北京市顺义牛栏山第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

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2025.03
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据组合数的计算公式即可求解.
【详解】，化简得：，解得：或（舍去）.
故选：B
2. 甲、乙、丙、丁四名学生代表高二（1）班参加校运动会4×100米接力比赛，则他们的出场顺序的方案数可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据排列的意义可得选项.
【详解】任意四个同学都可以跑四个位置，所以可以安排顺序，
故选：A
3. 若，且，则等于（ ）
A. 4B. 2.4C. 0.96D. 0.24
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项分布的期望、方差公式求解.
【详解】因为，
所以，解得，
所以，
故选：D
4. 展开式中第四项的系数为80，则等于（ ）
A. 8B. 4C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据展开式求出第四项即可建立方程得解.
【详解】，
所以，解得，
故选：C
5. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 的展开式中共有6项.
B. 展开式中的第四项与的展开式中的第四项不同.
C. 的展开式中奇数项与偶数项的系数相等.
D. 的展开式中系数为有理数的项共有四项.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项展开式的性质及通项公式逐项判断即可.
【详解】由，可知展开式共7项，故A错误；
展开式中的第四项为，的展开式中的第四项为，相同，故B错误；
因为展开式的通项公式为，所以第一项的系数为8，第二项的系数为，不相等，故C错误；
展开式的通项公式为，当系数为有理数时，，共四项，故D正确.
故选：D
6. 一场元旦联欢晚会上有3个舞蹈节目，4个歌曲节目，2个语言类节目；则3个舞蹈类节目两两不相邻的节目安排种类数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用插空法求解即可.
【详解】先安排好除3个舞蹈节目外其余6个节目，再插空法安排3个舞蹈节目，
共有种不同的安排方法，
故选：A
7. 春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶、小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（ ）
A. 120B. 36C. 24D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据捆绑法求解.
【详解】爷爷、奶奶、小明三人相邻有种排法，
再把爷爷、奶奶、小明三人视作一个元素，与爸爸、妈妈全排列，有种排法，
根据分步乘法计数原理，可知共有种不同的坐法，
故选：B
8. 盒子中共有3个红球和5个黄球，从中随机取出3个球，则取出的红球多于黄球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥事件和的概率公式及古典概型求解.
【详解】取出的红球多于黄球的事件为：取出3红球，取出2红球1黄球两个互斥事件，
所以取出的红球多于黄球的概率，
故选：D
9. 北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为（ ）
A. 60B. 90C. 150D. 240
【答案】C
【解析】
【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求.
【详解】依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项目至少有一名同学先分组再排列，
5人分为：1,1,3，则有种；
5人分为：1,2,2，则有种，
所以一共有种方法；
故选：C.
10. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 点的轨迹为圆.
B. 点到原点的最短距离为1.
C. 点的轨迹所围成的图形的面积为6.
D. 点的轨迹是一个正方形.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，结合可知，画出图形可知P点轨迹是一个菱形，故AD错误；由点到直线的距离即可验证B；转换成面积的两倍来求即可判断C.
【详解】设P点坐标为，则由已知条件可得，整理得．
又因为，所以P点坐标对应轨迹方程为．
，且时，方程为；，且时，方程为；
，且时，方程为；，且时，方程为．
P点对应的轨迹如图所示：
，且，所以P点的轨迹为菱形．AD错误；
原点到：的距离即AB边上的高为，故B错误；
轨迹图形平行四边形，面积为，C正确．
故选：C．
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上.
11. 已知离散型随机变量的分布列如下表，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分布列性质利用概率之和为1得解.
【详解】由分布列性质可知，，
解得，
故答案为：
12. 若事件，相互独立，其中，，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件概率公式求解即可.
【详解】因为，所以，
由题意相互独立，
所以,
所以，
故答案为：
13. 二十四节气是中国古代用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的智慧结晶.春、夏、秋、冬每个季节各包含六个节气.李华同学计划从中随机选取2个节气开展知识讲座，则两个节气恰好在同一季节的概率为________；若已知选取的2个节气均属于春季，则其中包含“立春”的概率为________.（“立春”是春季的六个节气之一.）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据排列组合计算个数，即可结合古典概型的概率公式求解.
【详解】从24个节气中任选2个节气的所有情况有种，
则两个节气恰好在同一季节的情况有,
故两个节气恰好在同一季节的概率为，
若已知选取的2个节气均属于春季有种情况，则其中包含“立春”的概率为，
故答案为：，
14. 的展开式中含项的系数为________；展开式中各项的系数和为________.
【答案】 ①. 12 ②. 81
【解析】
【分析】根据组合的知识求指定项的系数，赋值法求各项系数和.
