2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习07平行四边形存在性问题（含解析）

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1．如图，抛物线过点A（−1，0），点B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求直线BC的函数表达式；
(3)若点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，试探究是否存在以点E，D，P，Q为顶点的平行四边形．若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
（2024秋•长沙期中）
2．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，当、、、为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标．
（2024秋•阜阳期中）
3．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求的值；
(2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值；
(3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023•成都模拟）
4．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点C．点D在y轴上，其坐标为．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)已知在线段下方的抛物线上有一动点P，直线与直线交于点Q，连接，．当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度，得到新的抛物线（如图2），点R在新抛物线的对称轴上．在直线上有一点S，使得以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点R的坐标．
（2023•怀远县校级模拟）
5．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，抛物线的对称轴与交于点D，连接，点F在x轴上，抛物线上是否存在点E，使得以O，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024春•莱芜区期中）
6．已知二次函数的图象过原点，顶点坐标为．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图1，在x轴下方作x轴的平行线l，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形为正方形时，求A点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，作直线，动点P从点A出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线于点F，当以A、E、F、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
（2024•阳西县一模）
7．已知二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点旋转，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结，当四边形为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)存在，点P坐标为（4，5）或（-1，0）
【分析】（1）先求得点C（0，3），再利用待定系数法求解即可；
（2）设出直线BC的函数表达式，再利用待定系数法求解即可；
（3）设点，由PQ⊥x轴交直线BC于点Q，可知点，因为，所以当时，四边形EDPQ为平行四边形，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵点A（−1，0），，
∴，
∴点C（0，-3），
将点A（−1，0）、点B（3，0）和点C（0，-3）代入抛物线，
可得，解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）设直线BC解析式为，将点B（3，0）和点C（0，-3）代入，
可得，解得，
∴直线BC的函数表达式为；
（3）存在，设点，
∴点，
∵抛物线的顶点为D，
∴点D（1，-4），
∵点E（1，0），
∴，，
若EDPQ为平行四边形，则，
∵点D（1，-4），点E（1，0），
∴，
∴，
∴或，
当时，解得，；
当时，即，此时，无解．
∴，，
∴存在以点E，D，P，Q为顶点的平行四边形，点P坐标为（4，5）或（-1，0）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式以及二次函数图形问题，解题关键是利用数形结合思想将代数和几何图形结合起来．
2．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）先求出点B，C的坐标，再利用待定系数法求解；
（2）先求出直线的解析式，作轴于点D，交直线于点E，设点，用含p的二次函数表示出的面积，即可求解；
（3）设点Q的坐标为，分点P在第一、二、四象限三种情况，利用平行四边形的性质列方程，即可求解
【详解】（1）解：中，令，得，
令，则，解得，
，，
将，，代入，
得：，解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为．
如图，作轴于点D，交直线于点E，

设点，则，
，
，
当时，取最大值4，
，
点的坐标为2,3；
（3）解：设点Q的坐标为，分三种情况，
当点Q在第一象限时，，
即，
解得，
点Q的坐标为；
同理，当点Q在第四象限时，，
即，
解得，
点Q的坐标为；
当点Q在第二象限时，，
即，
解得，
点Q的坐标为；
综上可知，点Q的坐标为或或．

