2023-2024学年北京市顺义一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市顺义一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.cs12°cs18°−sin12°sin18°=( )
A. 32B. 12C. −12D. − 32
2.如图，在平行四边形ABCD中，AC−AB=( )
A. CB
B. AD
C. BD
D. CD
3.为了得到函数y=sin(x+π4)的图象，只需把y=sin(x−π4)的图象上所有的点( )
A. 向左平移π2个单位长度B. 向右平移π4个单位长度
C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π2个单位长度
4.已知α，β都是锐角，sinα=35，cs(α+β)=−513，则sinβ=( )
A. −5665B. −1665C. 3365D. 6365
5.已知a，b为非零向量，且a⇀+b⇀=a⇀+b⇀，则一定有( )
A. a=bB. a/​/b，且a，b方向相同
C. a=−bD. a/​/b，且a，b方向相反
6.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O交于点P，PM⊥x轴，垂足为M.若△OMP的面积为625，则sin2α=( )
A. 625B. 1225C. 1825D. 2425
7.y=cs2x−sin2x+2sinxcsx的最小值是( )
A. 2B. − 2C. 2D. −2
8.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )
A. y=2sin(2x+2π3)
B. y=2sin(2x+π3)
C. y=sin(x+7π12)
D. y=sin(x+11π12)
9.如果函数f(x)=sinωx+ 3csωx的两个相邻零点间的距离为2，那么f(1)+f(2)+f(3)+…+f(9)的值为( )
A. 1B. −1C. 3D. − 3
10.已知函数f(x)=cs(2x+π3)，如果存在实数x1，x2，使得对任意实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，那么|x2−x1|的最小值为( )
A. π3B. π2C. πD. 2π
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.2sinπ12csπ12= ______．
12.已知角α的终边经过点P(−3,4)，则cs(2α)= ______．
13.tan(−13π7)与tan(−7π8)的大小关系是______(填：“>，<或=”中的一个)．
14.已知函数f(x)=csx⋅( 3sinx−csx)+12，那么函数f(x)最小正周期为______；对称轴方程为______．
15.已知f(x)=|sinx|⋅csx，x∈R，有下列四个说法：
①f(x)的一个正周期为2π；
②f(x)在[−π4,π4]上单增；
③f(x)值域为[−12,12]；
④f(x)图象关于x=π对称．
其中，所有正确说法的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2sin(12x−π6)．
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间；
(Ⅲ)求方程f(x)=1的解集．
17.(本小题13分)
已知函数f(x)=sin(2x+π6)．
(1)求f(π3)的值；
(2)求函数f(x)的对称中心；
(3)作出f(x)在一个周期内的图象.(将给定的表格中填全，并描点画图)
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=4csxsin(x+π6)−1．
(1)求f(π6)的值；
(2)求f(x)在区间[−π6,π4]上的最大值和最小值．
19.(本小题14分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2)部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数y=g(x)的图象，求曲线y=g(x)的对称轴只有一条落在区间[0,m]上，求m的取值范围．
20.(本小题14分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f(x)的解析式唯一确定．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)=f(x)+f(x−π6)+a，若g(x)在区间[0,π2]上的最大值为2+ 3，求a的值．
条件①：f(x)的最小正周期为π；
条件②：f(x)为奇函数；
条件③：f(x)图象的一条对称轴为x=π4．
21.(本小题15分)
对于函数y=f(x)，x∈D1，y=g(x)，x∈D2及实数m，若存在x1∈D1，x2∈D2，使得f(x1)+g(x2)=m，则称函数f(x)与g(x)具有“m关联”性质．
(1)分别判断下列两组函数是否具有“2关联”性质，直接写出结论：
①f(x)=x，x∈[−1,1]；g(x)=−x，x∈[−1,1]；
②f(x)=ex，x≥1；g(x)=ex，x≤l；
(2)若f(x)=sinx与g(x)=cs2x具有“m关联”性质，求m的取值范围；
(3)已知a>0，f(x)为定义在R上的奇函数，且满足：
①在[0,2a]上，当且仅当x=a2时，f(x)取得最大值1；
②对任意x∈R，有f(a+x)+f(a−x)=0．
求证：y1=sinπx+f(x)与y2=csπx−f(x)不具有“4关联”性质．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：cs12°cs18°−sin12°sin18°=cs(12°+18°)= 32．
故选：A．
直接利用两角和与差的余弦函数化简求解即可．
本题考查两角和与差的三角函数，考查计算能力．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量减法的三角形法则，是基础题．
