广东省佛山市南海区南海中学分校2024-2025学年高二下学期3月教学质量检测 数学试题（含解析）

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（全卷共4页，考试时间：120分钟）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必用考试规定用笔在答题卷写上自己的姓名；用2B铅笔在答题卡上涂写好考号/学号、考试科目.
2.客观题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮彻底擦干净后，再选涂其它答案，直接答在试题纸上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若全集，，，则集合
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】全集，，，
，.
故选B.
2. 函数的导函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数和指数函数的求导公式求导即可．
【详解】解：，
．
故选：B．
3. 曲线y=2sinx+csx在点(π，–1)处的切线方程为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．
【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
4. 数列的前项和为，若点在函数的图象上，则（ ）
A. 2021B. 4041C. 4042D. 4043
【答案】D
【解析】
【分析】根据点在函数的图象上，得到，再利用数列通项与前n项和的关系求解.
【详解】因为点在函数的图象上，
所以，
当时，，
当时，，
又适合上式，
所以，
所以，
故选：D
【点睛】方法点睛：1、数列的通项an与前n项和Sn的关系是，当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．
5. 已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
详解】∵，∴，则，∴，故选B.
6. 设等比数列的前项和为，若，则等于（ ）
A. B. C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列前项和公式列方程组求解．
【详解】由题意易知数列的公比，
则有，解得，
故选：B．
7. 已知函数的导函数图象如图所示，则（ ）
A. 在上单调递增B. 在处取得最大值
C. 在上单调递减D. 在处取得最小值
【答案】C
【解析】
【分析】根据导函数的图象，可知原函数的单调性判断AC，由单调性可得函数极值，判断BD.
【详解】由导函数的图象知，时，，当时，故函数在和上单调递减，故A错误，C正确；
在处取得极大值，不确定是最大值，故C错误；
在处取得极小值，不确定是最小值，故D错误.
故选：C
8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系，利用规律求解即可
【详解】,
可知数列可看作从第8项起以3为周期的数列，
因为，
所以，
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合4题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意，根据平面共线向量的坐标表示判断A，根据模的坐标表示判断B，根据数量积的坐标表示判断C，根据垂直关系的向量表示判断D.
【详解】A：，则，所以，故A正确；
B：，则，所以，故B正确；
C：，则，故C错误；
D：，则，所以，故D正确.
故选：ABD
10. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的极大值为
B. 有且仅有2个零点
C. 点是的对称中心
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】求得，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；求得，令，求得，得出，可判定C正确；根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确.
【详解】由函数，可得，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
当时，取得极大值，极大值为，所以A正确；
又由极小值，且当时，，
当时，，所以函数有3个零点，所以B错误；
由，可得，令，可得，
又由，所以点是函数的对称中心，
所以C正确；
因为是函数的对称中心，所以，
令，
可得，
所以，
所以，即，
所以D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，，则（ ）
A. 若有极值点，则
B. 当时，有一个零点
C.
D. 当时，曲线上斜率为2的切线是直线
【答案】BC
【解析】
【分析】对A，判断当时情况即可；对B，求导分析函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可；对C，根据得关于对称，再判断的对称性判断即可；对D，根据导数的几何意义判断即可.
【详解】对A，由题得，当时，递增，不存在极值点，故A选项错误；
对B，当时，，令得或，
令得，所以在上单调递减，在，上单调递增．
因为，，，
所以函数在上有一个零点，在上无零点．
综上所述，函数有一个零点，故B选项正确；
对C，由得关于对称，
令，该函数的定义域为R，因为，
则是奇函数，图象的对称中心是原点，
将的图象向上平移一个单位长度得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C选项正确；
对D，令，可得．又，，
所以当切点为时，切线方程为，
当切点为时，切线方程为，故D选项错误.
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 数列中，已知，且，则等于______.
【答案】
【解析】
【分析】利用累加即可得到答案.
【详解】因为，所以，
所以

故答案为：50
【点睛】本题考查了累加法求数列中的项的值，属于基础题.
13. 已知函数的值域为，则的定义域可以是______．（写出一个符合条件的即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】先判断的单调性，根据的极值点，即可画出函数图象，数形结合确定的一个符合条件的定义域即可．
【详解】解：因为，所以，
当或时，当时
即函数的单调增区间为和，函数的单调递减区间为．
所以和1为函数的极值点，
当时，，当时，，
又，
函数图象如下所示：
因为函数的值域为，所以函数的定义域可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
14. 若函数在内有最小值，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可.
【详解】函数的定义域为，
或（舍去），
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，即最小值，
又因为函数在内有最小值，
故，解得，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程；
(2) 利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值.
【小问1详解】
由题意知，，即切点为，
由已知，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故在点处的切线方程为：
【小问2详解】
令，即得或，
令，则得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为，，因为
,,
故在区间上的最大值为，最小值为.
16. 已知各项均为正数的等比数列满足=8，，设.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）记数列的前项和为，求的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）由等比数列的基本量法，求出基本量，从而求得通项公式，再求得通项公式，从而得证.
（2）从二次函数的角度理解，求得的最大值.
【小问1详解】
设等比数列的公比为q,
∵数列是等比数列，且，则，
∴ , ∴ , ∴==2
又∵=8,∴ , ∴
∴
∴
∴数列是等差数列，首项，公差.
【小问2详解】
由(1)知，
∵ ,
∴对称轴,又，所以取
∴时，最大，最大值为6.
17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出 ，利用数量积即可证明.
（2）求出两平面PAM与平面PDC的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦．
【详解】解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.
以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，
如图，建立空间直角坐标系.
则，，，.
可得，.
所以，
所以
（2）由（1）得到，，
因此可得，.
设平面的一个法向量为，则由
得
令，解得.
同理，可求平面PDC的一个法向量.
所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：
.
即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.
18. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
19. 已知函数，其中
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）①若恒成立，求的最小值；
②证明：，其中
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，在定义域内，解导函数不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）①分离参数得，令，利用函数的单调性求出的最大值即可；
②由①知：, 令，累加即可.
【小问1详解】
由已知条件得，其中的定义域为，
则，当时，，当时，，
可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；
【小问2详解】
①由恒成立，即恒成立，
令，则，当时，，
当时，，所以在上单调递增，上单调递减，
，所以a的最小值为
②由知：当时，，即恒成立，
即时取等号，令，得，所以
所以当时，