【详解】根据组合的知识，4个因式中选出2个提供，剩余两个因式选一个提供，剩下的因式提供，即可得出，
故其系数为，
令，可得各项系数和为；
故答案为：12；81
15. 若曲线上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，下列方程的曲线有“自公切线”的是________.
①；②；③；④.
【答案】②④
【解析】
【分析】根据圆的性质，结合图形关系即可求解①④，根据三角函数的图象以及性质即可求解②,利用导数求解斜率即可求解③.
【详解】，
当，则，当，则，
表示的图形如下（实线部分），所以①没有“自公切线”.
函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，该函数的一条自公切线为，故此函数有“自公切线”，即②有“自公切线”；
③，即，则 ，
假设有“自公切线”，设切点分别为，，且，
所以切线的斜率，解得：，
则，故，
化简得：，无解，所以③没有“自公切线”.
④，
当，则，当，则，
表示的图形如下（实线部分），由于两圆相交，有公切线，所以④有“自公切线”.
故答案为：②④
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知二项式的展开式中，各项二项式系数之和为64.
（1）求的值及展开式中的常数项；
（2）求展开式中所有项的系数和；
（3）求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】（1），常数项为60
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）根据的二项式系数和为即可得，求出二项式展开式的通项，令的指数为零即可求解；
（2）利用赋值法即可求解，
（3）根据二项式系数的单调性即可求解..
【小问1详解】
由题意可得解得，
所以该二项式为，
则通项公式为：．
令，解得，
所以该二项式的展开式中的常数项为．
【小问2详解】
取，故展开式中所有项的系数和，
【小问3详解】
由于，故展开式中二项式系数最大为，故二项式系数最大的项为
．
17. “猜灯谜”是我国传统节日元宵节的特色活动.某公司组织猜灯谜比赛，根据谜底不同分为“字谜”、“事谜”、“物谜”三种类型，每个人每类灯谜只能猜一个.小张猜对“字谜”、“事谜”、“物谜”的概率分别为、、，假设每类灯谜猜对与否互不影响.
（1）求小张恰好猜对一类灯谜的概率；（只列式不化简）
（2）求小张至少猜对一个灯谜的概率.（只列式不化简）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据相互独立事件的概率公式计算即可;
(2)根据相互独立事件的概率公式计及对立事件概率公式计算即可.
【小问1详解】
设小张猜对“字谜”、“事谜”、"物谜“分别为事件，
则，且事件相互独立.
设小张恰好猜对一类灯谜为事件D，
则
.
【小问2详解】
(2)设小张至少猜对一个灯谜为事件E，
则.
18. 某高中为了解学生日常运动情况，从该校学生中随机抽取100名学生作为样本，统计他们一周之内总运动时间，将结果按下图所示分组，得到样本学生一周内总运动时间的频率分布直方图，假设以频率估计概率.
（1）求的值，并计算样本中学生一周内总运动时间在小时的人数；
（2）从该校学生中随机抽取5人，其中一周内运动总时间在小时的人数记为，求；（只列式不化简）
（3）记为样本中所有学生一周内总运动时间的平均值，从样本中随机挑选一名学生，记为该名学生一周内总运动时间，比较与的大小.（结论不要求证明）
【答案】（1）0.04，40
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1求，根据频率求出运动时间在小时的人数；
（2）利用二项分布求解；
（3）根据样本平均值的意义及期望的意义得解.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，，
解得，
样本中学生一周内总运动时间在小时的频率为，
所以人数为.
【小问2详解】
若用样本频率来估计总体概率，
则学生一周内总运动时间落在区间[4.6)的概率，
今从该校学生中随机抽取5人，记其中一周总运动时间在[4,6)的人数为
则 ,
所以
.
【小问3详解】
因为为样本中所有学生一周内总运动时间平均值，
若从这 100 人当中再随机抽取1人，记其一周运动时间为 Y，
则由于是从同一个样本中取值，所以.
19. 小型热带鱼具有颜色好看，小巧耐活，繁殖能力强等特点，深受大众喜爱.张先生在家里的鱼缸中养殖了3条孔雀鱼、5条虎皮鱼和7条斑马鱼.
（1）从鱼缸中随机捞出2条鱼，求两条鱼种类不同的概率；
（2）从鱼缸中随机捞出2条鱼，记其中孔雀鱼数量为，虎皮鱼数量为，设，求的分布列及其期望；
（3）若张先生又从市场购买了孔雀鱼、虎皮鱼和斑马鱼各3条并投入鱼缸，此时从鱼缸中随机捞出2条鱼，记其中孔雀鱼数量减去虎皮鱼数量之差为，比较（2）中与的大小（结论不要求证明）.
