2025年中考数学二轮复习：二次函数的面积问题 提分刷题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：二次函数的面积问题 提分刷题练习题（含答案解析），共43页。试卷主要包含了综合与实线等内容，欢迎下载使用。

(1)直线的解析式是________________，抛物线的解析式是________________；
(2)如图1，过点作于点，交轴于点，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标；
(3)如图2，在轴上有一点，连接交于点，求与的面积之差的最大值．
2．如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当的面积为21时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，当点P在上方时，M是抛物线上的动点，求的最大值．
3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．为第一象限的抛物线上一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求面积的最大值；
(3)若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标．
4．如图1，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴另一交点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方抛物线上的一个动点．
①连接，，当的面积最大时，求点坐标．
②如图2，过点作轴的垂线，交抛物线另一点于点，已知点是抛物线上一动点，其横坐标为，连接．过点作轴于点，的延长线与的延长线交于点，求的值．
5．综合与实线
如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标．
(3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
6．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，且过点．
(1)求抛物线表达式；
(2)如图2，点P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作轴，交直线于点E，交x轴于点F，连接，若时，求点P的坐标；
(3)如图3，点M是抛物线的顶点，点P为抛物线对称轴上的一个动点，连接，求的最小值．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求，两点的坐标；
(2)当时，动直线与抛物线交于点，与直线交于点．设线段的长为，连接，构成，求出当面积最大时，的值及点坐标；
(3)我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有个整点，试结合函数图象直接写出的取值范围．
8．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点是抛物线上点与点之间的一个动点（不与点，重合）．
(1)求，的值；
(2)如图1，点在直线的上方，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)如图2，过原点作直线交抛物线于点，，若点的横坐标为，点的横坐标为，求的值．
9．如图1，抛物线与坐标轴分别交于三点，其中点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，点是轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值；
(3)在（2）条件下，将抛物线沿轴翻折得到，则点的对应点为，并将沿射线方向平移个单位长度得到，记在抛物线上的对应点为，过作轴于点是直线上一点，连接，则是否存在点使得；若存在，请直接写出点的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，，，已知，直线与抛物线交于另一点E．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)若是直线上方抛物线上的一动点，当为何值时面积有最大值，最大值是多少．
11．如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，求的面积．
12．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标；
(2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标．
13．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．已知．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标；
(3)求的面积．
14．综合与探究
如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式并直接写出点的坐标；
(2)求的面积，并在该二次函数图象上确定一点，使与的面积相等，请求出所有满足条件的点的坐标．
(3)该二次函数对称轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为．
①求面积S与的函数表达式，并求S的最大值；
②当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值．
参考答案
1．(1)，；
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）设点，点，点，，利用
，，推出，接着证明，那么有，即，然后解方程即可；
（3）连接，作，交于点，先求得直线，设点，，表示出，，得到
，接着求得，最后利用，
由，则时，取最大值，最大值为．
【详解】（1）解：设直线为，代入，，
，
，
直线为：，
抛物线经过，两点，
，
，
抛物线为：，
故答案为：，；
（2）解：设点，点，点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
当时，点，点，点，不符合题意，舍去；
当时，，点，符合题意，
