2024-2025学年北京市顺义区第一中学高二下学期3月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市顺义区第一中学高二下学期3月月考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列an中，a1=3，a7=6则公差d的值为( )
A. 14B. 13C. 12D. 2
2.下列求导运算结果错误的是( )
A. 1x′=−1x2B. lnx′=1xC. ex′=exD. sinx′=−csx
3.已知等差数列an中，a3+a8=−6，Sn是数列an的前n项和，则S10的值为( )
A. −60B. −30C. 30D. 60
4.函数f(x)= x在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A. y=12x+12B. y=−x+2C. y=−12x+32D. y=x+1
5.一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：
①汽车在0,t1时间段内每一时刻的瞬时速度相同；
②汽车在t1,t2时间段内不断加速行驶；
③汽车在t2,t3时间段内不断减速行驶；
④汽车在t2时刻的瞬时速度小于t4时刻的瞬时速度．
其中正确结论的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6.已知x=1函数f(x)=x3−3ax+3的极小值点，那么函数f(x)的极大值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.若fx=sin2x−ax在0,π6上是单调递增的，则a的取值范围是( )
A. (−∞, 3)B. (−∞,1)C. (−∞,1]D. (−∞, 3]
8.设等比数列an的前n项和为Sn，则“对任意n∈N∗，都有a1>0”是“数列S2n−1为递增数列”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知an是无穷等比数列，其前n项和为Sn，a1=2，S2=1.若对任意正整数n，都有Sn−(−1)n⋅A>0，则A的取值范围是( )
A. −2,32B. −43,1C. −2,43D. [−2,1)
10.已知函数fx=xlnx,x>0;xex,x≤0.，有下列说法
①f(x)的递增区间是(−1,0)和1e,+∞；
②f(x)有三个零点；
③不等式f(x)≥−1e的解集为R；
④关于x的不等式f(x)≥kx−1(k∈R)恒成立，则k的最大值为1．
其中正确的是( )
A. ①②B. ①②③C. ②③④D. ①③④
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.2和6的等差中项是 ．
12.“藻井”又称“绮井”“天井”是中国建筑中一种顶部装饰手法，将建筑物顶棚向上凹进如井状，四壁饰有藻饰花纹.藻井最上面的顶心放置明镜或者雕刻蟠龙，所以近代“藻井”也称为“龙井”．
为了更好的传播我国的建筑文化，北京建筑博物馆制作了“藻井冰箱贴”，“藻井”是由五片圆形四周带有“宫殿”的大小相同的强磁金属片重叠摆放构成，每个金属片上的宫殿个数成等比数列，冰箱贴的最下面一层为“明镜”没有宫殿，第二层有4个宫殿，第三层有8个宫殿，则冰箱贴的最上一层有 个宫殿，一套冰箱贴中共有 个宫殿．
13.已知一个物体在运动过程中，其位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y=t2+1，则物体在0s到1s这段时间里的平均速度为 m/s：物体在1s时的瞬时速度为 m/s．
14.已知函数f(x)=2xx2+4，f(x)的单调递增区间为 ，则f(x)的极大值为
15.已知数列an满足：a1=a，an+1=an4+3ann∈N∗有下列结论：则下列关于an的判断正确的是
①∃a>0，使得数列an为等比数列；
②∃aan；
③∀a>2，∃M>2，使得an>M；
④∀a>0，∃n0∈N∗，当n≥n0时，有an−2≤12025；
所有正确结论的序号是
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知an为等差数列，且a2=4，a6+a5=−6．
(1)求an的通项公式；
(2)求an的前n项和Sn及Sn的最大值．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=13x3−x2−3x+9．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在−3,4上的最值．
18.(本小题12分)
两个数列an，bn，a1=b1=1，已知数列an为等比数列且a4=8，数列bn的前n项和为Sn，又满足______在①Sn=n2(n≥2)；②b3=5：③bn−bn−1=2(n≥2)这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列bn唯一确定，并解答下列问题．