直接由向量减法的三角形法则求解．
【解答】
解：在平行四边形ABCD中，AC−AB=BC=AD．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：把y=sin(x−π4)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度，可得函数y=sin(x+π2−π4)=sin(x+π4)的图象，
故选：A．
由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题可知，csα=45，sin(α+β)=1213，
所以sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα=1213×45+513×35=6365．
故选：D．
由已知可求csα，sin(α+β)，然后结合sinβ=sin[(α+β)−α]，利用两角差的正弦公式展开即可求解．
本题主要考查了两角差的余弦公式的应用，属于基础试题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查向量数量积的应用，利用平方法是解决本题的关键，是基础题．
根据向量数量积的应用，利用平方法进行判断即可．
【解答】
解：设OA=a，AB=b，
所以a⇀+b⇀=OB
因为a⇀+b⇀=a⇀+b⇀，
根据图像知a/​/b，且a，b方向相同。
故选B．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题．
由题意，利用任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，求得sin2α=2sinαcsα的值．
【解答】
解：由题意知|OM|=csα，|PM|=sinα，S△OMP=12×|OM|×|PM|=12sinαcsα=625，sin2α=2sinαcsα=2425．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：∵y=cs2x−sin2x+2sinxcsx
=cs2x+sin2x
= 2sin(2x+π4)，
∴ymin=− 2．
故选B．
利用二倍角的正弦与余弦公式将y=cs2x−sin2x+2sinxcsx转化为y=cs2x+sin2x，再利用辅助角公式将其转化为y= 2sin(2x+π4)，即可求其最小值．
本题考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查二倍角的正弦与余弦公式与辅助角公式，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：因为A>0，根据图像易得A=2，
因为T2=5π12+π12=π2，所以T=π，所以|ω|=2πT=2ππ=2，则ω=±2，
当ω=2时，y=f(x)=2sin(2x+φ)，
由f(−π12)=2得2sin[2×(−π12)+φ]=2，
所以−π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，即φ=2kπ+2π3，k∈Z，
因为0<φ<π，所以φ=2π3，
所以f(x)=2sin(2x+2π3)；
当ω=−2时，y=f(x)=2sin(−2x+φ)，
由f(−π12)=2得2sin[−2×(−π12)+φ]=2，
所以π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，即φ=2kπ+π3，k∈Z，
因为0<φ<π，所以φ=π3，
所以f(x)=2sin(−2x+π3)=2sin[π−(2x+2π3)]=2sin(2x+2π3)．
综上：y=2sin(2x+2π3)，故A正确．
故选：A．
根据图象，先确定A=2以及周期，进而得出ω=±2，分类讨论，结合f(−π12)=2求出φ，从而求得函数解析式．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=sinωx+ 3csωx=2sin(ωx+π3)，
且f(x)的图象两个相邻零点间的距离为2，
所以f(x)的最小正周期为4，
即T=2πω=4，解得ω=π2；
所以f(x)=2sin(π2x+π3)，
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(9)
=2sin(π2+π3)+2sin(π+π3)+2sin(3π2+π3)+…+2sin(9π2+π3)
=2csπ3
=1．
故选：A．
化简函数f(x)，根据f(x)的图象两个相邻零点间的距离为2得出f(x)的最小正周期为4，
求出ω的值，再计算f(1)+f(2)+f(3)+…+f(9)的值．
本题考查了三角函数的化简与求值问题，是基础题目．
10.【答案】B
【解析】解：∵对任意实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，
∴f(x1)=−1是函数的最小值，f(x2)=1是函数的最大值，
则|x2−x1|的最小值为T2=2π22=π2．
故选：B．
根据不等式恒成立得到f(x1)=−1是函数的最小值，f(x2)=1是函数的最大值，根据三角函数最值之间的关系进行求解即可．
本题主要考查余弦函数的图像和性质，根据条件求出对应的函数的最大值和最小值是解决本题的关键，是基础题．
11.【答案】12
【解析】解：2sinπ12csπ12=sinπ6=12．
故答案为：12．
利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解．
本题考查了二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．
12.【答案】−725
【解析】解：由题意可得csα=−35，
所以cs2α=2cs2α−1=2×925−1=−725．
故答案为：−725．
由已知结合三角函数的定义及二倍角公式即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义及二倍角公式的应用，属于基础题．
