2025年中考数学二轮复习：二次函数中平行四边形的存在性问题 提分刷题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：二次函数中平行四边形的存在性问题 提分刷题练习题（含答案解析），共43页。试卷主要包含了抛物线与轴交于点，，与轴交于点，如图，抛物线经过点，点，点，如图，已知抛物线，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，抛物线的顶点坐标为，点是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；
(3)如图2，点是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
2．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知、，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为线段上的一动点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求四边形的最大面积；
(3)在（2）的条件下，当四边形的面积最大时，点是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线经过点，点，点．

(1)求抛物线的解析式，并直接写出直线的解析式；
(2)如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点E的坐标和面积的最大值；
(3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)绕点A旋转的直线与y轴相交于点D，与抛物线相交于点E，且满足时，求直线l的解析式；
(3)点P为抛物线上的一点，点Q为抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P，Q为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，已知抛物线：与轴交于点，点（在的左侧），与轴交于点，抛物线与关于轴对称．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线与轴交于点，点是抛物线的一个动点，作轴的垂线交所在的直线于点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴交于点A，线段轴，交该抛物线于另一点B．
(1)求点B的坐标；
(2)若点C在y轴上，点D在抛物线上，当四边形是平行四边形时，求四边形的面积．
7．解答题
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于、两点，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点P在直线下方，P运动到什么位置时，四边形面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积；
(3)直线上是否存在一点Q，使得以点组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，连接AB．直线y＝－2x＋8过点B交y轴于点C，点F是线段BC上一动点，过点F作轴，交线段AB于点E，交抛物线于点D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为m，当EF＝5ED时，求m的值；
(3)若抛物线上有一点H，且满足四边形ABFH为矩形．
①直接写出此时线段BF的长；
②将矩形ABFH沿射线BC方向平移得到矩形（点A、B、F、H的对应点分别为、、、），点K为平面内一点，当四边形是平行四边形时，将抛物线沿其对称轴上下平移得到新的抛物线，若新的抛物线同时经过点K和点，直接写出点K的横坐标．
9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，且． 抛物线的对称轴交抛物线于点D，交直线于点E．

(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；
(2)P是轴上一动点，过点P作轴交直线于点F，交抛物线于点G．
①是否存在点P，使以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求n的值，若不存在，请说明理由；
②如图2，点M在直线上（点M在x轴上方），且个单位长度，若线段与直线和抛物线都有交点，请直接写出n的取值范围．
10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C，其顶点为D点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)连结，动点Q的坐标为．P为抛物线上的一点，是否存在以B，D，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)连结，当最大时，求出点Q的坐标．
11．如图，已知二次函数的图像经过，两点，顶点为．
(1)求该二次函数的解析式和顶点的坐标
(2)设图像的对称轴为，点是图像上一动点，当的面积为时，点关于的对称点为，能否在图像和上分别找到点，，使得以点、、、为顶点的是四边形为平行四边形?若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．
12．如图，抛物线分别与轴、轴交于，和点，对称轴为直线．
(1)求的值及，两点的坐标；
(2)已知点在直线上运动．
①问当点在上什么位置时，与，距离之和最短，最短为多少？
②抛物线上是否存在一点，使以、，、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
13．如图，已知抛物线的顶点为，与y轴相交于点，对称轴为直线l，点M是线段的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)写出点M的坐标并求直线的表达式；
(3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．
14．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求的值；
(2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值；
(3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴直线与抛物线交于点D，与直线交于点E．

