2024-2025学年北京市顺义一中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市顺义一中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在等差数列{an}中，a1=3，a7=6，则公差d的值为( )
A. 14B. 13C. 12D. 2
2.下列导数公式错误的是( )
A. (sinx)′=−csxB. (lnx)′=1xC. (1x)′=−1x2D. (ex)′=ex
3.已知等差数列{an}中，a3+a8=−6，Sn是数列{an}的前n项和，则S10的值为( )
A. −60B. −30C. 30D. 60
4.函数f(x)= x在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A. y=12x+12B. y=−x+2C. y=−12x+32D. y=x+1
5.一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：
①汽车在[0,t1]时间段内每一时刻的瞬时速度相同；
②汽车在[t1,t2]时间段内不断加速行驶；
③汽车在[t2,t3]时间段内不断减速行驶；
④汽车在t2时刻的瞬时速度小于t4时刻的瞬时速度．
其中正确结论的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6.已知x=1函数f(x)=x3−3ax+3的极小值点，那么函数f(x)的极大值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.若f(x)=sin2x−ax在[0,π6]上是单调递增的，则a的取值范围是( )
A. (−∞, 3)B. (−∞,1)C. (−∞,1]D. (−∞, 3]
8.设等比数列{an}的前n项和为Sn，则“对任意n∈N*，都有a1>0”是“数列{S2n−1}为递增数列”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知{an}是无穷等比数列，其前n项和为Sn，a1=2，S2=1.若对任意正整数n，都有Sn−(−1)n⋅A>0，则A的取值范围是( )
A. [−2,32)B. [−43,1)C. (−2,43)D. [−2,1)
10.已知函数f(x)=xlnx,x>0,xex,x≤0.有下列说法
①f(x)的递增区间是(−1,0)和(1e,+∞)；
②f(x)有三个零点；
③不等式f(x)≥−1e的解集为R；
④关于x的不等式f(x)≥kx−1(k∈R)恒成立，则k的最大值为1．
其中正确的是( )
A. ①②B. ①②③C. ②③④D. ①③④
二、填空题：本题共5小题，共40分。
11.2和6的等差中项是______．
12.“藻井”又称“绮井”“天井”是中国建筑中一种顶部装饰手法，将建筑物顶棚向上凹进如井状，四壁饰有藻饰花纹.藻井最上面的顶心放置明镜或者雕刻蟠龙，所以近代“藻井”也称为“龙井”．

为了更好的传播我国的建筑文化，北京建筑博物馆制作了“藻井冰箱贴”，“藻井”是由五片圆形四周带有“宫殿”的大小相同的强磁金属片重叠摆放构成，每个金属片上的宫殿个数成等比数列，冰箱贴的最下面一层为“明镜”没有宫殿，第二层有4个宫殿，第三层有8个宫殿，则冰箱贴的最上一层有______个宫殿，一套冰箱贴中共有______个宫殿．
13.已知一个物体在运动过程中，其位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y=t2+1，则物体在0s到1s这段时间里的平均速度为______m/s：物体在1s时的瞬时速度为______m/s．
14.已知函数f(x)=2xx2+4，f(x)的单调递增区间为______，则f(x)的极大值为______．
15.已知数列{an}满足：a1=a，an+1=an4+3an(n∈N*)有下列结论：
①∃a>0，使得数列{an}为等比数列；
②∃aan；
③∀a>2，∃M>2，使得an>M；
④∀a>0，∃n0∈N*，当n≥n0时，有an−2≤12025，
所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知{an}为等差数列，且a2=4，a6+a5=−6．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及Sn的最大值．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=13x3−x2−3x+9．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在[−3,4]上的最值．
18.(本小题12分)
两个数列{an}，{bn}，a1=b1=1，已知数列{an}为等比数列且a4=8，数列{bn}的前n项和为Sn，又满足_____在①Sn=n2(n≥2)；②b3=5；③bn−bn−1=2(n≥2)这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列{bn}唯一确定，并解答下列问题．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x2−2x)ex．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若g(x)=f(x)−a(a∈R)，讨论函数g(x)的零点个数．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+x22．
(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
(2)设函数F(x)=f(x)−ax(a>0)，求函数F(x)的单调区间；
