北京市首都师范大学附属育新学校2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

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一、单选题（每小题4分，共40分）
1. 在等差数列中，，则（ ）
A. 9B. 11C. 13D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】由题意知，解得，所以，所以.
故选：C.
2. 已知为等比数列，公比，则（ ）
A. 81B. 27C. 32D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解.
【详解】根据可得，所以或，
若，则不符合要求，
若，则符合要求，故，
故选：A
3. 已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及前项和公式求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，由，
得，解得，
所以.
故选：B
4. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A. 7B. 13C. 18D. 63
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意判断得数列为等比数列，进而得到其基本量，从而利用等比数列的求和公式即可得解.
【详解】因为，，
所以数列为等比数列，公比，
又，解得，
所以.
故选：A
5. 下列导数运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用常见函数的导数公式和导数的四则运算法则逐一判断即可.
【详解】对于A选项：利用导数除法法则，，正确；
对于B选项：直接利用常见函数的导数公式判断，正确；
对于C选项：利用导数乘法法则，，正确；
对于D选项：，故不正确.
故选：D.
6. 下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解.
【详解】对于A，在上的平均变化率为，
对于B，在上的平均变化率为，
对于C, 在上的平均变化率为，
对于D，在上的平均变化率为，
由于，故在上的平均变化率最大，
故选：B
7. 在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝( )．
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列首项为，公差为，由3a4＝7a7，得，代入转化为关于n的二次函数，由二次函数性质和可求得最大值．
【详解】设等差数列首项为，公差为，由题意可知，a1>0
，二次函数的对称轴为，开口向下，又因为，所以当n=9时，取最大值．选C.
【点睛】等差数列常设首项为，公差为，这样等差数列通项和前n项和转化为关于n的函数关系，．
8. 设等比数列的公比为，前项和为，使有最小值的一组和可以为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用并项求和推理判断A；利用等比数列前项和公式推理判断B；利用负数和的意义判断CD.
【详解】对于A，，，数列是首项为，
公比为的递减等比数列，因此，随着的增大逐渐减小，无最小值，A不是；
对于B，，，
当时，，即，
因此对任意正整数，恒成立，有最小值，B是；
对于CD，或，，因此，随着的增大逐渐减小，无最小值，CD不是.
故选：B
9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. 曲线在点处的切线斜率小于零
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在区间单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】由可判断A；由图得函数在区间上即可判断B；由图得区间上，区间上即可判断C；由图得函数在区间上，当且仅当时导数值为0可判断D.
【详解】对于A，由图可知，即曲线在点处的切线斜率等于零，故A错误；
对于B，由图可知在区间上，所以函数在区间上单调递减，故B错误；
对于C，由图区间上，区间上，
所以函数在处取不到极大值，故C错误；
对于D，由图可知函数在区间上，当且仅当时导数值为0，
所以函数在区间上单调递减，故D正确.
故选：D
10. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示.已知这两个函数图象恰有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A. 函数的最大值为1B. 函数的最小值为1
C. 函数的最大值为1D. 函数的最小值为1
【答案】A
【解析】
【分析】先由图求出的正负情况，接着研究函数的导函数正负情况即可得解判断AB，研究函数的导函数正负情况即可得解判断CD.
【详解】由图可知恒成立，且不存在导数连续为0情况，
所以函数单调递增，
所以实线表示函数图象的，虚线表示导函数的图象，
所以时，时，
对于AB，函数的导函数为，
则时，时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数有最大值为，故A正确，B错误；
对于CD，函数的导函数为恒成立，
所以函数在R上单调递增，
所以函数无最值，故CD错误；
故选：A
二、填空题（每小题4分，共20分）
11. 曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：根据导数的几何意义可知函数f（x）在x=1处的切线斜率k=f′（1），利用点斜式可得直线方程．
详解：∵f（x）=ex
∴f（1）=e且f′（x）=ex
根据导数的几何意义可知函数f（x）在x=1处的切线斜率k=f′（1）=e
∴函数f（x）=ex在x=1处的切线方程是y﹣e=e（x﹣1），
即y=ex
故答案为y=ex．
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
12. 函数在上为增函数，则实数的取值范围是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】由单调性与导数关系得在上恒成立，再分参利用函数单调性和最值即可求解.