；
（3）解： 连接，作，交于点，如图所示：
设直线为：，代入，，
，
，
直线为：，
设点，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
时，取最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，二次函数的最值问题，熟练以上知识点是解题的关键．
2．(1)
(2)P的坐标为或
(3)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题和线段问题，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求出直线的函数解析式为，进一步得到点Q的坐标为．设点P的坐标为，得到，即可求出答案；
（3）连接并延长交抛物线于点M，则点M即为所求．的最大值为的长．过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，进一步利用勾股定理进行解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，且它的对称轴为
∴
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，
设直线的函数解析式为，把点代入，得，解得．
∴直线的函数解析式为，
设和对称轴的交点为点Q．
当时，
∴点Q的坐标为．
∵点P在对称轴上，
∴设点P的坐标为，
∴，
∴，
即，
解得或．
∴点P的坐标为或；
（3）如图2，连接并延长交抛物线于点M，则点M即为所求．的最大值为的长．
过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，
∵，，
∴，，
∴．
即最大值为．
3．(1)
(2)2
(3)
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形面积，二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法，二次函数与图形面积，特殊四边形的综合运用技巧是关键．
（1）根据题意得到，由抛物线与轴的交点可设，将点代入，运用待定系数法即可求解；
（2）如图所示，过点作轴于点，交于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，设点，则点，所以，由，结合二次函数最大值的计算方法即可求解；
（3）设，，则，根据菱形的性质得到，由此列式得，解方程即可求解．
【详解】（1）解：抛物线，
当时，，
∴，
抛物线与轴交于点，，
∴设，将点代入，
得：，
解得：，
；
该抛物线的函数表达式为；
（2）解：为第一象限的抛物线上一点，如图所示，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为，
∵，，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则点，
，
∴，
∵，
∴当时，面积的最大值为；
（3）解：设，，
，
四边形是菱形，
，
，
解得：，
．
4．(1)；
(2)①点的坐标为；②
【分析】（1）先求出点的坐标为，再根据点，求出直线的解析式，即可求得点的坐标为，再运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①如图①，过点作轴交于点，先设点的坐标为，则点的坐标为，再根据，列式，再利用二次函数的性质即可求解；
②如图②，由题意，根据点是抛物线上的一点，点的横坐标为，确定，根据抛物线的对称轴为直线，得出点在直线的右侧，点关于直线对称，，即可确定，，据此求解即可．
【详解】（1）解：将代入，得，
点的坐标为，
直线经过点，
，即直线的解析式为，
将代入，得，
点的坐标为，
将代入抛物线中，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：①如图①，过点作轴交于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
∵，
∴当时，有最大值，此时，，
点的坐标为；
②如图②，由题意得，
点是抛物线上的一点，点的横坐标为，
，
，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
，
点在直线的右侧，
轴，
点关于直线对称，
，
，
点在抛物线上，
，
，
．
【点睛】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式求解，二次函数图象和性质，一次函数的图象和性质．二次函数与三角形面积综合，解直角三角形等知识点，解题的关键是数形结合思想的运用．
5．(1)；
(2)点P的坐标为；
(3)存在，点P的坐标为，四边形的面积最大，最大值为
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，勾股定理，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
将点和代入解方程组得到结论；
由得点，，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为；设点，得到，根据勾股定理得到，根据题意列方程即可得到结论；
如图2，过点P作轴交直线于G，设点P的坐标为，则，根据点的坐标得到，，，根据三角形的面积公式得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：将点和代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由得点，，
设直线的解析式为，
解得，
直线的解析式为；
设点，
轴，
，
，
，
，
，
解得或不合题意，舍去，
当时，，
点P的坐标为；
（3）存在．
如图2，过点P作轴交直线于G，
设点P的坐标为，则，
，，，
，，，
，
，
当时．有最大值，最大值为，
点P的坐标为，四边形ABPC的面积最大，最大值为
6．(1)
(2)P点坐标为或
(3)30
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线的解析式，设点的坐标为，则：，分点在直线上方和点在直线下方，两种情况进行讨论求解即可；
（3）构造一个以为斜边的等腰直角，如图，延长交轴于点，交轴于点，连接，把转化为，求出的最小值即可．
【详解】（1）解：二次函数图象与轴交于点，
