2024-2025学年江苏省无锡市大桥实验学校高一下学期3月阶段性检测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡市大桥实验学校高一下学期3月阶段性检测数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在▵ABC中，AB=c，AC=b，若点D满足BD=2DC，以b,c作为基底，则AD等于( )
A. 23b+13cB. 53b−23cC. 23b−13cD. 13b+23c
2.已知a=8，与a同向的单位向量为e，b=4，a，b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影向量为( )
A. 4eB. −4eC. 2eD. −2e
3.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCD−EFGH的边长为2，P是正八边形ABCD−EFGH八条边上的动点，则AP⋅AB的最小值为( )
A. 2B. 0C. −2 2D. −4 2
4.在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A. a=8，b=16，A=30 ∘B. a=25，b=30，A=150 ∘
C. a=30，b=40，A=30 ∘D. a=72，b=30，A=45 ∘
5.在△ABC中，设AC2−AB2=2AM⋅BC，那么动点M的轨迹必通过△ABC的( )
A. 垂心B. 内心C. 外心D. 重心
6.已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanA+tanC+ 3= 3tanA⋅tanC，且c=1，则△ABC面积的取值范围为( )
A. 0,2B. 1, 132C. 12,2D. 38, 32
7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 3c=bsinA+ 3csA，csπ3−Asinπ6+A=34，则△ABC的形状为( )
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不确定
8.如图，在等腰▵ABC中，已知AB=AC=1,∠A=120,E,F分别是边AB,AC的点，且AE=λAB,AF=μAC，其中λ,μ∈0,1且λ+2μ=1，若线段EF,BC的中点分别为M,N，则MN的最小值是( )
A. 77B. 217C. 714D. 2114
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a,b,c分别是▵ABC三个内角A,B,C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A. 若▵ABC是锐角三角形，则sinA>csB
B. 若acsA=bcsB，则▵ABC是等腰三角形
C. 若bcsC+ccsB=b，则▵ABC是等腰三角形
D. 若▵ABC是等边三角形，则acsA=bcsB=ccsC
10.如图直线l过△ABC的重心G(三条中线的交点)，与边AB、AC交于点P、Q，且AP=λAB，AQ=μAC，直线l将△ABC分成两部分，分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为SΔAPQ和S四边形PQCB，则以下结论正确的是( )
A. λ+μ=43B. 1λ+1μ=3
C. S四边形PQCBS▵APQ的最大值为54D. S四边形PQCBS▵APQ的最大值为43
11.下列说法正确的是( )
A. 若非零向量ABAB+ACAC⋅BC=0，且ABAB⋅ACAC=12，则▵ABC为等边三角形
B. 已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d，且四边形ABCD为平行四边形，则a+b−c−d=0
C. 已知正三角形ABC的边长为2 3，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则PA⇀⋅PB⇀的最大值为1
D. 已知向量OB=2,0,OC=2,2,CA= 2csα, 2sinα，则OA与OB夹角的范围是π4,5π12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某同学为测量塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=15 ∘,∠BDC=135 ∘,CD=20m,在点C测得塔顶A的仰角为60 ∘，则塔高AB=____ _____m．
13.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,∠BCD=60 ∘，∠ADC=150 ∘,BE=3EC，CD=2 33,BE= 3，若点F为边AD上的动点，则EF⋅BF的最小值为
14.如图，某商场内有一家半圆形时装店，其平面图如图所示，O是圆心，直径MN为24米，P是弧MN⌢的中点．一个时装塑料模特A在OP上，MA=2AO.计划在弧NP⌢上设置一个收银台B，记∠BON=α，其中α∈0,π2
(1)则tan∠ABO= (用α表示)：
(2)若∠ABO越大，该店店长在收银台B处的视线范围越大，则当店长在收银台B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知c=5，B=π3，5asinA=3csinC+5bsinB．
(1)求▵ABC的面积；
(2)若D是AC边上一点，且DC=2AD，求BD的长．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a− 3bsinA=c−bsinC+sinB．
(1)求C；
(2)若▵ABC为锐角三角形，求sinA+csB的取值范围．
17.(本小题15分)
已知甲船在A海岛正北方向15 3海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南60 ∘的方向航行．
(1)甲船航行3小时到达C处，求AC；
(2)在A海岛西偏南60 ∘方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．
18.(本小题17分)
如图，A，B是单位圆上的相异两定点(O为圆心)，且∠AOB=θ(θ为锐角).点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．
(1)求OA⋅AB(结果用θ表示)；
(2)若θ=60 ∘．
①求CA⋅CB的取值范围；
②设OM=tOB(0