北京市顺义区第一中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份北京市顺义区第一中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．在等差数列中，，则公差的值为（ ）
A．B．C．D．2
2．下列求导运算结果错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差数列中，，是数列的前项和，则的值为（ ）
A．B．C．30D．60
4．函数在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：
①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同；
②汽车在时间段内不断加速行驶；
③汽车在时间段内不断减速行驶；
④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度.
其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．若在上是单调递增的，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设等比数列的前项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知是无穷等比数列，其前项和为，，.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，有下列说法
①的递增区间是和；
②有三个零点；
③不等式的解集为；
④关于的不等式恒成立，则的最大值为1.
其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．②③④D．①③④
二、填空题（本大题共5小题）
11．2和6的等差中项是 .
12．“藻井”又称“绮井”“天井”是中国建筑中一种顶部装饰手法，将建筑物顶棚向上凹进如井状，四壁饰有藻饰花纹.藻井最上面的顶心放置明镜或者雕刻蟠龙，所以近代“藻井”也称为“龙井”.
为了更好的传播我国的建筑文化，北京建筑博物馆制作了“藻井冰箱贴”，“藻井”是由五片圆形四周带有“宫殿”的大小相同的强磁金属片重叠摆放构成，每个金属片上的宫殿个数成等比数列，冰箱贴的最下面一层为“明镜”没有宫殿，第二层有4个宫殿，第三层有8个宫殿，则冰箱贴的最上一层有 个宫殿，一套冰箱贴中共有 个宫殿.
13．已知一个物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则物体在0s到1s这段时间里的平均速度为 ：物体在1s时的瞬时速度为 .
14．已知函数，的单调递增区间为 ，则的极大值为
15．已知数列满足：，有下列结论：则下列关于的判断正确的是
①，使得数列为等比数列；
②，，有；
③，，使得；
④，，当时，有；
所有正确结论的序号是
三、解答题（本大题共6小题）
16．已知为等差数列，且，.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和及的最大值.
17．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)求在上的最值.
18．两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足______在①（）；②：③（）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列唯一确定，并解答下列问题.
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
19．已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若，讨论函数的零点个数.
20．已知函数，
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设函数，求函数的单调区间；
(3)在（2）的条件下，若函数的图象恒在直线的图象的上方，求实数的最大值.
21．若有穷正整数数列：，，，…，（）满足如下两个性质，则称数列为数列：①（1，2，3，…，）；②对任意的，都存在正整数，使得.
(1)判断数列：1，1，2，2，4，4和数列：1，1，1，3，3，5是否为数列，说明理由；
(2)已知数列：，，，…，（）是数列.
（ⅰ）若，试列举所有的数列；
（ⅱ）证明：对任意的，与不能同时成立.
参考答案
1．【答案】C
【详解】在等差数列中，.
故选：C
2．【答案】D
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：D.
3．【答案】B
【详解】由题意可得.
故选：B
4．【答案】A
【详解】因为函数，所以，所以，，
所以在点处的切线方程为，即.
故选：A.
5．【答案】C
【详解】根据题意，
①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确；
②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确；
③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确；
④汽车在时刻的瞬时速度为0，在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④不正确．
故选：C．
6．【答案】D
【详解】由，因为是函数的极小值点，
所以，即
则当或时，，所以在上递增，
则当时，，所以在上递减，
即在时有极大值,
故选：D .
7．【答案】C
【详解】因为在上是单调递增的，
所以上恒成立，所以上，
因为，所以，，
则的取值范围是.
故选：C.
8．【答案】D
【详解】充分性：
当时，，所以为递增数列；
当，若时，假设，则数列，则，
所以充分性不成立；
必要性：假设，则数列为，
取，则，，，但，
所以必要性不成立，
故选：D
9．【答案】B
【详解】设的公比为，因为，所以，
所以，所以，所以，
因为对任意正整数恒成立，
所以对任意正整数恒成立；
当是偶数时，对任意正整数恒成立，则，
因为在上单调递增，
所以，所以，
当是奇数时，对任意正整数恒成立，则，
因为在上单调递增，
所以时，，所以，
综上所述，的取值范围是，
故选：B
10．【答案】D
【详解】对于①，当时，，令；
当时，，令，
所以的递增区间是和，故①正确；
对于②，当时，；当时，；
当时，，又在上为递减函数，在为递增函数，
做出函数图象如下：
所以函数有两个零点，故②错误；
对于③，，结合图象可得不等式的解集为，故③正确；
对于④，当时，不等式恒成立等价于即恒成立，
令，，
令可得，所以当时，，为递减函数；当时，，为递增函数，
所以，即，
当时，不等式恒成立，
当时，，
当时，由简单复合函数的单调性可得；当时，，此时即可；
综上的最大值为1，故④正确；
故选：D
11．【答案】4
【详解】2和6的等差中项为.
故答案为：4
12．【答案】 32 60
【详解】由题意可得公比，设等比数列为，则
冰箱贴的最上一层有个宫殿；
一套冰箱贴中共有.
