2025年中考数学二轮复习专题：二次函数中平行四边形及特殊平行四边形存在性问题训练

这是一份2025年中考数学二轮复习专题：二次函数中平行四边形及特殊平行四边形存在性问题训练，共69页。试卷主要包含了已知抛物线y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值；
（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标；
（3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．
5．已知二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点和点B（2，1）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，试比较y1和y2的大小，并说明理由；
（3）点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
6．抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，点P是第四象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值；
（3）如图2点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，﹣1），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标；
（3）作抛物线F关于直线y＝﹣1上一点的对称图象F′，抛物线F与F′只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线F′对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．
（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．
9．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．
13．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．
（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过点A（0，2），对称轴是直线x＝2．
（1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
（2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C，当△BCM是等边三角形时，求出此三角形的边长；
（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为（1，﹣1），是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．
（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；
（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；
（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴AC＝，
设点E（0，m），则AE＝，CE＝|m+3|，
∵△ACE是等腰三角形，
∴①当AC＝AE时，＝，
∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），
∴E（0，3），
②当AC＝CE时，＝|m+3|，
∴m＝﹣3±，
∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），
③当AE＝CE时，＝|m+3|，
∴m＝﹣，
∴E（0，﹣），
即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；
（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），
∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，
∴点Q的纵坐标为4，
设Q（t，4），
将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，
∴t＝1+2或t＝1﹣2，
∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），
分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），
∴FB＝PG＝3﹣1＝2，
∴点P的横坐标为（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，
即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，平移的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据OA＝2，OB＝4确定点A和B的坐标，代入抛物线的解析式列方程组解出即可；
（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，利用待定系数法求直线BC的解析式，设D（x，x2﹣x﹣6），则H（x，x﹣6），表示DH的长，根据△BCD的面积是，列方程可得x的值，因为D在对称轴的右侧，所以x＝1不符合题意，舍去，利用三角形面积公式可得结论；
（3）分两种情况：N在x轴的上方和下方，根据y＝确定N的坐标，并正确画图．
【解答】解：（1）∵OA＝2，OB＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣6中得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣6；
（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，
当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
设BC的解析式为：y＝kx+n，
则，解得：，
∴BC的解析式为：y＝x﹣6，
设D（x，x2﹣x﹣6），则H（x，x﹣6），
∴DH＝x﹣6﹣（x2﹣x﹣6）＝﹣，
∵△BCD的面积是，
∴，
∴，
解得：x＝1或3，
∵点D在直线l右侧的抛物线上，
∴D（3，﹣），
∴△ABD的面积＝＝＝；
（3）分两种情况：
①如图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形，
∵B（4，0），D（3，﹣），且M在x轴上，
∴N的纵坐标为，
当y＝时，即x2﹣x﹣6＝，
解得：x＝1+或1﹣，
∴N（1﹣，）或（1+，）；
②如图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合，
∴N（﹣1，﹣）；
综上，点N的坐标为：（1﹣，）或（1+，）或（﹣1，﹣）．