．
二次函数图象经过点，即：过点，
∴，
．
故二次函数的表达式为．
（2）当，解得：，
，
∵，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
直线表达式为．
设点的坐标为，
．
①如图1，当点在直线上方时，
，
，
，
，
，解得，
．
②如图2，当点在直线下方时，
，
，
，
，解得，
点P在y轴的左侧，
，
，
综上所述，P点坐标为或．
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点，
，
构造一个以为斜边的等腰直角，如图，延长交轴于点，交轴于点，连接，则：，，
∴点在直线上运动，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，
当三点共线时，取得最小值，即取得最小值，
又∵点在直线上运动，
∴当时，取得最小值，
此时为等腰直角三角形，
∴，
的最小值为．
的最小值为30．
7．(1)，；
(2)，；
(3)或．
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与线段长度，二次函数与面积问题，二次函数上点的特征，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．
（）将函数解析式进行因式分解得，即可求出点，；
（）当时，，令，则，即，求出直线的解析式为，设，，则可求出关于的函数解析式为；然后通过，再由二次函数的性质即可求解；
（）分两种情况讨论：和，结合图象确定有个整数点时，的最大值和最小值，进而确定的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
令，则，
∵，
∴或，
∴，；
（2）解：当时，，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，
将点、的坐标代入，得
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵动直线与抛物线交于点，与直线交于点，
设，，
∵线段的长为，
∴，
即关于的函数解析式为；
由题意可知，，
∴，
∵，且，
∴当时，有最大，最大值为，
∴当时，，
此时，，
∴当面积最大时，，；
（3）解：若，
∴，顶点应满足且，
得；
若，
∴，顶点应满足且，得；
∴的取值范围是或．
8．(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质．
（1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值；
（2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为；
（3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可得．
【详解】（1）解：把点和点的坐标代入，
得到：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：如下图所示，过点作轴，交于点，
设直线的解析式为，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
设点的横坐标为，则点的纵坐标为，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
，
，
整理得：，
可知当时，的面积有最大值，最大值是，
当时，，
此时点的坐标为；
（3）解：设直线的解析式为，
解方程组，
可得：，
整理得：，
一元二次方程中，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
这两个不相等的实数根分别为、，
∴．
9．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先求出，再把，代入得计算即可；
（2）过作轴于，交于，先求直线解析式为，再设，则，，根据，求出面积最大时，再过在轴上方找一点，使，，连接，延长交轴于，根据，当在上时，最小，再求出的轨迹方程，设，根据求解即可；
（3）先求出，，得到，直线解析式为，再根据的位置分情况讨论，分别画出图形求解即可．
【详解】（1）解：令，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
把，代入得，
解得，
∴抛物线解析式；
（2）解：过作轴于，交于，
∵，
∴设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
∴设，则，
∴，
∴
，
∴当时，最大，此时，
过在轴上方找一点，使，，连接，设交轴于，
∴，，
∴，，即，点在直线上移动，
∴，
∴当在上时，最小，
设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
∴设，
∴，
∴当时，最小，即，
∴的最小值；
（3）解：∵关于轴翻折得到点，
∴将抛物线沿轴翻折得到，解析式为，整理得，的对应点，
连接交轴于，则轴，，

∴，，，
∴将沿射线方向平移个单位长度得到，相当于先向左移动个单位长度，再向下移动12个单位长度，
∴在抛物线上的对应点为，即，
∵过作轴于点，
∴，
∵，
∴设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
当点在点左边时，由外角可得，不合题意；
当点在线段上时，如图，连接交轴于点，过作于
∵，
∴，即平分，
∵
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵中，，
∴，
解得，
∴，
同理可求得直线解析式为，
∵直线与交点为，
∴联立，解得，
∴；
当点在点右边时，如图，过作交于，过作轴于，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴，
同理可求得直线解析式为，
∵直线与交点为，
∴联立，解得，
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到求抛物线解析式，二次函数面积最值，二次函数线段和最值，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点．
10．(1)，
(2)当时，最大为