(3)在(2)的条件下，若函数y=F(x)(x>1)的图象恒在直线y=−32的图象的上方，求实数a的最大值．
21.(本小题12分)
若有穷正整数数列A：a1=2，a2，a3，…，a2n(n≥3)满足如下两个性质，则称数列A为T数列：①a2i−1+a2i=2i(i=1,2,3,…,n)；②对任意的i∈{1,2,3,…,2n−1}，都存在正整数j≤i，使得ai+1=aj+aj+1+aj+2+…+aj+(i−j)．
(1)判断数列A：1，1，2，2，4，4和数列B：1，1，1，3，3，5是否为T数列，说明理由；
(2)已知数列A：a1=2，a2，a3，…，a2n(n≥3)是T数列．
(ⅰ)若n=4，试列举所有的T数列；
(ⅱ)证明：对任意的i∈{2,3,…,n−1}，a2i=3×2i−2与a2i+1=3×2i−2不能同时成立．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意，等差数列{an}中，a1=3，a7=6，
则有a7=a1+6d，即6=3+6d，解可得d=12．
故选：C．
由等差数列下标的性质计算即可．
本题考查等差数列的通项公式，涉及等差数列的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式．根据题意，依次计算选项函数的导数，比较即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A、(sinx)′=csx，故A错误；
对于B、(lnx)′=1x，故B正确；
对于C、(1x)′=x−1=(−1)×x−2=−1x2，故C正确；
对于D、(ex)′=ex，故D正确；
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：由等差数列{an}中，a3+a8=−6，
可得S10=10(a1+a10)2=10(a3+a8)2=−30．
故选：B．
由等差数列的求和公式结合下标的性质计算即可．
本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为f(x)= x，所以f′(x)=12 x，
所以f(1)=1，f′(1)=12，
所以所求切线方程为y−1=12(x−1)，即y=12x+12．
故选：A．
先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程即可．
本题考查导数的几何意义的应用，属基础题．
5.【答案】C
【解析】解：对于①，由图象可知，在[0,t1]时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，
则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在[0,t1]时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确；
对于②，由图象可知，在[t1,t2]时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，
则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确；
对于③，由图象可知，在[t2,t3]时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，
则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确；
对于④，由图象可知，汽车在t2时刻的瞬时速度为0，在[t3,t4]时间段内，位移不变，
则汽车在该时间段内静止不动故t4时刻的瞬时速度为0，故④错误，
所以正确结论的个数有3个．
故选：C．
根据斜率表示变化率及导数表示瞬时速度，从而由斜率的变化得出速度的变化情况，进而得出答案．
本题主要考查了函数的图像表示法，考查了瞬时变化率的定义，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由f(x)=x3−3ax+3，可得f′(x)=3x2−3a，
又因为x=1是函数f(x)的极小值点，
所以f′(1)=3−3a=0，解得a=1，
即f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，
则当x>1或x0，
则当−10对任意正整数n恒成立，则A−43[1+(12)n]max，
因为g(n)=−43[1+(12)n]在(0,+∞)上单调递增，
所以n→+∞时，g(n)0,xex,x≤0.
当x>0时，f′(x)=lnx+1，令f′(x)>0⇒x>1e；
当x0⇒x>−1，
所以f(x)的递增区间是(−1,0)和(1e,+∞)，故①正确；
对于②，当x→−∞时，f(x)=xex→0；当x=0时，f(x)=0；
当x=1e时，f(x)=−1e，又f(x)在(0,1e)上为递减函数，在(1e,+∞)为递增函数，
做出函数图象如下：
所以函数有两个零点，故②错误；
对于③，f(−1)=−e−1=−1e，结合图象可得不等式f(x)≥−1e的解集为R，故③正确；
对于④，当x>0时，不等式f(x)≥kx−1(k∈R)恒成立等价于xlnx≥kx−1(k∈R)即k≤1x+lnx恒成立，
令g(x)=1x+lnx，g′(x)=−1x2+1x=x−1x2,x>0，
令g′(x)=0可得x=1，所以当x∈(0,1)时，g′(x)0，g(x)为递增函数，
所以g(x)min=g(1)=1，即k≤1，
当x=0时，f(x)=xex=0≥−1(k∈R)不等式恒成立，
当xex+1x，
当x→−∞时，由简单复合函数的单调性可得ex+1x→0；当x→0时，ex+1x→−∞，此时k>0即可；
综上k的最大值为1，故④正确．
故选：D．
利用导数分析单调性可得①正确；由图象可得②错误；由极值结合函数的图象可得③正确；当x>0时，分离参数后构造函数求导，当x0得−2