【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会利用待定系数法求函数解析式，会利用数形结合的思想解决平行四边形的问题，并结合方程思想解决问题．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值；
（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当﹣1≤x≤t时，x＝﹣1时，y取得最小值，则x＝t时，y取得最大值，即可求解；
（3）由抛物线的表达式知，点B（0，3），如图，B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，存在点E在点B上方和下方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，则抛物线和x轴的另外一个交点为：（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2+bx+3，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由题意得﹣1≤x≤t，
当﹣1＜t＜1时，则﹣1≤x≤t，
x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0，取得最小值，
则x＝t时，2t﹣1＝﹣t2+2t+3，
解得：t＝﹣2或2，均不符合题意；
当1≤t＜3时，
则抛物线的顶点处取得最大值，
抛物线的顶点坐标为：（1，4），
即2t﹣1＝4，
解得：t＝2.5；
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，点B（0，3），
①当BC为菱形对角线时，对应菱形为BDCE′，
则BD＝CD，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
设点C（x，﹣x2+2x+3），点D（x，﹣x+3），
则CD＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，BD＝x，BC＝，
∴﹣x2+3x＝x，
解得：x＝3﹣或x＝0（舍去），
则BD＝x＝3﹣2，
即菱形的边长为：3﹣2．
②当BD为菱形的对角线时对应菱形为菱形BCDE，
则CD＝BC，
∴﹣x2+3x＝，
解得：x＝2或x＝0（舍去），
则CD＝﹣x2+3x＝﹣22+3×2＝2，
即菱形的边长为：2．
综上，菱形的边长为：3﹣2或2．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标；
（3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M，此时△ABM的周长最小，即可求解；
（3）由PQ＝OB，即可求解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，c＝﹣5＝yB，
则OB＝5＝OA＝OC，
则点A、C、B的坐标分别为：（1，0）、（﹣5，0）、（0，﹣5），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+5）＝a（x2+4x﹣5）＝ax2+bx﹣5，
则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣5；
（2）点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M，此时△ABM的周长最小，理由：
△ABM的周长＝AB+AM+BM＝AB+CM+BM＝AB+BC为最小，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣5，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣x﹣5＝﹣3，
则点M（﹣2，﹣3）；
（3）设点P（x，﹣x﹣5），则点Q（x，x2+4x﹣5），
则PQ＝（﹣x﹣5）﹣（x2+4x﹣5）＝﹣x2﹣5x，
∵PQ∥OB，
故当PQ＝OB时，满足题设条件，
即PQ＝﹣x2﹣5x＝OB＝5，
解得：x＝，
则点P的坐标为：（，）或（，）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法、线段和的最值等，综合性强，难度适中．
5．已知二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点和点B（2，1）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，试比较y1和y2的大小，并说明理由；
（3）点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入y＝ax2+x+c，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式；
（2）根据题意得出y1＝﹣，y2＝，再用作差法得出y1﹣y2＝m+，进行分类讨论即可；
（3）求出直线AB的函数解析式为y＝，然后进行分类讨论：当PQ为正方形的边时；当PQ为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答．
【解答】解：（1）把，B（2，1）代入y＝ax2+x+c得：
，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）∵C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，
∴y1＝，y2＝，
∴y1﹣y2＝＝m+，
当时，即时，y1＞y2；
当时，即时，y1＝y2；
当时，即时，y1＜y2；
（3）设直线AB的函数解析式为y＝kx+e，
把，B（2，1）代入得：，
解得：，
∴直线AB的函数解析式为，
当PQ为正方形的边时，
①∵B（2，1），
∴，
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作MG的垂线，垂足为点H，如图1，
∵PQ∥MN，MG∥x轴，
∴∠BOC＝∠NMG，
∴，则MG＝2NG，
设NG＝t，则MG＝2t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），
∴点N的纵坐标为﹣2t2﹣2t+1+t＝﹣2t2﹣t+1，
即N（0，﹣2t2﹣t+1），
∵以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形，
∴∠PMN＝90°，PM＝MN，
∴∠PMH+∠NMG＝90°，
∵∠PMH+∠MPH＝90°，
∴∠NMG＝∠MPH，
∵∠NMG＝∠MPH，∠H＝∠MGN，PM＝MN，
∴△PHM≌△MGN，
∴PH＝MG＝2t，HM＝NG＝t，
∴P（﹣3t，﹣2t2+1），
把P（﹣3t，﹣2t2+1）代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如图2：构造Rt△MQG，Rt△NMH，
和①同理可得：△MQG≌△NMH，，
设NH＝GM＝2t，则QG＝MH＝t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+t+1），Q（t，﹣2t2+4t+1），