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的最值，平行四边形的性质等，第二问的关键是用二次函数表达出，第三问的关键是注意分情况讨论，避免漏解．
3．(1)
(2)，此时
(3)存在，或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）方法一：连接，，通过表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作于Q，交于点D，，求得函数关系式，进行求解即可；
（3）分两种情况，当四边形为平行四边形时或当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：把点和点代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
∴，
方法一：如图1，
连接，
设点，
∴，
∴
，
∴当时，，此时；
方法二：如图2，
作于Q，交于点D，设解析式为：
∵，则，解得
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，此时；
（3）解：如图3，
当四边形为平行四边形时，，
∵抛物线对称轴为直线：，
∴点的坐标：
如图4，当四边形为平行四边形时，，
作于G，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
当时，，
∴，，
∴，，
综上所述：或或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
4．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）将A，B的坐标代入二次函数解析式，建立方程组，求解即可；
（2）分别求出直线，的解析式，可证，所以的面积的面积，进而求的面积最大可转化为求的面积最大；过点P作轴交于点E，表达的面积，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由平移的性质可知，抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移2个单位，向下平移2个单位，由此可得出新抛物线的解析式，可得出点R的横坐标，根据平行四边形的性质，可分类讨论∶当是平行四边形的边时，当是平行四边形的对角线时，分别求解即可，
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，，
∴，
解得，
∴该二次函数的表达为；
（2）解：如图1，连接．
∵抛物线与y轴交于点 C，
∴点C的坐标为．
设直线的函数表达式为，
代入和得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
∵点B的坐标为，点D的坐标为，
设直线的函数表达式为，
代入和得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
，．
．
．
过点P作轴交于点E，
设点P的横坐标为t，
则，，
．
，
高的和为3，
，
∴当时，有最大值，为，，
此时；
（3）解：由平移的性质可知，抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移2个单位，向下平移2个单位，
∴平移后的抛物线为：．
∵点R在新抛物线对称轴上，
,
∴点R的横坐标为．
若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，需要分以下两种情况：
①当为平行四边形的边时，或，
或，
解得或．
或．
或，
或，
或，
或；
②当为平行四边形的对角线时，，
，
解得，
；
，
，
．
．
综上，若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，点R的坐标为：
或或．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，与抛物线有关的动三角形的面积最值，平行四边形的存在性等问题，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题．
5．(1)
(2)存在，或或或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）分两种情况讨论，①当以为平行四边形的一边时，②当以为平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：把点代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：存在，
抛物线的对称轴为直线，点，
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴与交于点，
∴点为的坐标为，
当以为平行四边形的一边时，此时，即轴，
过点作轴，交抛物线于点，
∴点的纵坐标为，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或；
当以为平行四边形的对角线时，此时也为平行四边形的对角线，
设点的坐标为，点的坐标为，
，
解得：或，
∴点的坐标为或，
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的对称性质，一次函数解析式求解，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
6．(1)
(2)
(3)4或6或
【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；
（3）由（2）可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E、F的坐标，由且以A、E、F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出，分，，三种情况找出，的长，由可得出关于t的-元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
顶点坐标为
，
将原点的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：设直线l的表达式为：，
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∴点D的坐标为，点C的坐标为．
∵矩形为正方形，
，
解得：（舍去），．
，
即点；
（3）解：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
由（2）可知：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为．
设直线的解析式为，
代入，，
得，
解得，
直线的解析式为．
当时， ，，
∴点E的坐标为，点F的坐标为．
∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且，
，分三种情况考虑：
①当时，
，，
，
解得：（舍去），；
②当时，
，，
，
解得：（舍去），；
③当时，
，，
，
解得：（舍去），．
综上所述：当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是∶(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式∶(2)利用正方形的性质，找出关于m的方程∶(3) 分，，三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程．
7．(1)（或）
(2)①，②存在符合条件的点Q，其坐标为或或
【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为，再把代入即可得出答案；
（2）①过点作轴于点E，根据，又因为，证明出，从而得出，将，，代入即可求出m的值；
②根据上问可以得到，点M的横坐标为4，，要让以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，所以分为三种情况讨论：1）当以为边时，存在平行四边形为；2）当以为边时，存在平行四边形为；3）当以为对角线时，存在平行四边形为；即可得出答案．
【详解】（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为，
∴设二次函数的表达式为，
又∵，∴，
解得：，
∴（或）；
（2）①∵点P在x轴正半轴上，
∴，
∴，
由旋转可得：，
∴，
过点作轴于点E，
∴，，
在中，，
当四边形为矩形时，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
解得；
②由题可得点与点C关于点成中心对称，
∴，
∵点M在直线上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）、当以为边时，平行四边形为，
点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴代入，
解得：，
∴，
2）、当以为边时，平行四边形为，
点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴代入，
解得：，
∴，
3）、当以为对角线时，
点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴代入，
得：，
∴，
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边形的存在性问题，矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键．