故答案为：32；60.
13．【答案】 1 2
【详解】根据平均速度的定义，平均速度，其中是位移的变化量，是时间的变化量.
已知位移，当时，；当时，.
则位移的变化量，时间的变化量.
所以平均速度.
瞬时速度是位移函数对时间的导数，先对位移函数求导，可得.
那么物体在1s时的瞬时速度，就是时导函数的值，即.
故答案为： ； .
14．【答案】
【详解】定义域为，因，则，
得；得或，
则在，上单调递减，在上单调递增，
则的极大值为.
故答案为：；
15．【答案】①③④
【详解】判断①，若数列为等比数列，则（为公比）.
已知，若，则，即.
若为常数，那么也必须为常数，设，则，即.
若，为常数，代入得，化简得，即，，.
当时，，，，此时数列是常数列，也是等比数列（公比为），所以，使得数列为等比数列，①正确.
判断②，当时，.
根据均值不等式，有，当且仅当，即时取等号.
所以，，因为，.
当时，，即，所以②错误.
判断③，当时，，根据均值不等式，当且仅当，即时取等号.
又.
当时，，；当时，，.
所以数列从某一项开始单调递减且有下界，所以，使得，③正确.
判断④，由,当且仅当时，等号成立，
.
所以，
所以.
对于，，当时，，即，④正确.
所有正确结论的序号是①③④.
故答案为：①③④.
16．【答案】(1)
(2)；最大值为
【详解】（1）设数列的公差为，
则，，解得，
则数列的通项公式为.
（2），，
因二次函数在处取最大值，故的最大值为.
17．【答案】(1)的单调递增区间为和,单调递减区间为;
(2)最大值为,最小值为0.
【详解】（1）对求导可得：，
令,则,解得或；
时，则，解得或，
所以在上单调递增；
当时，则,即,
所以在 上单调递减；
因此，的单调递增区间为和,单调递减区间为.
（2）由（1）可知和为函数的极值点;
,
,
,
,
所以在 上的最大值为,最小值为0.
18．【答案】(1)；
(2)，
【详解】（1）设数列的公比为，则，得，
则；
选①：时，，又因满足上式，故，
当时，，则，又满足上述，故.
选②：已知，无法确定数列.
选③：可知数列是以为首项，为公差的等差数列，则
（2），则
，
19．【答案】(1)极大值为，极小值为
(2)答案见解析
【详解】（1），，
令，
所以当时，，为单调递减函数；
当时，，为单调递增函数；
当时，，为单调递增函数，
所以的极大值为，极小值为.
（2）的零点个数即为与的交点个数，
由，可得，，
时；时；时，
结合（1）画出图象如下：
所以，当时，函数无零点；
当或，函数有一个零点；
当或时，函数有两个零点；
当时，函数有三个零点.
20．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)2
【详解】（1）已知函数 ，则，
将代入可得
将代入可得，
所以切点为,切线斜率,
则切线方程为，整理得；
（2）已知，其定义域为. ，
令，，
当，即时，恒成立(因为二次函数开口向上)，
则恒成立，所以在上单调递增；
当，即时，由，根据求根公式可得，；
则在和上, 单调递增；
在上，, , 单调递减；
综上，当时，的单调递增区间为，无减区间；
当时，的 单 调 递 增 区 间 为 和 ,
单 调 递 减 区 间 为 .
（3）由题意知在上恒成立，即在上恒成立，
等价于在上恒成立，
令，则恒成立，
对进行求导，，
令，对其求导得，
所以在上单调递增；
又，所以当时，，即,
所以在上单调递增，
因为在上单调递增，所以，
所以,
即实数的最大值为2.
21．【答案】(1)数列，数列不是；
(2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）证明见解析.
【详解】（1）对于数列A，，，，即数列A满足性质①，
又，，，，，即数列A满足性质②，
所以数列A是T数列；
对于数列B，，，且对任意的正整数，
有，即数列B不满足性质②，
所以数列B不是T数列.
（2）（ⅰ）对任意的，由性质①，，由性质②，，
当时，，而为正整数，则，
当时，，而为正整数，则，由（1）知，符合题意，
或，此时，满足性质②，符合题意；
当时，，为正整数，
若，则或或，
当时，，符合题意；
当时，，对任意的正整数，
有，不满足性质②；
当时，由（1）知，符合题意，
若，则或，
当时，由（1）知，不符合题意；
当时，，满足性质②，
因此数列前6项为：；；，
当时，，为正整数，
若，则，满足性质②，或都不满足性质②；
若，则或满足性质②，
或或都不满足性质②；
若，则或满足性质②，
或或都不满足性质②，
所以，所有的数列为：；；；
；.
（ⅱ）假设存在，使得，
由性质①，可得，
由性质②，存在正整数，使得，
由，得，则，，
而，矛盾，
所以与不能同时成立.