把Q（t，﹣2t2+4t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴N（0，﹣5）；
③如图3：构造Rt△GMN，Rt△HPM，
和①同理可得：△GMN≌△HPM，，
设GN＝HM＝2t，则GM＝HP＝t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（0，﹣2t2﹣t+1），P（﹣t，﹣2t2﹣4t+1），
把P（﹣t，﹣2t2﹣4t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④如图4：构造Rt△GMN，Rt△HNP，
和①同理可得：△GMN≌△HNP，，
设GM＝HN＝2t，则GN＝HP＝t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+t+1），P（t，﹣2t2﹣t+1），
把P（t，﹣2t2﹣t+1）代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
当PQ为正方形对角线时，
⑤如图5：构造矩形HGJI，过点P作PK⊥IJ于点K，
∴PK∥x轴，
∴∠QPK＝∠BOC，
∴，
设QK＝x，则PK＝2x，
和①同理可得：△PNH≌△MPG≌△QMJ≌△NQI，
∴HN＝PG＝MJ＝IQ，PH＝GM＝QJ＝NI，
∴四边形HGJI为正方形，
∴PK＝IJ＝2x，
∴，则，
∴，
设PG＝HN＝t，则PH＝GM＝3t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+6t+1），P（﹣t，﹣2t2+3t+1），
把P（﹣t，﹣2t2+3t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴N（0，5）；
⑥如图6：构造Rt△PMH，Rt△NPG，
同理可得：，
设PG＝HM＝t，则PH＝GN＝3t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（0，﹣2t2﹣6t+1），P（﹣3t，﹣2t2﹣5t+1），
把P（﹣3t，﹣2t2﹣5t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴；
综上：或或N（0，﹣5）或N（0，5）或或．
【点评】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答．
6．抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，点P是第四象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值；
（3）如图2点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入抛物线解析式，解之即可得出结论；
（2）令y＝0，可得B（4，0）；令x＝0可得点C的坐标（0，﹣2）；则BC＝＝2；BC的解析式为：y＝x﹣2；根据题意，点D的坐标为（m，0），把x＝m分别代入抛物线和直线BC的解析式，可得P（m，m2﹣m﹣2）；E（m，m﹣2）；所以DE＝2﹣m，EP＝2m﹣m2；由PD⊥x轴，可得PD∥y轴，所以△BDE∽△BOC，则BD：BO＝BE：BC，即BE•BO＝BC•BD，可得BE＝（4﹣m），所以PE＝BE＝（4﹣m），由此可建立关于m的方程，解之即可；
（3）由C、F的坐标可得，直线CF的解析式为：y＝2x﹣2，所以M（，3）；当y＝3时，x2﹣x﹣2＝3，解得x＝﹣2或x＝5；当N（﹣2，3）时，FH＝MN＝；当N（5，3）时，FH＝MN＝；分别求解即可得出结论．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）代入 得；
解得a＝；
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2．
（2）把y＝0代入y＝x2﹣x﹣2得，x2﹣x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0）；
当x＝0是，y＝﹣2，
∴点C的坐标（0，﹣2）；
∴BC＝＝2；BC的解析式为：y＝x﹣2；
根据题意，点D的坐标为（m，0），
把x＝m代入y＝x2﹣x﹣2得，y＝m2﹣m﹣2．
把x＝m代入y＝x﹣2，得y＝m﹣2，
∴P（m，m2﹣m﹣2）；E（m，m﹣2）；
∴DE＝2﹣m，EP＝2m﹣m2；
∵PD⊥x轴，
∴PD∥y轴，
∴△BDE∽△BOC，
∴BD：BO＝BE：BC，即BE•BO＝BC•BD，
∴BE＝（4﹣m），
∵PE＝BE＝（4﹣m），
∴2m﹣m2＝（4﹣m），
解得m＝或m＝4（舍）；
（3）存在，点H的坐标为（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．理由如下：
∵C（0，﹣2），F（1，0），
∴直线CF的解析式为：y＝2x﹣2，
当x＝时，y＝2×﹣2＝3；
∴M（，3）；
∵点N是x轴上方抛物线上的一点，
∴当y＝3时，x2﹣x﹣2＝3，
解得x＝﹣2或x＝5；
当N（﹣2，3）时，FH＝MN＝；
∴H的坐标为：（﹣，0）或（，0）；
当N（5，3）时，FH＝MN＝；
∴H的坐标为：（﹣，0）或（，0）．
综上，点H的坐标为（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式等知识点，本题运用了分类讨论的思想．掌握函数的性质、相似三角形的定和性质、平行四边形的判定和性质是解题的关键．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，﹣1），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标；
（3）作抛物线F关于直线y＝﹣1上一点的对称图象F′，抛物线F与F′只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线F′对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴，可知△CDM∽△ODB，由此得到，设C（t，﹣t2﹣2t+2），则M（t，t+2），所以CM＝﹣（t+）2+，当t＝﹣时，CM有最大值，此时 的最大值为，此时点C的坐标为（﹣，）；
（3）由中心对称可知，抛物线F与F′的公共点E为直线y＝﹣1与抛物线F的右交点，求出E（1，﹣1），抛物线F'的顶点坐标为（3，﹣5），设G（m，m+2），当BE为平行四边形的对角线时，G（﹣2，0）；当BG为平行四边形对角线时，G（4，6）；当BH为平行四边形的对角线时，G（2，4）．
【解答】解：（1）将A（﹣3，﹣1），B（0，2）代入 y＝﹣x2+bx+c，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+2；
（2）如图1，过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴，
∴△CDM∽△ODB，
∴，