(1)求直线的解析式；
(2)若点F是直线上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使三角形的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；
(3)平行于的一条动直线l与直线相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标（直接写点的坐标）．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】本题主要考查了二次函数的表达式，二次函数图象的性质，一次函数的表达式，一次函数图象的性质，三角形面积最值问题，判定平行四边形求动点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用．
（1）根据顶点坐标假设抛物线顶点式表达式，将点坐标代入即可求出抛物线表达式；
（2）求出二次函数图象与坐标轴的交点坐标，求出一次函数图象的表达式，根据一次函数图象的性质判断出等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质，斜边最大时面积最大，假设出相关点的坐标，表示出斜边长度，从而得出最长斜边，即可求出最大面积；
（3）根据平行四边形的判定定理，分别以为平行四边形的边和对角线来进行分类讨论，对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，假设出点的坐标，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴假设抛物线的表达式为，
将代入得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令,则，
令，则，
解得，
∴，，，
假设直线的表达式为，
将代入得，，
解得，
∴直线的表达式为，
∵，
是等腰直角三角形，
也是等腰直角三角形，
当斜边最大时，的面积最大，
假设，，
求顶点横坐标为，，顶点纵坐标为的最大值，
，
是等腰直角三角形，
，
∴的面积为；
（3）解：分两种情况讨论，
①当为平行四边形的边时，则有，且，
如图，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点，
则，
在和中，，
，
，
点到对称轴的距离为3，
又，
抛物线对称轴为直线，
设点，则，
解得：或，
当时，代入，得：，
当时，代入，，
点坐标为或；
②当为平行四边形的对角线时，
如图，设的中点为，
，，
，
点在对称轴上，
点的横坐标为，设点的横坐标为，
根据中点公式得：，
，此时，
；
综上所述，点的坐标为或或．
2．(1)
(2)四边形的最大面积为
(3)存在，或或
【分析】（1）根据题意将A，C两点的坐标代入即可求出解析式；
（2）求出直线的解析式，设点，则点，可表示出的长，则四边形的面积，根据二次函数的性质可求出面积的最大值和点的坐标；
（3）分三种不同的情况进行讨论，利用平行四边形的对角线互相平分即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：令，则，
解得或，
∴点，
设直线的解析式为，把点、的坐标代入得：
，解得
∴直线的表达式为：
设点，则点，则，
则四边形的面积，
即四边形的最大面积为；
（3）解：存在， 理由：
由（2）知，四边形的最大面积时，，即点，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
设点， 设点的横坐标为，
当为对角线时，则，
解得，即点
当或为对角线时，
同理可得：或
解得或，即点或，
综上，点或或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，用函数的思想求最值，平行四边形的性质等，解题的关键是能够根据题意利用中点坐标进行分类讨论求出存在的点的坐标．
3．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为；
(2)点的坐标是时，的面积最大，最大面积是3；
(3)点的坐标是，或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，然后设点的坐标是则点的坐标是求出的值，最后根据三角形的面积公式，利用二次函数的性质解题即可；
（3）在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形.然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图1，过点作轴的平行线交直线于点,交轴于点,
∵点是直线上方抛物线上的一动点，
∴设点的坐标是，则点的坐标是，

，
，
∴当时，即点的坐标是时，的面积最大，最大面积是3；
（3）解：在抛物线上存在点P, 使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.
①如图,当四边形为平行四边形时
由（2），可得点的横坐标是，
∵点在直线上,
∴点的坐标是，

又∵点的坐标是,
∴点向右平移4个单位单位，再向上平移个单位长度可以得到点，
的对称轴是直线,
∴设点的坐标是,点的坐标是，
∵根据平行四边形的性质可知，点向右平移4个单位单位，再向上平移个单位长度可以得到点，
即，解得，
∴点的坐标是；
②如图，当四边形为平行四边形时，
根据平行四边形的性质可知，点向右平移4个单位单位，再向上平移个单位长度可以得到点，