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)记cn=an+bn，求数列cn的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−2xex．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若g(x)=f(x)−a(a∈R)，讨论函数g(x)的零点个数．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+x22，
(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
(2)设函数F(x)=f(x)−ax(a>0)，求函数F(x)的单调区间；
(3)在(2)的条件下，若函数y=F(x)(x>1)的图象恒在直线y=−32的图象的上方，求实数a的最大值．
21.(本小题12分)
若有穷正整数数列A：a1，a2，a3，…，a2n(n≥3)满足如下两个性质，则称数列A为T数列：①a2i−1+a2i=2i(i=1,2,3,…,n)；②对任意的i∈1,2,3,⋅⋅⋅,2n−1，都存在正整数j≤i，使得ai+1=aj+aj+1+aj+2+⋅⋅⋅+aj+(i−j)．
(1)判断数列A：1，1，2，2，4，4和数列B：1，1，1，3，3，5是否为T数列，说明理由；
(2)已知数列A：a1，a2，a3，…，a2n(n≥3)是T数列．
(ⅰ)若n=4，试列举所有的T数列；
(ⅱ)证明：对任意的i∈2,3,⋅⋅⋅,n−1，a2i=3×2i−2与a2i+1=3×2i−2不能同时成立．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.A
5.C
6.D
7.C
8.D
9.B
10.D
11.4
12.32，60
13.1，2
14.−2,2 ，12
15.①③④
16.(1)设数列an的公差为d，
则a2=a1+d=4，a6+a5=2a1+9d=−6，解得a1=6,d=−2，
则数列an的通项公式为an=−2n+8,n∈N∗．
(2)Sn=a1+ann2=6+8−2nn2=7−nn，n∈N∗，
因二次函数y=7−xx在x=72处取最大值，故Sn的最大值为S3=S4=12．

17.(1)对f(x)求导可得：f′(x)=x2−2x−3，
令f′(x)=0，则(x−3)(x+1)=0，解得x=3或x=−1；
f′(x)>0时，则(x−3)(x+1)>0，解得x3，
所以f(x)在(−∞,−1),3,+∞上单调递增；
当f′(x)1时，m(x)>0，即ℎ′(x)>0，
所以ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，
因为ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(1)=ln1+122+321=2，
所以a≤2，
即实数a的最大值为2．

21.(1)对于数列A，a1+a2=2，a3+a4=4，a5+a6=8，即数列A满足性质①，
又a2=a1，a3=a1+a2，a4=a3，a5=a3+a4，a6=a5，即数列A满足性质②，
所以数列A是T数列；
对于数列B，a6=5，a5=3a6，即数列B不满足性质②，
所以数列B不是T数列．
(2)(ⅰ)对任意的i∈{1,2,3,⋯,2n−1}，由性质①，a2i−1+a2i=2i，由性质②，ai+1≥ai，
当i=1时，a1+a2=2，而a1,a2为正整数，则a1=a2=1，
当i=2时，a3+a4=4，而a3,a4为正整数，则a3=a4=2，由(1)知，符合题意，
或a3=1,a4=3，此时a3=a2,a4=a1+a2+a3，满足性质②，符合题意；
当i=3时，a5+a6=8，a5,a6为正整数，
若a3=a4=2，则a5=2,a6=6或a5=3,a6=5或a5=a6=4，
当a5=2,a6=6时，a5=a4,a6=a3+a4+a5，符合题意；
当a5=3,a6=5时，a4=23=a5，不满足性质②；
当a5=a6=4时，由(1)知，符合题意，
若a3=1,a4=3，则a5=3,a6=5或a5=a6=4，
当a5=3,a6=5时，由(1)知，不符合题意；
当a5=a6=4时，a5=a3+a4,a6=a5，满足性质②，
因此T数列前6项为：1,1,2,2,2,6；1,1,2,2,4,4；1,1,1,3,4,4，
当i=4时，a7+a8=16，a7,a8为正整数，
若1,1,2,2,2,6，则a7=a8=8，满足性质②，a7=6,a8=10或a7=7,a8=9都不满足性质②；
若1,1,2,2,4,4，则a7=4,a8=12或a7=a8=8满足性质②，
a7=5,a8=11或a7=6,a8=10或a7=7,a8=9都不满足性质②；
若1,1,1,3,4,4，则a7=4,a8=12或a7=a8=8满足性质②，
a7=5,a8=11或a7=6,a8=10或a7=7,a8=9都不满足性质②，
所以n=4，所有的T数列为：1,1,2,2,2,6,8,8；1,1,2,2,4,4,4,12；1,1,2,2,4,4,8,8；
1,1,1,3,4,4,4,12；1,1,1,3,4,4,8,8．
(ⅱ)假设存在i∈{2,3,⋯,n−1}，使得a2i=a2i+1=3×2i−2，
由性质①，可得a2i+2=2i+1−a2i+1=2i+1−3×2i−2=5×2i−2，
由性质②，存在正整数j≤2i+1，使得a2i+2=aj+aj+1+aj+2+⋯+a2i+1，
由a2i+1