设AB的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣3，﹣1），B（0，2）代入解析式得，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+2，
设C（t，﹣t2﹣2t+2），则M（t，t+2），
∴CM＝﹣t2﹣2t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，
∵﹣3＜t＜0，
∴当t＝﹣时，CM有最大值，此时 的最大值为，
此时点C的坐标为（﹣，）；
（3）由中心对称可知，抛物线F与F′的公共点E为直线y＝﹣1与抛物线F的右交点，
∴x2﹣2x+2＝1，
解得x＝﹣3（舍）或x＝1，
∴E（1，﹣1），
∵抛物线F：y＝﹣x2﹣2x+2 的顶点坐标为（﹣1，3），
∴点（﹣1，3）关于点E（1，﹣1）的对称点坐标为（3，﹣5），
∴抛物线F'的顶点坐标为（3，﹣5），
设G（m，m+2），
当BE为平行四边形的对角线时，m+3＝1，解得m＝﹣2，
∴G（﹣2，0）；
当BG为平行四边形对角线时，m＝3+1＝4，
∴G（4，6）；
当BH为平行四边形的对角线时，m+1＝3时，解得m＝2，
∴G（2，4）；
综上所述：G点坐标（﹣2，0）或（4，6）或（2，4）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，三角形相似的判定及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．
（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意，联立抛物线与直线解析式，求得点D，E的横坐标，表示出MN的长，可得S△NED＝MN•|xD﹣xE|＝﹣（t﹣2）2+7，再根据二次函数性质可得答案；
（3）求出C（0，4），设M（t，﹣t﹣1），R（m，n），分三种情况：①当BC，MR为对角线时，BC，MR的中点重合，且BM＝CM，②当BM，CR为对角线时，BM，CR的中点重合，且BC＝CM，③当BR，CM为对角线时，BR，CM的中点重合，且BC＝BM，分别列方程组可解得答案．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c 得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）联立，
解得或，
∴D（2+，﹣3﹣），E（2﹣，﹣3+），
∵点M为直线l上的一动点，横坐标为t，
∴M（t，﹣t﹣1），
∴N（t，﹣t2+t+4），
∴MN＝﹣t2+t+4﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+2t+5，
∴S△NED＝MN•|xD﹣xE|＝×（﹣t2+2t+5）×2＝﹣（t﹣2）2+7，
∵﹣＜0，0＜t＜4，
∴当t＝2时，S△NED取最大值7，
∴△NED面积的最大值是7；
（3）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
设M（t，﹣t﹣1），R（m，n），
又B（4，0），
①当BC，MR为对角线时，BC，MR的中点重合，且BM＝CM，
∴，
解得，
∴R（，）；
②当BM，CR为对角线时，BM，CR的中点重合，且BC＝CM，
∴，
解得或，
∴R（，）或（，）；
③当BR，CM为对角线时，BR，CM的中点重合，且BC＝BM，
∴，
解得或，
∴R（，）或（，）；
综上所述，R的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，）．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及三角形面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质，准确的计算是解题的关键．
9．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），得点A的坐标为（﹣3，0），故二次函数解析式为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3；
（2）连接ON，设P（m，0），则N（m，m2+2m﹣3），可得S四边形ABCN＝S△AON+S△BOC+S△CON＝﹣m2﹣m+6＝﹣（m+）2+，根据二次函数的性质可得答案；
（3）由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，设Q（0，t），P（n，0），则M（n，﹣n﹣3），N（n，n2+2n﹣3），由MN∥CQ，知MN，CQ是一组对边；分两种情况：①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN＝CQ，②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ＝CM，分别列出方程组，即可解得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∴二次函数解析式为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3；
（2）连接ON，如图：
设P（m，0），则N（m，m2+2m﹣3），
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴S四边形ABCN＝S△AON+S△BOC+S△CON
＝×3（﹣m2﹣2m+3）+×1×3+×3（﹣m）
＝﹣m2﹣m+6
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，S四边形ABCN取最大值，
此时P（﹣，0）；
∴四边形ABCN面积的最大值是，此时点P的坐标为（﹣，0）；
（3）在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，
设Q（0，t），P（n，0），则M（n，﹣n﹣3），N（n，n2+2n﹣3），
∵MN∥CQ，
∴当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，MN，CQ是一组对边；
①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN＝CQ，
∴，
解得（此时M，N与C重合，舍去）或；
∴Q（0，﹣1）；
②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ＝CM，
∴，
解得（舍去）或或，
∴Q（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）；
综上所述，Q的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；
（2）利用待定系数法可得直线AM的解析式为y＝2x+2，进而可得D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，利用两点间距离公式即可求得答案；
（3）分三种情况：当DM、PQ为对角线时，当DP、MQ为对角线时，当DQ、PM为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4），