即，解得，
∴点的坐标是；
③如图，当四边形为平行四边形时，
∴且，
由平移可知：，解得

∴点的坐标是；
综上所述，点的坐标是，或．
【点睛】此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力.
4．(1)
(2)或y
(3)存在，点P的坐标为或或
【分析】（1）把和代入求得a，b即可；
（2）分两种情况：①当点D、E在点A的异侧时，过点E作轴于点F，可证，由，即得，从而点E的坐标为，用待定系数法即得直线l的解析式为；②当点D、E在点A的同侧时，过点E作轴于点F，同理可得点E的坐标为，直线l的解析式为；
（3）抛物线对称轴为直线，设，，又，，分三种情况：①以为对角线，则的中点重合，可解得，②以为对角线，；③以为对角线，．
【详解】（1）∵抛物线经过点和点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）①当点D、E在点A的异侧时，过点E作轴于点F，如图：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点F与点E的横坐标为，
∴点E的纵坐标为，
∴点E的坐标为，
∵直线过点和点，
∴，
解得：
∴直线l的解析式为；
②当点D、E在点A的同侧时，过点E作轴于点F，如图：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点F与点E的横坐标为，
∴点E的纵坐标为，
∴点E的坐标为，
∵直线过点和点，
∴，
解得，
∴直线l的解析式为y，
综上所述：直线l的解析式为或；
（3）存在以点B，C，P，Q为顶点的平行四边形，理由如下：
抛物线对称轴为直线，
设，
又，，
①以为对角线，则的中点重合，
∴，解得，
∴，
②以为对角线，
∴，
解得，
∴；
③以为对角线，
∴，
解得，
∴，
综上所述，P的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象与性质，旋转变换、平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标列方程解决问题．
5．(1)
(2)或
【分析】（1）先求出，，点坐标，由是关于轴对称的抛物线，可知点关于轴的对称点和点，点在抛物线上，利用待定系数法即可求解；
（2）先根据待定系数法求出直线的解析式，设，，则，再分为平行四边形的边、对角线两种情况，利用平行四边形的性质分别计算即可．
【详解】（1）解：抛物线：中，
令，则，
，
令，则，
解得，，
在的左侧，
，，
是关于轴对称的抛物线，
，在抛物线上，
设抛物线与轴交于点，
，
，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
解得，
，
即抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
点是抛物线的一个动点，
设，
轴交于点，
，
则，
当为平行四边形的边时，
则，即，
当时，，解得，
当时，，该方程无解，
，
当时，，
当时，，
或；
当为平行四边形的对角线时，
，
点O是的中点，
轴，
，在y轴同侧，
这种情况不存在，
综上可知，或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查特殊四边形的存在性问题，轴对称的性质，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，解一元二次方程，平行四边形的性质等，解题的关键是综合运用上述知识，注意分类讨论．
6．(1)
(2)16
【分析】（1）把代入，求得，把代入，得，求得，，即可得出点B坐标；
（2）先求出，再根据平行四边形的性质得出，，从而得出点D横坐标为，然后把把代入，得，从而求得，即可根据平行四边形面积公式求解．
【详解】（1）解：把代入，得
，
∴，
∵轴，
∴点A与点B纵坐标相等，
把代入，得
解得：，，
∴；
（2）解：如图，
∵，
∴，
当四边形是平行四边形时，则，，
∵轴，
∴轴，
∴点D横坐标为，
把代入，得，
∴，
∴AB边上的高是，
∴．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征与平行四边形的性质是解题的关键．
7．(1)
(2)当P点坐标为时，
(3)Q的坐标为或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设，过P作轴于点E，交直线于点，先用待定系数法求得直线解析式为，，则，当最大时，四边形的面积最大，所以，所以，然后利用求二次函数最值方法即可求解；
（3）分两种情况：①当以为平行四边形的边时，②当以为平行四边形的对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：把、代入得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点P在抛物线上，
∴可设，
过P作轴于点E，交直线于点，如图1：
∵，
设直线解析式为，
则，
∴，
∴直线解析式为，，
∴，
当最大时，四边形的面积最大，
∴，
，
∴当时，最大值为8，此时，
∴当P点坐标为时，，
故此时四边形的最大面积，四边形的最大面积；
（3）解：当以为平行四边形的边时，则在x轴上方有平行四边形，在x轴下方不存在平行四边形，
∵，
∴，，
设，则，
∴，
解得：，(不符合题意，舍去)，
当时，，
∴；
当以为平行四边形的对角线时，则有平行四边形，
∵，
∴点P、Q关于线段AB中点对称，
设，则，
∴，
解得：，(不符合题意，舍去)，
综上，存在一点Q，Q的坐标为或，使得以点组成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析、一次函数解析式，二次函数图象性质，三角形的面积，平行四边形的判定与性质，本题属二次函数与面积、特殊四边形的综合题目，难度一般，属中考常考题目．
8．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）将点坐标代入即得b、c的值；
（2）由题意可知点F、E、D的横坐标相同，首先由求出直线的解析式，继而可得点F、E、D的坐标，再根据，得到F、E、D的纵坐标关系，从而求得m的值；
（3）①根据矩形对边平行且相等求出直线的解析式，再求出点H的坐标，根据两点间距离公式可求出的长，即为的长；②首先求出点F的坐标，设矩形沿射线方向平移的距离，得出点的坐标，再根据平行四边形的性质，可得点的坐标，再设，即得点的坐标．
【详解】（1）将代入得，
解得
∴
（2）
∴
，
解得
∵
∴
（3）①∵四边形为矩形
∴且
解得：
②由①易得F(3,2),设矩形沿射线方向平移
则
∵四边形为平行四边形
∴
设
将代入
，
解得
∴
【点睛】本题考查二次函数和一次函数、矩形、平行四边形的结合和图形移动的问题，把几何问题转换成解方程的思想是本题重点．
9．(1)
(2)①存在，或；②或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，令，求出的值，即可得解；
（2）①求出点坐标，点坐标，进而得到当D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形时，且，分点G在点F的上方和点G在点F的下方，两种情况进行求解即可；②求出当时，对应的直线的自变量的值以及抛物线对应的点的横坐标，利用数形结合的思想，进行求解即可．
【详解】（1）解：依题意：点C的坐标为 ，即，
∵，
∴，即点B的坐标为
将点B代入抛物线中，，得，
∴抛物线的解析式为：；
令，解得：，，
即点A的坐标为；
（2）①设直线的解析式为：，
∵B， C，
∴，解得：，
∴直线的解析式为
∵
∴，
∴，，
假设存在点P，使以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则且，
∴，
若点G在点F的上方，
，即，得（舍）或2
若点G在点F的下方，
，即，得
综上，存在三个满足条件的点P，或．
②∵直线：，
当时：，
解得：，
∵抛物线：，
当时：，
解得：；