【详解】因为函数在上为增函数，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，又在上单调递增，
所以，即满足题意的实数的取值范围是.
故答案为：
13. 已知数列的通项公式为，则数列的前项和___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用裂项相消法可直接求得结果.
【详解】，.
故答案为：.
14. 设数列的前项和为，若，，且.则______________；使得成立的的最小值为_______________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】对于空1，由得即可求解；对于空2，依次求出并结合当时即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以由，
所以，
，
又当时，
所以使得成立的的最小值为.
故答案为：；.
15. 已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列.给出下列四个结论：
①数列不是等比数列;
②若与都是递增数列，则数列是递增数列;
③对任意的，不是等差数列;
④存在数列，对任意的，且，使得不能构成等比数列.
其中所有正确结论的序号是_______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】通过分析每个结论，利用等差数列和等比数列的通项公式及相关性质，结合特殊例子来判断其正确性.
【详解】结论①，设等差数列的公差为（），首项为，等比数列的公比为（），首项为.
假设是等比数列，则.
，
，，，
的平方不等于，所以数列不是等比数列，结论①正确.
结论②，例如是递增等差数列，是递增等比数列.
，，，，所以不是递增数列，结论②错误.
结论③，假设等差数列，则.
，，
，化简得，即，，这与不是常数列矛盾，所以对任意的不是等差数列，结论③正确.
结论④，，
则，
若能构成等比数列，则，
化简得，所以，解得，与题干矛盾，所以结论④正确.
故答案为：①③④.
三、解答题（共40分）
16. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，.
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设公差为，公比为，根据已知列出方程可求出，，代入通项公式，即可求出结果；
（2）分组求和，分别求出和的前项和，加起来即可求出结果.
【小问1详解】
设公差为，公比为，因为，
则由可得，，即，
由可得，，解得，则.
所以有，整理可得，
解得或（舍去）.
所以，则，解得（舍去负值），所以.
所以有，.
【小问2详解】
由（1）知，，，则.
.
17. 已知函数.
（1）过点作曲线的切线，求此切线的方程.
（2）求的单调区间；
（3）求在上的最大值和最小值.
【答案】（1）切线方程为或；
（2）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（3）.
【解析】
【分析】（1）先求导和设切点，接着由导数几何意义结合两点间斜率关系求出参数即可得切线切点和斜率，再由点斜式即可得解；
（2）求导，根据导数正负情况即可得解；
（3）由（2）求出函数单调性，求出端点函数值和极值即可得解.
【小问1详解】
由题，设过点与曲线相切的切线的切点为，
则切线斜率或，
所以切点为或，
当切点为时，切线斜率为，则切线方程为；
当切点为时，切线斜率为，则切线方程为即；
综上，所求切线方程为或；
【小问2详解】
函数定义域为R，，
所以当时，，当时，，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
【小问3详解】
由（2）可知函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，
所以.
18. 已知数列的前项和为，数列满足，，.
（1）求数列通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由分析计算即可求解；
（2）由累加法即可求解；
（3）由错位相减法计算求解即可.
【小问1详解】
因为数列的前项和为，
所以当，；
当，；
显然满足，
所以.
【小问2详解】
因为数列满足，，，
所以，
数列的通项公式.
【小问3详解】
由（1）（2）得，
所以数列的前项和，
所以，
所以.
所以.
19. 已知函数.
（1）若函数的图象在点处的切线的斜率为，求此切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）若在上的最小值为，求实数的值.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义可求出的值，可求出的值，再利用导数的几何意义可求出所求切线的方程；
（2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，可得出函数的增区间和减区间以及极大值、极小值；
（3）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值.
【小问1详解】
因为，则，
由导数的几何意义可得，解得，则，
所以，，故所求切线的方程，即.
【小问2详解】
函数的定义域为，且，
当时，对任意，恒成立，
此时函数增区间为，无极值；
当时，由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为，
函数的极小值为，无极大值.
综上所述，当时，函数的增区间为，无极值；
当时，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.
【小问3详解】
当时，函数在区间上单调递增，则，
解得，不合乎题意；
当时，即当时，函数在上单调递增，
则，解得，合乎题意；
当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，，解得或，舍去；
当时，即当时，函数在区间上单调递减，
此时，，解得，舍去.
综上所述，.