设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AM的解析式为y＝2x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，
则DH＝D′H，
∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，
∵D′M＝＝，
∴MH+DH的最小值为；
（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）得：D（0，2），M（1，4），
∵点P是抛物线上一动点，
∴设P（m，﹣m2+2m+3），
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
∴设Q（1，n），
当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，3）；
当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，1）；
当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，5）；
综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用分类讨论思想是解题的关键．
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB，即可求解；
（3）若BC为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
如图，过点P作y轴的平行线交CB于点H，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB＝（﹣x2+2x+x﹣3）＝﹣（x﹣）2+≤，
即△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）；
（3）存在，理由：
∵B（3，0），C（0，3），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为：x＝1，
设点M（1，t），N（x，y），
若BC为菱形的边长，菱形BCMN，
则BC2＝CM2，即18＝12+（t﹣3）2，
解得：t1＝+3，t2＝﹣+3，
∵，
∴x＝4，y＝t﹣3，
∴N1（4，），N2（4，﹣）；
若BC为菱形的边长，菱形BCNM，
则BC2＝BM2，即18＝（3﹣1）2+t2，
解得：t3＝，t4＝﹣，
∵，
∴x＝﹣2，y＝3+t，
∴N3（﹣2，），N4（﹣2，﹣）；
即点N的坐标为：（4，﹣）或（4，）或（﹣2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形和菱形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
12．如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．
【分析】（1）可将抛物线的表达式设为交点式，代入点C坐标，进一步求得结果；
（2）点Q的纵坐标为±9，代入求得其横坐标，进而求得结果；
（3）根据三角函数定义和相似三角形的性质分别表示出PD和PE，进而表示出△PDE的面积的函数表达式，进一步求得结果．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣6），
∴﹣9＝a•3×（﹣6），
∴a＝，
∴y＝（x+3）（x﹣6）＝；
（2）如图1，
抛物线的对称轴为：直线x＝＝，由对称性可得Q1（3，﹣9），
∵CQ1＝OA＝3，OA∥CQ1，
∴四边形ACQ1O是平行四边形，
∴Q1满足条件，
当y＝9时，
＝9，
∴x＝，
∴Q2（，9），Q3（，9），
综上所述：Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；
（3）设△PED的面积为S，
由题意得：AP＝m+3，BP＝6﹣m，OB＝6，OC＝9，AB＝9．
∴BC＝＝3，
∵sin∠PBD＝，
∴，
∴PD＝，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，∠EPD＝∠PDB＝90°，
∴，
∴，
∴PE＝，
∴S＝PE•PD＝（m+3）（6﹣m）＝﹣，
∴当m＝时，S最大＝，
∴当m＝时，△PDE的面积最大值为：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数及其图象的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
13．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后即可求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标．
（2）分三种情况，先确定四边形的对角线，找到对角线的中点，然后根据中点坐标公式即可求解．
（3）分两种情况，点E在直线AC上方和下方，利用等角的正切值相等求出线段的长，在转化成点的坐标．
【解答】解：（1）把点A的坐标代入解析式得b＝，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，
∴点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，0）．
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
①若AC为对角线，设AC的中点为F，则根据中点坐标公式可得F的坐标为（﹣，2），
设点D的坐标为（a，b），则有，
解得a＝﹣4，b＝4，此时点D的坐标为（﹣4，4），
②若以AB为对角线，设AB的中点为F，则F的坐标为（﹣1，0），
设点D的坐标为（a，b），则有，
解得a＝﹣2，b＝﹣4，此时点D的坐标为（﹣2，﹣4），
③若以BC为对角线，设BC的中点为F，则点F的坐标为（，2），
设点D的坐标为（a，b），则有，
解得a＝4，b＝4，此时点D的坐标为（4，4），
综上所述，点D的坐标为（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4）；
（3）存在，理由如下：
∵tan∠ACO＝＝＜1，
∴∠ACO＜45°，
∴E不可能出现在直线AC下方，也不可能在直线AC上，
当点E在直线AC上方时，∠ACE＝45°，过点E作EM⊥AC，如图：
根据点A（﹣3，0）和点C（0，4）可得直线AC的解析式为y＝，设直线AC与对称轴交于点H，
∴点H（﹣1，），HC＝，
∵EH∥y轴，
∴∠EHM＝∠HCO，
∴tan∠EHM＝tan∠HCO＝＝，
∴EM＝HM，
∵∠ACE＝45°，
∴EM＝CM，
∴HC＝HM+CM，即＝HM+HM，
解得HM＝，
∴EM＝，
在Rt△EMH中，EH＝，
解得EH＝，
∴E的纵坐标为＝，
∴点E的坐标为（﹣1，）．
【点评】本题综合考查了二次函数和几何图形的性质，充分运用性质解题是关键．
14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．