【答案】（1）
（2）期望为，分布列见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）求解同类的概率，即可利用对立事件的概率公式求解，
（2）分别求解对应的概率，即可得分布列，即可利用期望公式求解，
（3）求解分布列，计算期望即可比较作答.
【小问1详解】
鱼缸中一共有15条鱼，从中任选两条，总情况有,
故从鱼缸中随机捞出2条鱼，两条鱼种类相同的概率为，
故两条鱼种类不同的概率为
【小问2详解】
其中孔雀鱼数量为，虎皮鱼数量为，
当时，则或，此时概率,
当时，则，此时概率,
当时，则，此时概率,
当时，则，此时概率,
当时，则，此时概率,
故的分布列为
【小问3详解】
记其中孔雀鱼数量为，虎皮鱼数量为，设，
则当时，则或，此时概率,
当时，则，此时概率,
当时，则，此时概率,
当时，则，此时概率,
当时，则，此时概率,
故的分布列为
，
故
故
20. 已知椭圆，点.
（1）求椭圆的离心率和短轴长；
（2）设直线与椭圆有两个不同的交点，，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）离心率为，短轴长为，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，进而可得，根据离心率以及短轴的定义即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理形式求解出中点的坐标，再根据位置关系得到，由此可求得关于的表示，结合求解出的取值范围.
【小问1详解】
依题意得，故，进而
故离心率为，短轴长为，
【小问2详解】
由得.
因为直线与椭圆有两个交点，
所以，即（*），
设，，则，
所以，
所以线段的中点．易知,
直线的斜率，
由，得，所以，解得
将代入到（*）中，得，即，且
解得，
综上所述，实数的取值范围是．

21. 如图，设是由个实数组成的2行列数表，其中表示数表中第行第列的实数，满足：，且.
记为所有这样的数表组成的集合.对于任意，记，；记为的一个子集，定义“变换”为：对于任意，若，则令，不变；若，则令，不变.数表A经过“变换”所得新数表记为.
（1）对如下数表A，直接写出一个集合，使其满足；
（2）证明：对于任意，存在集合满足；
（3）证明：对于任意，存在集合满足且.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对于 1，2，3 的每个子集定义的变换进行分析，可得到符合题意得集合；
（2）通过各列中较大的数在第一行的列选中作为子集的元素，可以实现题设要求，进而证明；
（3）每一列数对为(0,4),(4,0),(1,3),(3,1),(1,2),(2,1)的情况，选取较大的数在第一行的列的列数加入子集，其余的(2,2)类型的列的总数分奇偶数对分，即可得到符合题意的子集，从而证明了结论.
【小问1详解】
当 时满足条件，变换后的数表为
S = 2 + 4 + 0 = 6，T = 0 + 0 + 0 = 0，S + T = 6，符合题意；
当时,变换后数表为
，符合题意；
当时,变换后的数表为
，不符合题意；
当时,变换后的数表为
，不符合题意；
当时,变换后的数表为
，不符合题意；
当时,变换后的数表为
，符合题意；
当时,变换后的数表为
，不符合题意；
当时,变换后的数表为
，不符合题意；
以上任意符合题意的集合都可以作为集合，即.
【小问2详解】
证明：因为，且.
,
定义,
即将列中第一行的数大于等于第二行的数的列的列数构成集合，
则变换后每一列中只剩一个不超过2的数，，符合题意.
这就证明了对于任意，存在集合满足；
【小问3详解】
每一列的数对可能为(0,4),(4,0),(1,3),(3,1),(2,2),(1,2),(2,1),
对于(0,4),(1,3),(1,2)的列的列数不属于，对于(4,0),(3,1),(2,1)的列的列数属于，这样的变换后相应的这些列中的数字都变成0或者1.
如果(2,2)的列如果有偶数列，则随意将其中的列的列数加入，
这些列中有第一行的数字变为0，第二行的数字还是2，另外的列的列数不在中的列第一行的数字为2，第二行的数字为0，
则
如果(2,2)的列如果有奇数列，则随意将其中的列的列数加入，
这些列中有第一行的数字变为0，第二行的数字还是2，另外的列的列数不在中的列第一行的数字为2，第二行的数字为0，
则,符合题意，
这样就证明了对于任意，存在集合满足且.
0
1
2
3
0
1
2
0
1
2
…
…
2
4
0
2
0
4
2
4
0
0
0
0
0
0
0
2
0
4
2
0
0
0
0
4
0
4
0
2
0
4
0
0
0
2
0
0
0
4
0
2
0
0
2
0
0
0
0
0
2
4
0
0
0
4