边形是正方形，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等，涉及知识点较多，难度较大，解题的关键是正确作出辅助线．
15．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）过点F作，由题意可知，解直角三角形可得，，根据，得，，进而可得，即可求解；
（2）过点作交延长线于，连接，延长交于，则，先证为等腰直角三角形，得，再证，得，，再证，则，可知为的中点，则，再证，进而可证得，得，由，即，得，则，再结合即可得结论；
（3）设，连接，由折叠可知，，可得，易知，得，延长至使得，可得，易得，得，可知，即当点在的延长线上时，取得最大值，连接，，过点作，可得，均等腰直角三角形，求得，设，在中，，列出方程求得，进而求得，即可求解．
【详解】（1）解：过点F作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
则，
即，
∴，
∵过点作于点，
∴，
∴；
（2），证明如下：
过点作交延长线于，连接，延长交于，则，
∵，，
∴，则，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
∵，则，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∵，即，
∴，则，
∴，则为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，即，
∴，
则，
∵，
∴；
（3）设，则，，
连接，由折叠可知，，则，，即，
∵，
∴，则，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
延长至使得，
∴，，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，当点在的延长线上时取等号，
∴当点在的延长线上时，取得最大值，
连接，，过点作，
，
∵，则，均等腰直角三角形，
∴，则
∵，即，
∴设，则，，，
在中，，即，
解得：（负值舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等知识点，添加辅助线构造相似三角形和全等三角形是解决问题的关键．