广东省广州市第二中学南沙天元学校2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份广东省广州市第二中学南沙天元学校2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的，答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（ ）
A. 2 m/sB. 6 m/s
C. 4 m/sD. 11 m/s
【答案】D
【解析】
【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.
【详解】质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s.
故选：D.
2. 已知数列的通项为，若成等比数列，则（ ）
A. 9B. 12C. 15D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比中项的概念求的值.
【详解】因为，所以，
因为成等比数列，所以，即，所以.
故选：B.
3. 下列求导不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由导数的运算法则、复合函数的求导法则计算后可判断．
【详解】A：；
B：；
C：；
D：．
故选：C．
4. 已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合等比数列下标和的性质求得正确结论.
【详解】，
因为等比数列的各项均为正数，
所以．
故选：．
5. 已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为30°，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由渐近线斜率结合点在双曲线上列出等式，求解即可.
【详解】由，可得渐近线方程为：，
所以，即，
又点在双曲线上，可得：，
联立解得：，
所以双曲线的方程为：，
故选：C
6. 向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象可知在相等时间间隔内容器内水面的高度增加量越来越大，结合容器形状可确定选项.
【详解】根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大，
故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求.
故选：C.
7. 在数列中，，，记为数列的前项和，则（ ）
A. 0B. 18C. 10D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】利用数列的递推公式顺次求解其项，可知数列为周期数列，据其周期求和即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，，
，，，，…，
故数列为周期数列，周期为4，
所以.
故选：C.
8. 对于实数，表示不超过的最大整数，如，．已知数列的通项公式，前项和为，则（ ）
A. 56B. 58C. 60D. 62
【答案】B
【解析】
【分析】由，利用裂项相消法求得，再由的定义求解.
【详解】由已知可得：，
，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，；；，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：
对于数列通项公式为分式形式且分母含有根式的情况，常采用分母有理化进行化简，以便后续计算.
裂项相消法是求数列前项和的重要方法，通过将通项公式拆分成两项之差，使中间项相互抵消，从而简化求和过程.
对于涉及取整函数的数列求和问题，需要根据取整函数的定义，对数列和的取值范围进行细致分析和分类讨论.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．）
9. （多选）物体运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（ ）
A. 是物体从开始到这段时间内的平均速度
B. 是物体从到这段时间内的速度
C. 是物体在这一时刻的瞬时速度
D. 是物体从到这段时间内的平均速度的极限值
【答案】CD
【解析】
【分析】由瞬时变化率的物理意义判断．
【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值.
故选：CD.
10. 已知数列满足，则（ ）
A. B. 的前10项和为150
C. 的前11项和为-14D. 的前16项和为168
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据递推公式得，进而根据等差数列的求和公式即可判断AB，根据并项求和可判断C，根据正负去绝对值以及等差数列求和可判断D.
【详解】由得：
当时，，
两式相减得，
故，当时，也符合，故，
对于A,，故A正确，
对于B，的前10项和为，故B错误，
对于C，的前11项和为，故C正确，
对于D，当，解得，所以，
所以的前16项和为，故D正确，
故选：ACD
11. 等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A. 若，则B. 若，则是中最大的项
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据可推得，利用等差数列的性质以及前n项和公式，可判断A；由可推出，进而判断 ，则 ，即可判断B；由可得，，，无法判断的正负，可判断C；由推出，，则，由此判断D.
【详解】由，得 ，
所以，
则 ，A正确；
因为，
所以，即，
因为，，
所以 ，则 ，等差数列为递减数列，
则则是中最大的项，B正确；
若，则，即 ，
因为，，则，故，无法判断的正负，
故，不能判断，C错误；
因为，所以，
因为，，所以，则，
则，D正确，
故选：
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 数列的前项和为，已知，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用并项求和法计算即可.
【详解】由，
得.
故答案为：.
13. 已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为________.
【答案】##
【解析】
【分析】设线段的中点为，连接，求出、，利用勾股定理可得出关于、、的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值.
【详解】设线段的中点为，连接，
由题意知，，
因为为的中点，所以，是的中位线，则，
由椭圆的定义知，
又，，
在直角三角形中，由勾股定理得：，即，
又，可得，故有，
由此可求得离心率，
故答案为：.
14. 如图，平面平面，正方形的边长为4，四边形为矩形，，点在上，若三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上，则__________.
【答案】1或3
【解析】
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，，由题意可得，利用两点间距离公式，解得的值，即可求得.
【详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
设，，，，，
因为三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上，
所以，
根据两点距离公式可得：
，，,
解得：，所以，
因为，解得：或，
所以或.
故答案为：1或3.
四、解答题（本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数，且．
（1）求的值；
（2）设，求过点的切线方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数求解参数即可.
（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.
【小问1详解】
定义域为，，
而，而已知，可得，
解得，故的值为，
【小问2详解】
，设切点为，设切线斜率为，
而，故切线方程为，
将代入方程中，可得，解得(负根舍去)，
故切线方程为，
16. 已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
17. 记数列前项和为.
（1）求的通项公式；
（2）设，记的前项和为.若对于且恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用与的关系证得数列是等比数列，从而求得；
（2）先利用错位相减法求得，再将问题转化为，其中，利用作差法证得，从而得解.
【小问1详解】
，
当时，，
两式相减，得，整理得，
当时，，
经检验，满足，
数列是以为首项，2为公比的等比数列，
.
【小问2详解】
由（1）得，
，
，
两式相减得，
，
又对于且恒成立，即，
等价于对于且恒成立，
令，则，
则有，
所以当时，，当时，，
所以，则.
18. 已知数列的前项和为是与的等差中项；数列中.
（1）求数列与的通项公式；
（2）若，证明：；
（3）设，求.
【答案】（1），；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用等差中项性质结合与关系可得通项公式，由累加法可得的通项公式；由（1）可得，后结合裂项相消法可证明结论；（3）由错位相减法可得答案.
【小问1详解】
是与的等差中项，.
当时，；
当时，.
则数列是以为首项，为公比的等比数列，则；
当时，，满足上式，
综上，，；
【小问2详解】
由（1），当时，.
则当时，不等式成立；当时，；
当时，
综上，；
【小问3详解】
.
则，得
.
则
19. 已知双曲线过点，离心率为，左、右焦点分别为，，点P为直线l：上且不在x轴上的一点，直线和与双曲线的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线，的斜率分别为，．
（i）证明：定值；
（ii）直线l上是否存在点P，使得OA，OB，OC，OD满足？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）存在，，．
【解析】
【分析】（1）由已知条件，利用离心率公式、标准方程以及，可得答案；
（2）（i）设出直线的方程，联立求交点的坐标，代入已知直线方程，可得答案；
（ii）联立直线与双曲线方程写出韦达定理，代入方程整理，由（i）分情况求解坐标，可得答案
【小问1详解】
由双曲线过点，．可得，解得，
∴双曲线方程为．
【小问2详解】
（i）由于，，，的斜率分别是，，且点P不在x轴上．
所以，，．
又直线、的方程分别为，，
联立方程解得，所以，
由于点P在直线上，所以，
即，故为定值．
（ii）设，，，，
联立直线和双曲线的方程得，
化简得，由，
因此，，
所以
，同理可得：，
故由得或，
①当时，由（i）的结论可得，解得P点的坐标为；
②当时，由（i）的结论可得或（舍去），
此时直线CD的方程为与联立得，，
所以，经检验，两种情况均符合要求．
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为，．