如图：线段与直线和抛物线都有交点时，
的取值范围为：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
10．(1)抛物线的解析式为；
(2)，或，或，或，；
(3)Q点坐标为或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得顶点，分两种情况讨论，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形的性质以及平移的性质即可求解；
（3）记的外心为M，则M在的垂直平分线上（设与y轴交于点N），连接．由圆周角定理和三角函数的定义可表示出，可得出的值随着的增大而减小，则可得与直线相切，再结合勾股定理可求得Q点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴，
当为对角线时，根据平行四边形的性质，相当于向上平移1个单位，
∵，，
点B向上平移1个单位为点Q，
∴点D向上平移1个单位为点P，则点P的纵坐标为，
解方程，得，或；
当时，，即点向上平移1个单位，向左平移1个单位，
∴点向上平移1个单位，向左平移1个单位，得到点，
当时，同理，；
即，或，；
当为对角线时，根据平行四边形的性质，相当于向上平移5个单位，
∵，
∴点P的纵坐标为5，
解方程，得，或；
同理得，或，；
综上，，或，或，或，；
（3）解：如图，记的外心为M，则M在的垂直平分线上（设与y轴交于点N）．

连接，则，，
∴，
∴的值随着的增大而减小．
又∵，
∴当取最小值时最大，
即垂直直线时，最大，
此时，与直线相切．
∴，，
∴Q坐标为．
根据对称性，另一点也符合题意．
综上可知，Q点坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、平行四边形的性质、直线和圆的位置关系、三角函数的定义等知识点．在（3）确定出最大时与直线相切是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强．
11．(1)顶点的坐标为
(2)能．存在满足条件的点，其坐标为或或
【分析】（1）运用待定系数法计算即可．
（2）根据对称性，平行四边形的判定和性质，分类计算即可．
【详解】（1）将、代入，
得：，
解得，
该二次函数的解析式为．
，
顶点的坐标为．
（2）能．理由如下：
如图，过点作轴的垂线交于点，
设直线的解析式为，
将、代入，
得：，
解得，
直线的解析式为，．
，
．
点在图像上，
．
的面积为，
，即，
解得．
．
，
图像的对称轴为．
点关于的对称点为，
，
，
若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，有两种情况：
当为边时，则有且．
点的横坐标为或，
点的纵坐标为，
点的坐标为或；
当为对角线时，则可知点为抛物线的顶点，即；
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，平行四边形的判定，抛物线的对称性，三角形面积的计算，熟练掌握待定系数法确定解析式，平行四边形的判定，抛物线的对称性是解题的关键．
12．(1)
(2)①当时，与，距离之和最短，最短为；
②抛物线上存在一点，使以、，、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标
【分析】（1）根据对称轴直线可得，由此得到二次函数解析式，根据二次函数与坐标轴的交点的计算可得的坐标；
（2）①如图所示，连接交对称轴直线于点，则有的最小值即为的值，运用勾股定理可得，运用待定系数法可得直线的解析式，当时可得点的坐标，由此即可求解；②设，根据平行四边形的性质，运用对角线中点坐标，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴直线，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
令，则，
∴，
令，则，即，
解得，，
∴；
（2）解：①如图所示，连接交对称轴直线于点，
∵点与点关于直线对称，
∴，
∴的最小值即为的值，
由（1）可得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴此时，
∴当时，与，距离之和最短，最短为；
②存在，理由如下，
点是抛物线上的一点，点的横坐标为，
设，
第一种情况，以为对角线，四边形是平行四边形，
∴对角线的中点的横坐标为，
∴对角线的中点的横坐标为，
解得，，
则，
∴；
第二种情况，以为对角线，四边形是平行四边形，
∴，
解得，，
此时点与点重合，不符合题意；
第三种情况，以为对角线，四边形是平行四边形，
∴，
解得，，
则，
∴；
综上所述，抛物线上存在一点，使以、，、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数对称轴直线的计算方法，二次含与坐标轴交点的计算方法，轴对称最短路径的计算，二次函数与平行四边形的综合，中点坐标的计算方法是解题的关键．
13．(1)
(2)；
(3)或，或或
