广东省广州市执信中学天河校区2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省广州市执信中学天河校区2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 若函数在上单调，为实数，则， 设函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 某电动自行车的耗电量与速度之间的关系式为，为使其耗电量最小，则其速度为（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数求出函数取最小值时对应的的值即可得解.
【详解】由题意知，
令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值. 因此为使耗电量最小，则其速度应定为.
故选：C.
2. 函数的导数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的运算法则即可得到答案.
【详解】．
故选：C.
3. 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】，令，则，故，
当时，，即的坐标为.
故选：B.
4. 设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求函数的导数，利用导数在内存在零点，利用参变分离，转化为函数值域问题，即可求解.
【详解】依题意，在内存在变号零点，而不是的零点，从而得，又在上递增，所以.
故选：B
5. 在上的导函数为，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件构造函数，利用导数判断其单调性，从而得到不等关系，即可判断.
【详解】令，
则，
，，
在上单调递增，
，即，
.
故选：A.
6. 若函数在上单调，为实数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对函数求导，根据函数单调性质得出的特点，进而得到与的关系，再通过构造函数，利用导数研究函数单调性来比较与、与的大小关系.
【详解】，
因为在上单调，所以无变号零点，则是方程的解，
故，即，，
令，则，令，解得，
时，，时，,
所以在上单调递增，在上单调递减，，
所以，即；，
令，在上单调递增，无最值，则大小不确定，
故选：D.
7. 已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将不等式变形为，构造函数，分析可知该函数为增函数，可得出，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为，由可得，即函数的定义域为，
可得，
即，
构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，
所以，可得，则，
即，其中，令，其中，
则，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，解得.
综上，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为，结合不等式的结果构造函数，转化为函数的单调性以及参变量分离法求解.
8. 已知函数有且仅有一个零点，其中，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据且得到为的唯一零点，从而得到，再利用基本不等式求得的最小值.
【详解】因为有且仅有一个零点，又，所以为的唯一零点．
因为，因为，所以，
令，解得，令，解得，
若，因为，所以，所以此时，
在上单调递减，所以，
又，所以在上存在唯一零点，此时有两个零点，不合题意；
同理若，即时，有两个零点，不合题意，
所以，所以，
当且仅当，时取等号，所以的最小值为．
故选：B．
【点睛】思路点睛：证明
，分和即和两种情况讨论，均有两个零点，不符合题意，从而得到.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9. 设函数，则（ ）
A. 有两个极大值点B. 有两个极小值点
C. 是的极大值点D. 是的极小值点
【答案】BC
【解析】
【详解】求出函数的导数，讨论其符号后可得正确的选项.
【分析】根据题意，可得，
于是
因此函数有2个极小值点，以及1个极大值点．
故选：BC
10. 已知正棱锥的体积为，则其侧棱长可能为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】CD
【解析】
【分析】设正棱锥的侧棱长为，底面正多边形的外接圆的半径为，求得高，由底面多边形的面积，得到，通过换元构造函数求其最大值，和比较大小求解即可；
【详解】设正棱锥的侧棱长为，底面正多边形的外接圆的半径为，则，
则正棱锥的高，正棱锥的底面多边形的面积，
所以正棱锥的体积，其中，
令可得．
设函数则
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以则，解得．
故选：CD
11. 已知函数，且存在唯一的整数，使得，则实数a的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】将不等式转化为，分别作出与的图象，转动直线使得满足的整数解是唯一的，观察直线的斜率满足的条件即可.
【详解】令，得.
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
如图，分别作出函数与的图象，
其中直线恒过定点.
由图可知，，，
存在唯一的整数，使得，则需，
故实数a的取值范围是，
其中，，
而，，
故选：AC.
【点睛】参数分离法解不等式恒成立问题:
(1) 参数完全分离法:将参数完全分离到不等式的一端，只需求另一端函数的最值即可，这种方法的好处是分离后函数不含参数，易求最值.
(2) 参数半分离法:将原不等式分成两个函数，其中一个函数为含参的简单函数，如一次函数，可以通过图象的变化寻求满足的条件.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 函数在上的最大值为________.
【答案】0
【解析】
【分析】求导，得到函数单调性，结合，求出函数的最大值.
【详解】，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
其中，
故在上的最大值为0.
故答案为：0
13. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】求出导函数，要使函数有两个极值点，经分析可知只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反. 令可得，作出和的图像，分析即可得出的取值范围
【详解】的定义域为，.
要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反.
由得，.
令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点.
，令得：x>1；令得：；
所以在上单减，在上单增.
当时，；当时，；
作出和的图像如图，
所以即实数的取值范围为.
故答案为：.
14. 设满足方程的点的运动轨迹分别为曲线，若曲线有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】法一：将原问题转化为函数的图象与的图象有两个交点，利用导数研究的性质，结合图形即可求解；法二：将原问题转化为直线与的图象有两个交点，利用导数研究的性质，结合图形即可求解.
【详解】法一：因为，
，
依题意，曲线，曲线，
且曲线有两个交点，方程在上有两解，
即方程在上有两解，令，
所以方程有两解等价于函数的图象与的图象有两个交点.
