2025年中考数学二轮复习：二次函数的面积问题 压轴练习题（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习：二次函数的面积问题 压轴练习题（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．已知点M是抛物线y=x2−2mx+m2+m−1（m为常数）的顶点，直线y=x+3与坐标轴分别交于A,B两点，则△ABM的面积为（ ）
A．62B．6C．4D．32
2．如图，抛物线L1:y=a2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(2,0)，与y轴交于点B(0,4)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．4B．2C．6D．8
3．已知等腰直角△ABC的斜边AB=42，正方形DEFG的边长为2，把△ABC和正方形DEFG如图放置，点B与点E重合，边AB与EF在同一条直线上，将△ABC沿AB方向以每秒2个单位的速度匀速平行移动，当点A与点E重合时停止移动．在移动过程中，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积S与移动时间ts的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
4．如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝x2上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A8,0，点B0,6，点C为线段AB中点，点D为线段OA上一动点，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连接OE，则△OED面积的最大值为 ．
三、解答题
6．已知抛物线y=x2+bx−3（b是常数）经过点A2,−3．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点A关于抛物线的对称轴的对称点为A'，求抛物线顶点P与点A、A'所围成的三角形的面积．
7．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A−1,0，B3,0两点，顶点为D．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求△ABD的面积．
8．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3，0)，与y轴的交点为B(0,3)，其顶点为C，对称轴为直线x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状；
（3）已知点M为线段AB上方抛物线上的一个动点，请写出△ABM面积关系式，并求出当△ABM面积最大时点M的坐标．
9．已知二次函数y=x2+bx+ca≠0的图象与x轴的交于A、B1,0两点，与y轴交于点C0,−3．
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求△ACD面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点N的坐标．
10．如图，抛物线y=a(x−1)(x−3)与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．
（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）设SΔBCD:SΔABD=k，求k的值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．
11．如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．AC=10，OB=OC=3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使△PCB的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点M−2,92和N2,−72两点，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若点M是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标；
（2）在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形APCN面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）若Bm,0，且1≤m≤3，求a的取值范围．
13．在四边形ABCD中，AD＝BC＝1，AB＝CD＝2，BD=5．点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），连结AE，过E作CE的垂线交边AB于点F．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）设DE＝x，求△AEF的面积S关于x的函数表达式．
（3）在点E运动过程，当△AEF的某一个内角等于∠BDC时，求所有满足条件的AF的长．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点(点P不与点B，C重合)，连结PB，PC，以PB，PC为边作▱CPBD，点P的横坐标为m．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）当▱CPBD有两个顶点在x轴上时，则点P的坐标为 ；
（3）当▱CPBD是菱形时，求m的值．
（4）当m为何值时，▱CPBD的面积有最大值？
15．“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a-c|+|b-d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）=|a-c|+|b-d|．已知二次函数y1的图像经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（－1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．
（1）求L（A，B）；
（2）求抛物线y1的表达式；
（3）已知y2=2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．
①若D，E是y2=2tx+1图像上的两个动点，且DE=5，求△CDE面积的最大值；
②当t≤x≤t+3时，若函数y=y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．
（补充两点间距离公式：平面直角坐标中两点A（x1，y1），B(x2，y2），则AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2）
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】6
5．【答案】498
6．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx−3（b是常数）经过点A2,−3
∴−3=22+2b−3，
解得：b=−2，
∴抛物线的表达式为y=x2−2x−3；
故答案为：y=x2−2x−3.
（2）解：∵抛物线y=x2−2x−3=x−12−4，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标P1,−4，
∵ 点A关于抛物线的对称轴的对称点为A'，A2,−3
∴A'0,−3，
∴AA'=2，△AA'P的高为1，如图所示：
∴S△AA'P=12×2×1=1，
∴点P与点A、A'所围成的三角形的面积为1，
故答案为：1.
7．【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A−1，0，B3，0两点，
∴y=x+1x−3=x2−2x−3，
∴二次函数的解析式为y=x2−2x−3．
故答案为：y=x2−2x−3；
（2）解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴点D的坐标为1，−4，
∴点D到AB的距离为4，
∵A−1，0，B3，0，
∴AB=4，
∴S△ABD=12×4×4=8．
故答案为：8.
8．【答案】（1）解：∵ 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3，0)，对称轴为直线x=1．
∴与x轴的另外一个交点为（-1，0）
可设y=ax+1x−3.
∵与y轴的交点为B(0,3)，
∴3=(-3)a，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为y=−x+1x−3=−x2+2x+3．
（2）解：∵y=−x2+2x+3，
当x=1时，y=-1+2+3=4，
∴顶点C(1,4)，
∵A(3，0)，B(0,3)，
∴AB=32,AC=3−12+0−42=25,BC=2，
∵BC2+AB2=2+18=20，AC2=20
∴BC2+AB2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形．
（3）解：∵过点A(3，0)，B(0，3)，
∴线段AB所在直线的解析式为：y=-x+3，（0