广东省佛山市第三中学2024-2025学年高二下学期第1次教学质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份广东省佛山市第三中学2024-2025学年高二下学期第1次教学质量检测 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了 已知，则， 已知数列满足递推关系，则， 已知数列满足，，则， 已知数列满足，， 曲线上的点到直线的最短距离是， 下列求导运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟 满分：150分）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知，则（ ）
A. B. 1C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据导数的定义求导数值.
【详解】.
故选：D.
2. 已知数列满足递推关系，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用取倒数法先求数列通项，再结合等差数列的概念求特定项即可.
【详解】因为，
所以，即数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以.
故选:D.
3. 已知数列满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在等式两边同时除以，推导出数列为等差数列，确定该数列首项和公差，即可求得的值.
【详解】在等式两边同时除以可得，即，
所以，数列是等差数列，且其首项为，公差为，
所以，，故.
故选：C.
4. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项.
【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，
之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．
故选C．
【点睛】本题考查函数的表示方法，关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属于基础题.
5. 已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】设为该等比数列的前项和，由等比数列的性质得成等比数列，然后列式求解即可.
【详解】设为该等比数列的前项和，由等比数列的性质得成等比数列，
，即，解得或63.
又当时，，不符合题意，舍去，故.
故选：B.
6. 已知数列满足，.若，则数列的通项公式（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
变形为可知数列是首项为2，公比为2的等比数列，求出后代入到可得结果.
【详解】由，得，所以，
又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：构造等比数列求出是本题解题关键.
7. 曲线上的点到直线的最短距离是
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：直线的斜率为２．由于，则由得，则
，求得曲线上斜率为２的切线为．取上的点，则点Ａ到直线的距离为，所以所求的最短距离为．故选Ｃ．
考点：点到直线的距离公式
点评：在解决问题时，有些问题需要进行转化．像本题，需将要求的问题转化为两条直线之间的距离．
8. 已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用退一作差法求得，求得的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】由，
当时，，
当时，由得，
两式相减并化简得，
也符合上式，所以，
令，
为常数，
所以数列是等差数列，首项，
所以，
对称轴为，
由于对任意的恒成立，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
【点睛】与前项和有关的求通项的问题，可考虑利用“退一作差法”来进行求解，和类似.求解等差数列前项和最值有关的问题，可结合二次函数的性质来进行求解.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 与均为的最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，根据题意，得到，结合等差数列的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】根据题意，设等差数列的公差为，
因为，可得，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以，所以C不正确；
对于D中，由，可得数列为递减数列，且，所以，
所以和均为的最大值，所以D正确.
故选：ABD.
10. 下列求导运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC
11. （多选）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ）
A. 数列是等差数列
B. 数列是等比数列
C. 数列的通项公式为
D. 若，则最大正整数为8
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先运用，得到数列的通项关系式，再配凑得出数列是等比数列，求得数列的通项公式后，代入分式形式，经裂项相消即可.
【详解】由，可得，
可配凑出，
所以数列是一个以为首项，为公比的等比数列，选项A错误，选项B正确；
所以，得，选项C正确；
显然，
，，……，
上式累加可得前项和为：，
不等式等价于，即，即，
其中.
所以最大正整数为8.选项D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数.则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则即可求解.
【详解】因为，
所以
故答案为：.
13. 已知数列是等差数列.若的值为__________.
【答案】2700
【解析】
【分析】根据等差数列求和公式求出答案.
【详解】因为，根据公式，
可得.
故答案为：2700
14. 已知函数满足在处导数为__________.
【答案】#
【解析】
【分析】根据题意先求出的导数，然后将代入导函数，求出的值.
【详解】,
，
，
.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知为等差数列，是等比数列，且.
（1）求和的通项公式；
（2）若，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求出公差和公比，得到通项公式；
（2）结合等差数列和等比数列求和公式进行分组求和，
【小问1详解】
设数列的公差为，数列的公比为.
因为，所以，即，
所以，
所以，则，
所以.
【小问2详解】
.
16. 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8．
（1）求等差数列通项公式；
（2）若成等比数列，求数列的前20项和.
【答案】（1），或；（2）500．
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的的公差为，则，，建立方程组求解；
（2）由（1）可知，根据项的正负关系求数列的前20项和.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，则，，
由题意得，解得或，
所以由等差数列通项公式可得或．
故或；
（2）当时，分别为，，2，不成等比数列；
当时，分别为，2，成等比数列，满足条件．
故，
记数列的前项和为，.
.
【点睛】本题考查等比数列，等差数列的简单应用，以及含绝对值数列的前项的和.
17. 已知函数，点.
（1）求在点处的切线方程；
（2）求过点的切线方程.
【答案】（1），
（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）设切点为，求得切线的斜率，可得切线的方程，代入 ，解方程可得，即可得到所求切线的方程.
【小问1详解】
函数的导数为，
可得在点处的切线斜率为，
切线方程为，
所以在点处的切线方程为；
【小问2详解】
设切点为，即，可得切线的斜率为，
切线的方程为，
代入点，可得，
化为，
即为，
解得或，
当时，切点为，故切线斜率为，则切线方程为，即，
当时，切点为，故切线斜率为，则切线方程为，即，
所以过点的切线方程为或.
.
18. 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由，可得，可得①，
由可得，整理可得②，
联立①②可得，，所以，
【小问2详解】
因为，则，
所以，，
，
上式下式得
，
因此，.
19. 各项都为正数的单调递增数列{an}的前n项和为Sn，且满足（n∈N*）．
（1）求数列{an}通项公式；
（2）求；
（3）设 ，数列的前n项和为Pn，求使Pn＞46成立的n的最小值．
【答案】（1）an=2n
（2）
（3）48
【解析】
【分析】（1）由（n∈N*），利用数列通项与前n项和的关系求解；
（2）由（1）得到，然后利用利用裂项相消法求解；
（3）由（1）得到，再分n为偶数和奇数求解.
【小问1详解】
解：因为（n∈N*）①，
当n=1时，解得；
当n≥2时，②；
①-②得：，
整理得，
所以或，
因为数列{an}是单调递增数列，
所以舍去，
所以，
所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列；
所以an=2+2（n-1）=2n；
【小问2详解】
由于an=2n，
所以，
故，
所以．
【小问3详解】
由（1）得：，
所以当n为偶数时，；
n的最小值为48；
当n为奇数时，，
不存在最小的n值．
故当n为48时，满足条件．