易知直线恒过定点，斜率为，
又由得，令，则，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，作出的图象如图所示，
设直线是的图象的切线，设切点为，
则切线斜率为，所以切线的方程为，
又直线经过点，所以，
即，解得或，所以或，
由图知，当或即或时，
函数的图象与的图象有两个交点，即曲线有两个交点，
故实数的取值范围是.
法二：因为，
依题意，曲线，曲线，且曲线有两个交点，
方程在上有两解，即方程在上有两解，
当时，，此时；
当时，即方程上有两解，
令，则图象与的图象有两个交点.
又，
令，则或，
当或时，单调递减，
当或时，单调递增，
又，且当时，，
当时，，当时，，
所以的大致图象如图所示，
要使图象与的图象有两个交点，则或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用导数证明形如的不等式恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数.
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的极值；
【答案】（1）
（2）极小值为，无极大值
【解析】
【分析】（1）求出，求导，得到，由导数几何意义得到切线方程；
（2）求定义域，求导，得到函数单调性，从而求出极值.
【小问1详解】
，
，
故的图象在点处的切线为，
即；
【小问2详解】
的定义域为，
由（1）知，
令得，令得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故在上取得极小值，极小值为，无极大值；
16. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求函数在的最小值.
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数的区间符号，即可得对应单调性；
（2）应用导数研究函数的单调性，讨论与区间的位置关系求函数最小值.
【小问1详解】
由题意知的定义域为，，
①若，恒成立，所以在上单调递减.
②若，由，得，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
由（1）知，在单调递减，在单调递增.
①当，即时，在单调递减，
当时，有最小值；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增.
当时，有最小值；
③当，即时，在上单调递增，
当时，有最小值；
综上：.
17. 已知函数.
（1）若函数不单调，求实数的取值范围；
（2）若曲线与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将函数不单调转化为在上存在变号零点，进而转化为在区间上存在变号零点，结合二次函数区间根问题分析可得；
（2）利用导数分析函数的单调性，再结合可得.
【小问1详解】
由题意，.
，
设，，
当即时，，，
当时，，当时， ，
故函数不单调，满足题意；
当，即时，函数开口向下，因 ，
故，使得当时，，当时，，
故函数不单调，满足题意；
当时，，无解，
此时，，函数单调递增，不满足题意；
当时，的开口向上，对称轴为，
Δ=1−4a2−41−2a2=8a−3>0，
故在上有两个不同的零点，，
此时当或时，，当时，，
故函数不单调，满足题意；
综上可知函数不单调时，实数的取值范围为.
【小问2详解】
设，由题意可知由唯一零点，
，，
设，
当，即时，，
单调递增，结合可知满足题意，
当时，，，
单调递增，满足题意；
当时，，Δ′=a+3a−1>0，
设此时的两个根分别为，
则在区间上单调递增，在上单调递减，
，故，
又当x>-1,x→−1时，，当时，，
故的零点不唯一，
综上可知实数的取值范围.
18. 已知函数．
（1）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围；
（2）记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据极值点的定义求，并利用函数的导数，判断函数的单调性，求函数的极值，结合函数有3个零点求参数的取值范围；
（2）首先根据函数的的单调性去绝对值，再变形不等式，转化为函数在递减；在递增，再利用函数的导数和单调性的关系，转化为参变分离，求最值问题，即可求解.
【小问1详解】
函数在处有极值，
可得，解得，经检验，满足题意，
所以
当时，在单调递减；
当或时，在上单调递增，
可得在处取得极小值，且为0，在处取得极大值，且为，
方程有3个不同的实根，等价为，
即有的取值范围是.
【小问2详解】
在递减，可得时，，
，即为，
即
即为
即对任意且时恒成立.
所以在递减；在递增.
当恒成立时，可得，即在恒成立，
在上单调递增，即，则.
当在恒成立时，可得，即在恒成立，
，当时等号成立，则，则.
综上可得的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是第2问，变形不等式，转化为两个函数的单调性问题，结合导数，即可求解.
19. 已知函数，．
（1）若函数在单调增，求实数a的取值范围：
（2）当时，，求实数a的值；
（3）求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）函数在某区间单调递增，可通过其导数在该区间大于等于0恒成立来求解参数范围；
（2）要根据函数在给定区间的取值情况确定参数值，需结合函数的单调性等性质进行分析；
（3）证明不等式需要利用前面得到的函数性质以及一些常见的放缩技巧变形，结合裂项求和即可.
【小问1详解】
据题意：，，
则当时，，则在单调减，所以，
由于在单调增，则恒成立，即，故．
【小问2详解】
下面证明：当时，恒成立，此时，
由（1）知，当时，，符合；
当时：，，
，则在单调增，由于，
，则存在使，则，即在单调减，，即在单调增，又，，所以对恒成立，即在单调减，故．、
综上，．
【小问3详解】
由（2）知：对恒成立，
令，，
所以
．
【点睛】方法点睛：在证明导数与数列不等式综合问题时，经常将第一问的结论直接应用到证明当中去，再综合考虑不等式特征合理选取方法巧妙放缩求和，即可实现问题求解.
x
1
0
0
0
极小值
极大值
极小值