（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线顶点横坐标，可得出抛物线的对称轴为直线x＝1，结合点A的坐标，可得出抛物线与x轴另一交点的坐标，结合点B的坐标，再利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；
（2）由“直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M”，可得出点M，N的坐标，进而可得出AN，MN的值，代入AN+MN中，可得出AN+MN＝﹣（m﹣）2+，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为y＝﹣x2+4，利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点M的坐标，假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，﹣n2+4），分AM为对角线、AP为对角线及AQ为对角线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于n的一元一次方程，解之可得出n值，再将其代入点Q的坐标中，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0）．
将（﹣1，0），（3，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点N的坐标为（m，0），
∴MN＝﹣m2+2m+3，AN＝m+1，
∴AN+MN＝m+1+（﹣m2+2m+3）＝﹣m2+3m+4＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，且0＜m＜3，
∴当m＝时，AN+MN有最大值，最大值为；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为y＝﹣x2+4．
当x＝时，y＝﹣（）2+2×+3＝，
∴点M的坐标为（，）．
假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，﹣n2+4）．
①当AM为对角线时，对角线AM，PQ互相平分，
∴＝，
解得：n＝﹣，
∴点Q的坐标为（﹣，）；
②当AP为对角线时，对角线AP，MQ互相平分，
∴＝，
解得：n＝﹣，
∴点Q的坐标为（﹣，）；
③当AQ为对角线时，对角线AQ，PM互相平分，
∴＝，
解得：n＝，
∴点Q的坐标为（，﹣）．
综上所述，存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数的性质，求出AN+MN的最大值；（3）利用平行四边形的性质（对角线互相平分），找出关于n的一元一次方程．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过点A（0，2），对称轴是直线x＝2．
（1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
（2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C，当△BCM是等边三角形时，求出此三角形的边长；
（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为（1，﹣1），是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据对称轴公式求出b＝﹣4，再将点A代入函数解析式即可求c的值，从而确定函数解析式；
（2）设直线BC所在的直线为y＝m，当x2﹣4x+2＝m时，xB+xC＝4，xB•xC＝2﹣m，可得|xB﹣xC|＝2，M点到直线BC的距离为m+2，根据等边三角形的性质可得|xB﹣xC|＝（m+2），求出m的值即可求三角形的边长；
（3）设E（2，t），F（x，y），根据菱形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式和两点间距离公式建立方程，求出F点坐标即可．
【解答】解：（1）∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+c，
将点A代入y＝x2﹣4x+c，可得c＝2，
∴函数的解析式为y＝x2﹣4x+2，
当x＝2时，y＝﹣2，
∴顶点M（2，﹣2）；
（2）设直线BC所在的直线为y＝m，
当x2﹣4x+2＝m时，xB+xC＝4，xB•xC＝2﹣m，
∴|xB﹣xC|＝2，
∵M（2，﹣2），
∴M点到直线BC的距离为m+2，
∵△BCM是等边三角形，
∴|xB﹣xC|＝（m+2），即＝（m+2），
解得m＝1或m＝﹣2（舍），
∴三角形的边长为2；
（3）存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设E（2，t），F（x，y），
①当AD为菱形对角线时，AE＝DE，
，
解得，
∴F（﹣1，0）；
②当AE为菱形对角线时，AD＝DE，
∴，
解得或（舍），
∴F（1，5）；
③当AF为菱形对角线时，AE＝AD，
∴，
解得或，
∴F（3，﹣1+）或（3，﹣1﹣）；
综上所述：F点坐标为（﹣1，0）或（1，5）或（3，﹣1+）或（3，﹣1﹣）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，菱形的性质是解题的关键．
16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A的坐标代入y＝﹣x2﹣4x+c，求出c的值即可；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明△PHE是等腰直角三角形，得，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y＝x+5，设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角线时，③当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上，
∴0＝﹣52﹣4×（﹣5）+c
∴c＝5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1：
∵A（﹣5，0），C（0，5）
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴，
∴当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为y＝kx+5，
将A（﹣5，0）代入得0＝﹣5k+5，
∴k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x+5，
设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），
∴，
∵a＝﹣1＜0，
∴当时，PH最大为，
∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），
分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣3，8）；