13.【答案】>
【解析】解：因为tan(−13π7)=tan(2π−13π7)=tanπ7，
tan(−7π8)=tan(π−7π8)=tanπ8，
又0<π8<π7<π2，
所以tanπ8故tan(−13π7)>tan(−7π8)．
故答案为：>．
根据诱导公式化简后，利用正切函数的单调性即可比较大小．
本题主要考查诱导公式及正切函数的单调性，属于基础题．
14.【答案】π x=π3+kπ2,k∈Z
【解析】解：因为f(x)=csx⋅( 3sinx−csx)+12
= 3csxsinx−cs2x+12
= 32sin2x−12cs2x
=sin(2x−π6)，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，
令2x−π6=π2+kπ,k∈Z，
得x=π3+kπ2,k∈Z，
所以函数f(x)的对称轴为x=π3+kπ2,k∈Z．
故答案为：π；x=π3+kπ2,k∈Z．
根据二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，继而利用周期公式及整体代入法求解对称轴即可．
本题考查了二倍角公式及辅助角公式，考查了正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．
15.【答案】：①③④．
【解析】解：由于f(x+2π)=|sin(x+2π)|⋅cs(x+2π)=|sinx|csx=f(x)，x∈R，
故f(x)的一个正周期为2π，故①正确．
当x∈[−π4,0]，2x∈[−π2,0]，sinx≤0，f(x)=−12sin2x单调递减；
当x∈(0,π4]，2x∈(0,π2]，sinx>0，f(x)=12sin2x单调递增，
故f(x)在[−π4,π4]上不单调，故②错误．
根据f(x)=|sinx|⋅csx，当sinx≥0时，f(x)=12sin2x，可得出它的值域为[−12,12]；
当sinx≤0时，f(x)=−12sin2x，可得它的值域为[−12,12]，
故f(x)值域为[−12,12]，故③正确．
由于f(2π−x)=|sin(2π−x)|⋅cs(2π−x)=sin2x⋅csx=f(x)，
故它的图象关于x=π轴对称，故④正确．
故答案为：①③④．
由题意，根据三角函数函数的值域，周期性，奇偶性，方程的根的情况，做出判断．
本题主要考查三角函数的值域，周期性，奇偶性，方程的根的判断，属中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=2sin(12x−π6)的最小正周期T=2π|ϑ|=2π12=4π；
(Ⅱ)令−π2+2kπ≤12x−π6≤π2+2kπ，解得−2π3+4kπ≤x≤4π3+4kπ，k∈Z．
∴f(x)的单增区间为[−2π3+4kπ,4π3+4kπ](k∈Z)；
(Ⅲ)令f(x)=1，即2sin(12x−π6)=1，可得sin(12x−π6)=12，
∴12x−π6=2kπ+π6或12x−π6=2kπ+5π6，k∈Z．
∴x=4kπ+2π3或x=4kπ+2π，k∈Z．
∴方程f(x)=1的解集是{x|x=4kπ+2π3或x=4kπ+2π,k∈Z}．
【解析】(Ⅰ)直接由周期公式求周期；
(Ⅱ)由复合函数的单调性求解f(x)的单增区间；
(Ⅲ)由已知求解三角方程得答案．
本题考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，考查三角方程的解法，是基础题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)=sin(2x+π6)，
所以f(π3)=sin(2×π3+π6)=sin5π6=12．
(2)令2x+π6=kπ,k∈Z，得x=−π12+kπ2,k∈Z，
所以函数的对称中心为(−π12+kπ2,0),k∈Z．
(3)表格如下图：
图象如下：

【解析】(1)根据函数的解析式代入求值即可；
(2)整体代入法进行求解即可；
(3)利用五点作图法填写表格作出图象即可．
本题考查三角函数图象和性质，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵f(x)=4csxsin(x+π6)−1
=4csx( 32sinx+12csx)−1
= 3sin2x+cs2x
=2sin(2x+π6)，
∴f(π6)=2sin(2×π6+π6)=2；
(2)∵x∈[−π6,π4]，
∴2x+π6∈[−π6,2π3]，
∴−12≤sin(2x+π6)≤1，
−1≤2sin(2x+π6)≤2．
∴f(x)max=2，f(x)min=−1．
【解析】(1)利用两角和与差的三角函数关系将f(x)=4csxsin(x+π6)−1转化为f(x)=2sin(2x+π6)，将值代入，即可求解．
(2)由f(x)=2sin(2x+π6)，x∈[−π6,π4]，利用正弦函数的单调性质即可求其的最大值和最小值．
本题考查两角和与差的三角函数关系与二倍角的公式，考查正弦函数的单调性，求得f(x)的解析式是关键，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由图象可知y=f(x)的最大值为1，最小值−1，所以A=1；
又T4=2π3−5π12=π4=2π4ω，且ω>0，所以ω=2，
将点(2π3,−1)代入y=f(x)得，f(2π3)=sin(4π3+φ)=−1，
所以4π3+φ=3π2+2kπ，即φ=π6+2kπ,k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=π6，
所以f(x)=sin(2x+π6)；
(2)由y=f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)=sin[2(x−π6)+π6]=sin(2x−π6)，
令2x−π6=π2+kπ，得x=π3+kπ2,k∈Z，
所以曲线y=g(x)的对称轴为x=π3+kπ2,k∈Z，
因为曲线y=g(x)的对称轴只有一条落在区间[0,m]上，
所以m的取值范围是[π3,5π6).