【分析】（1）设，将点B的坐标代入计算，即得答案；
（2）先求出点的坐标，再设设直线的表达式为，将点A坐标代入计算，即得答案；
（3）设点，点，分是平行四边形的一条边或对角线两种情况分别求解，第一种情况又分点Q在点A的上方或下方来讨论，根据平移规律即可求解，第二种情况可根据对角线互相平分列方程求解即可．
【详解】（1）解：设函数表达式为：，
将点B的坐标代入上式得, ，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解: 点M是线段的中点，
，，
则点，
设直线的表达式为：，
将点A坐标代入上式得：，
解得：，
故直线的表达式为：；
（3）解：，
设点，点，
①当是平行四边形的一条边时，，，
当点Q在A的下方时，
点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M，
同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，
即：，，
解得：，，
即点P的坐标为，点Q的坐标为；
当点Q在点A上方时，，
当时，
所以点P的坐标为，，
所以点Q的坐标为；
②当是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：，，
解得：，，
故点P，Q的坐标分别为，；
综上，P、Q的坐标分别为或，或或．
【点睛】本题考查了二次函数与平行四边形问题，用待定系数法求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，线段中点的有关计算,分类讨论平行四边形四个顶点的位置是解题的关键．
14．(1)
(2)，此时
(3)存在，或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）方法一：连接，，通过表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作于Q，交于点D，，求得函数关系式，进行求解即可；
（3）分两种情况，当四边形为平行四边形时或当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：把点和点代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
∴，
方法一：如图1，
连接，
设点，
∴，
∴
，
∴当时，，此时；
方法二：如图2，
作于Q，交于点D，设解析式为：
∵，则，解得
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，此时；
（3）解：如图3，
当四边形为平行四边形时，，
∵抛物线对称轴为直线：，
∴点的坐标：
如图4，当四边形为平行四边形时，，
作于G，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
当时，，
∴，，
∴，，
综上所述：或或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
15．(1)
(2)当点F的坐标为，三角形的面积最大，最大值为4
(3)或或
【分析】（1）先根据对称性求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）设， ，由知，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，只有，然后分两种情况：①；②或讨论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于点和点B，
∴
设直线的解析式为，
将代入中得：
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：设抛物线的解析式为，
把带入中得：，
∴，
∴抛物线的解析式为；
过F点作轴交于Q，如图，

设点Q的坐标是，则点F的坐标是．
∴，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值是4，
当时，，即此时F点坐标是；
（3）解：∵抛物线解析式为由，
∴顶点，
又∵点E在直线上，
∴，
∴．
若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，由于，则，
设点P的坐标是，则点Q的坐标是．
①当时，，
∴，
解得：或3．
当时，线段与重合，舍去，
∴，即．
②当或时，，
∴，
解得，经检验适合题意，
此时，．
综上所述，满足题意的点P有三个，分别是，，．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的对称性，待定系数法，解方程组，三角形的面积的计算方法，平行四边形的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键，抛物线上关于对称轴对称的两点函数值相同；求函数解析式，利用待定系数法求解；涉及平行四边形，可知平行四边形对边平行且相等，涉及二次函数与图形面积的关系，利用未知数表示出面积，得到对应的二次函数求解．