②当AM为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（3，﹣16）；
③当AN为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）；
综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．
【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
17．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线经过点B（3，0），可得A（﹣1，0），用待定系数法即可求解；
（2）求出直线BC的解析式，设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），利用勾股定理表示出AC2，AN2，CN2，然后分①当AC＝AN时，②当AC＝CN时，③当AN＝CN时三种情况进行讨论，列出关于t的方程，求出t的值，即可写出点N的坐标；
（3）分两种情形讨论：①当BC为对角线时，②当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），
∴A（﹣1，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
将点B（3，0）代入得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC2＝12+32＝10，
AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，
CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，
①当AC＝AN时，AC2＝AN2，
∴10＝2t2﹣4t+10，
解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（2，1）；
②当AC＝CN时，AC2＝CN2，
∴10＝2t2，
解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（，3﹣）；
③当AN＝CN时，AN2＝CN2，
∴2t2﹣4t+10＝2t2，
解得t＝，
∴点N的坐标为（，）；
综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）；
（3）设E（1，a），F（m，n），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝3，
①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2，
∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，
解得：a＝，或a＝，
∴E（1，）或（1，），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，
∴m＝2，n＝或n＝，
∴点F的坐标为（2，）或（2，）；
②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，
∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，
解得：a＝4或a＝﹣2，
∴E（1，4）或（1，﹣2），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，
∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，
∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1），
综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．
【点评】本题是二次函数综合题，本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题．
18．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．
（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果；
（2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S△POC，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果；
（3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）方法一：如图1，
连接OP，
设点P（m，﹣2m﹣6），
∴S△POC＝xP＝＝3m，
S△BOP＝|yP|＝+2m+6），
∵S△BOC＝＝18，
∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18
＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，S△PBC最大＝；
方法二：如图2，
作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，
∵B（6，0），C（0，﹣6），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，
∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，S△PBC最大＝；
（3）如图3，
当▱ACFE时，AE∥CF，
∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2，
∴F1点的坐标：（4，﹣6），
如图4，
当▱ACEF时，
作FG⊥AE于G，
∴FG＝OC＝6，
当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，
∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），
综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，平行四边形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，转化条件．
19．如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、O的坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据MN＝2解方程可得答案；
（3）分AC为边和对角线两种情况进行讨论：根据平移的性质，三角形相似的性质和判定，两点的距离公式可得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0）和O（0，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）∵直线AB经过点A（4，0）和B（0，4），