【解析】(1)由图象可知A=1，相邻的对称中心和对称轴距离相差T4，再代入关键点可得解析式；
(2)根据图象的变换得到y=g(x)解析式，求解函数y=g(x)的对称轴，由题意列不等式即可求解．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)若选①②，则T=2πω=π，解得ω=2，又函数为奇函数，则f(−x)=−f(x)，
即sin(−2x+φ)=−sin(2x+φ)，解得φ=kπ，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=0，故f(x)=sin2x．
若选①③，则T=2πω=π，解得ω=2，又f(x)图象的一条对称轴为x=π4，
所以f(π4)=sin(2×π4+φ)=±1，故π2+φ=π2+kπ,k∈Z，
解得φ=kπ，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=0，故f(x)=sin2x．
若选②③，因为函数为奇函数，则f(−x)=−f(x)，即sin(−ωx+φ)=−sin(ωx+φ)，
解得φ=kπ，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=0，故f(x)=sinωx，
又f(x)图象的一条对称轴为x=π4，所以f(π4)=sin(ω×π4)=±1，
故ωπ4=π2+kπ,k∈Z，k=1时，ω=6，符合题意，故f(x)=sin6x，
此时函数f(x)=sin2x和f(x)=sin6x均为奇函数，
且sin(2×π4)=1,sin(6×π4)=−1，均满足一条对称轴为x=π4，
故解析式不唯一，不合题意．
(2)有(1)知f(x)=sin2x，则g(x)=f(x)+f(x−π6)+a
=sin2x+sin(2x−π3)+a=sin2x+12sin2x− 32cs2x+a= 3sin(2x−π6)+a，
由x∈[0,π2]得2x−π6∈[−π6,5π6]，故当2x−π6=π2，即x=π3时，
g(x)max= 3+a=2+ 3，故a=2．
【解析】(1)若选①②，先由周期求得ω=2，再利用奇函数求得φ=0即可；若选①③，先由周期求得ω=2，再利用对称轴x=π4求得φ=0即可；若选②③，由奇函数求得f(x)=sinωx，可取f(x)=sin2x，再由对称轴为x=π4，可求得f(x)=sin6x，解析式不唯一，不合题意；
(2)先由f(x)求出g(x)并化简解析式，求得2x−π6∈[−π6,5π6]，再利用单调性求得最大值即可求解．
本题考查三角函数性质，属于中档题．
21.【答案】解：(1)①∵f(x)=x，x∈[−1,1]；g(x)=−x，x∈[−1,1]；
∴[f(x1)+g(x2)]∈[−2,2]，
∴函数f(x)与g(x)具有“2关联”性质，
②∵f(x)=ex，x≥1；g(x)=ex，x≤l，
∴f(x)≥e，0∴[f(x1)+g(x2)]∈(e,+∞)，
∴函数f(x)与g(x)不具有“2关联”性质；
(2)f(x)=sinx∈[−1,1]，g(x)=cs2x∈[−1,1]，
所以[f(x1)+g(x2)]∈[−2,2]，
则m∈[−2,2]；
证明：(3)因为在[0,2a]上，当且仅当x=a2时，f(x)取得最大值1，
又f(x)为定义在R上的奇函数，
故在[−2a,0]上，当且仅当x=−a2时，f(x)取得最小值−1，
由对任意x∈R，有f(a+x)+f(a−x)=0，
所以y=f(x)关于点(a,0)对称，
又f(a+x)=−f(a−x)=f(x−a)，
所以f(x)的周期为2a，
故f(x)的值域为[−1,1]，
sinπx∈[−1,1]，csπx∈[−1,1]，
当f(x1)=1时，x1=a2+2na，n∈Z；sinπx1=1时，x1=12+2k，k∈Z，
若a2+2na=12+2k，则a=4k+14n+1，k，n∈Z时有y1=sinπx1+f(x1)=2；
当f(x2)=−1时，x2=−a2+2ma，m∈Z；csπx2=1时，x2=2t，t∈Z，
若−a2+2ma=2t，则a=4t4m−1，t，m∈Z，时有y2=csπx2−f(x2)=2；
由于a=4k+14n+1≠4t4m−1，
所以sinπx1+f(x1)+csπx2−f(x2)<4，
故不存在x1∈R，x2∈R，使得sinπx1+f(x1)+csπx2−f(x2)=4，
所以y1=sinπx+f(x)与y2=csπx−f(x)不具有“4关联”性质．
【解析】(1)根据具有“2关联”性质的定义判断即可；
(2)求解f(x1)+g(x2)的值域即可得出结果；
(3)根据f(x)的性质求出其值域，结合三角函数的值域得出y1+y2的范围，即可证明结论．
本题主要考查了新定义问题，考查了函数的性质及学生的逻辑推理能力，属于中档题．2x+π6
0
x
f(x)
2x+π6
0
π2
π
3π2
2π
x
−π12
π6
5π12
2π3
11π12
f(x)
0
1
0
−1
0