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点作轴，交于点，利用分割法，将的面积转化为二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过三点，，，
∴设抛物线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴；
∵，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
∴；
（2）是直线上方抛物线上的一动点，
∴，
联立，解得：或，
∴，
过点作轴，交于点，则：，
∴，
∴，
∴当时，最大为．
11．(1)
(2)
【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数与几何问题，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
（1）把代入函数解析式即可；
（2）把代入抛物线，求得点的坐标，把代入抛物线，求得点的坐标，即可解答．
【详解】（1）解：把代入函数解析式可得，
，解得，
抛物线的函数解析式为；
（2）解：当时，，
，
当时，可得，
解得，
，
，
．
12．(1)抛物线的解析式为，点D的坐标为；
(2)的面积的最大值为8，；
(3)点P的坐标为或
【分析】本题考查了二次函数的面积综合，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，把、分别代入，进行计算，得抛物线的解析式为，再结合直线，列方程计算，即可作答．
（2）先表示，，得出，故，当时，的面积的最大值为8，此时，即可作答．
（3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，
解得
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线的解析式为与直线交于B、D两点，
∴，
解得
∴把代入，得，
∴点D的坐标为，
（2）解：如图1，过点P作轴，交于点E，
则，，
∴，
∴
，
∴当时，的面积的最大值为8，
此时．
（3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H，
∵轴于H，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
由（2）知，
∴点H的坐标为，
由（1）可知，
∴，，
∴，
∴或，
即或，
当时，
解得或（舍去），
此时；
当时，
解得或（舍去），
此时，
综上，点P的坐标为或.
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把代入求解析式即可；
（2）将军饮马模型，连接与对称轴的交点即为点，求的解析式即可得到答案．
（3）如图，连接，求解，可得，面积为；可得.
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点， ，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴对称轴：，
由抛物线的对称性可知，点关于对称轴对称，即
连接，
∴，当三点共线时，的长度最小，为的长，
∵，，
设的解析式为，
则，解得
∴，
当时，，
∴．
（3）解：∵，
∴顶点，
∴，，
如图，连接，
∴，面积为；
∴.
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，轴对称的性质，图形面积的计算，正确的求出函数解析式，数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
14．(1)二次函数的表达式为，点的坐标为
(2)，点的坐标为或或或
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（）利用待定系数法可求出二次函数的表达式，再根据二次函数的表达式可求出点的坐标；
（）利用点坐标可求出的面积，设点的纵坐标为，进而根据两个三角形面积相等列出方程求出的值，再代入二次函数表达式求出点的横坐标即可求解；
（）求出二次函数的对称轴为直线，设，分点为等腰的顶点和点为等腰的顶点两种情况，根据等腰三角形的性质、两点间距离公式列出方程解答即可求解．
【详解】（1）解：把代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
∵当时，，
∴点的坐标为；
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，
设点的纵坐标为，
∵与的面积相等，
∴，
∴，
∴，
当时，由，解得，，
∴或；
当时，由，解得，，
∴或；
综上，点的坐标为或或或；
（3）解：存在．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
当点为等腰的顶点时，，
则，
解得，
∴或；
当点为等腰的顶点时，，
则，
解得或，
∴或；
综上，对称轴上存在一点，使是以为腰的等腰三角形，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的几何应用，等腰三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
15．(1)；
(2)①，S的最大值6；②满足条件的t的值为或或．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）设，将点代入即可求解；
（2）①由，则，求出，再由即可求解；
②分三种情况讨论：当时，；当时，过点C作交于M，则M为的中点；当时，过点P作交于N，则N是的中点；分别求出t的值即可．
【详解】（1）解：直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，
∵抛物线与x轴的另一交点为，
设所求抛物线的函数表达式为，
把点代入，得，
解得，
∴所求抛物线的函数表达式为，即；
（2）解：①，则，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴当时，S有最大值6；
②过点C作交于M，
则，，
∴
分三种情况讨论：
当时，，
解得或（舍）；
当时，则M为的中点，如图1，
∴，
解得或（舍）；
当时，过点P作交于N，则N是的中点，如图2，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述：满足条件的t的值为或或．