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，
∵MN∥y轴，
设M（t，﹣t+4），N（t，﹣t2+4t），其中0≤t≤4，
当M在N点的上方时，
MN＝﹣t+4﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣5t+4＝2，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴M1（，），
当M在N点下方时，
MN＝﹣t2+4t﹣（﹣t+4）＝﹣t2+5t﹣4＝2，
解得：t1＝2，t2＝3，
∴M2（2，2），M3（3，1），
综上，满足条件的点M的坐标有三个（，）或（2，2）或（3，1）；
（3）存在，
①如图2，若AC是矩形的边，
设抛物线的对称轴与直线AB交于点R，且R（2，2），
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，
∵C（1，3），D（2，4），
∴CD＝＝，
同理得：CR＝，RD＝2，
∴CD2+CR2＝DR2，
∴∠RCD＝90°，
∴点P1与点D重合，
当CP1∥AQ1，CP1＝AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，
∵C（1，3）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P1（2，4），
∴A（4，0）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到Q1（5，1），
此时直线P1C的解析式为：y＝x+2，
∵直线P2A与P1C平行且过点A（4，0），
∴直线P2A的解析式为：y＝x﹣4，
∵点P2是直线y＝x﹣4与抛物线y＝﹣x2+4x的交点，
∴﹣x2+4x＝x﹣4，
解得：x1＝﹣1，x2＝4（舍），
∴P2（﹣1，﹣5），
当AC∥P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，
∵A（4，0）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到C（1，3），
∴P2（﹣1，﹣5）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到Q2（﹣4，﹣2）；
②如图3，若AC是矩形的对角线，
设P3（m，﹣m2+4m）
当∠AP3C＝90°时，过点P3作P3H⊥x轴于H，过点C作CK⊥P3H于K，
∴∠P3KC＝∠AHP3＝90°，∠P3CK＝∠AP3H，
∴△P3CK∽△AP3H，
∴＝，
∴＝，
∵点P不与点A，C重合，
∴m≠1或m≠4，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m＝，
∴如图4，满足条件的点P有两个，即P3（，），P4（，），
当P3C∥AQ3，P3C＝AQ3时，四边形AP3CQ3是矩形，
∵P3（，）向左平移个单位，向下平移个单位得到C（1，3），
∴A（4，0）向左平移个单位，向下平移个单位得到Q3（，），
当P4C∥AQ4，P4C＝AQ4时，四边形AP4CQ4是矩形，
∵P4（，）向右平移个单位，向上平移个单位得到C（1，3），
∴A（4，0）向右平移个单位，向上平移个单位得到Q4（，）；
综上，点Q的坐标为（5，1）或（﹣4，﹣2）或（，）或（，）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质等知识，正确画图，并运用分类讨论的思想是解本题的关键．
20．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①方法一：求出直线CD的解析式为y＝4x﹣3，当y＝0时，求出x的值，则可得出答案；
方法二：求出OD＝3，证明△DEO∽△CEB，由相似三角形的性质得出，设OE＝x，则BE＝3﹣x，列出方程求出x的值，则可得出答案；
②分别以已知线段BC为边、BC为对角线，画出图形，利用平行四边形的性质及全等三角形的性质求点F的坐标和点D的坐标即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①由（1）可知，C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
将C（0，﹣3），B（3，0）代入得，
，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴直线MN的解析式为y＝x，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，
把x＝1代入y＝x，得y＝1，
∴D（1，1），
方法一：
设直线CD的解析式为y＝k1x+b1，
将C（0，﹣3），D（1，1）代 入得，
，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝4x﹣3，
当y＝0时，4x﹣3＝0，
∴x＝，
∴E（，0），
∴OE＝．
方法二：
由勾股定理得OD＝＝，BC＝＝3，
∵BC∥MN，
∴△DEO∽△CEB，
∴，
设OE＝x，则BE＝3﹣x，
∴，
解得x＝，
∴OE＝．
②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
理由如下：
（Ⅰ）若平行四边形以BC为边时，
由BC∥FD可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F（1，1），
由点D在直线MN上，设D（t，t），
如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DF＝BC，
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），
∵BC∥MN，
∴∠OBC＝∠DOB，
∵GD∥x轴，
∴∠GDF＝∠DOB，
∴∠OBC＝∠GDF，
又∵∠BOC＝∠DGF＝90°，
∴△DGF≌△BOC（AAS），
∴GD＝OB，GF＝OC，
∵GD＝t﹣1，OB＝3，
∴t﹣1＝3，
∴t＝4，
∴D（4，4），
如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DF＝CB，
同理可证△DKF≌△COB（AAS），
∴KD＝OC，
∵KD＝1﹣t，OC＝3，
∴1﹣t＝3，
∴t＝﹣2，
∴D（﹣2，﹣2）；
（Ⅱ）若平行四边形以BC为对角线时，
由于D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，
如图，四边形BFCD为平行四边形，
设D（t，t），F（1，n），
同理可证△DHC≌△BPF（AAS），
∴DH＝BP，HC＝PF，
∵DH＝t，BP＝3﹣1＝2，HC＝t﹣（﹣3）＝t+3，PF＝0﹣n＝﹣n，
∴，
∴，
∴D（2，2），F（1，﹣5），
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为（1，1）时，点D的坐标为（4，4）或（﹣2，﹣2）；
当点F的坐标为（1，﹣5）时，点D的坐标为（2，2）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．