人教版数学八下第17章勾股定理单元测试（能力提升卷）（2份，原卷版+解析版）

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第17章勾股定理单元测试（能力提升卷，八下人教）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•二道区校级期末）下列线段，不能组成直角三角形的是（　　）A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a＝1，b＝，c＝ C．a＝1，b＝，c＝ D．a＝2，b＝4，c＝【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．【解析 】A、62+82＝100＝102，能组成直角三角形，不符合题意；B、12+（）2＝（）2，能组成直角三角形，不符合题意；C、12+（）2＝（）2，能组成直角三角形，不符合题意；D、22+（）2≠42，不能组成直角三角形，符合题意．故选：D．2．（2022秋•平昌县期末）在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（　　）A．3、4、5 B．6、8、10 C．5、12、13 D．3、5、7【分析】欲判断三个数是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解析 】A、32+42＝52，是勾股数，不符合题意；B、62+82＝102，是勾股数，不符合题意；C、52+122＝132，是勾股数，不符合题意；D、32+52≠72，不是勾股数，符合题意．故选：D．3．（2022秋•朝阳区校级期末）在△ABC中，已知AB＝4，AC＝3，，则△ABC的面积为（　　）A． B． C．6 D．【分析】由勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，根据三角形的面积可得出答案．【解析 】∵AB＝4，AC＝3，BC＝，∴AC2+BC2＝16，AB2＝16，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC的面积为＝．故选：D．4．（2022秋•李沧区期末）如果将直角三角形的三条边长同时扩大5倍，那么得到的三角形是（　　）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定【分析】利用勾股定理，勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【解析 】设原直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则a2+b2＝c2，∵三条边长同时扩大5倍为5a，5b，5c，∴（5a）2+（5b）2＝25a2+25b2＝25（a2+b2）＝25c2，∴（5c）2＝25c2，∴（5a）2+（5b）2＝（5c）2，∴如果将直角三角形的三条边长同时扩大5倍，那么得到的三角形是直角三角形．故选：C．5．（2022秋•卧龙区校级期末）勾股定理在（九章算术）中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即c＝（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股“为3，则“弦”最接近的整数是（　　）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据c＝（a为勾，b为股，c为弦），“勾”为2，“股“为3，求出弦的长，即可求解．【解析 】c＝（a为勾，b为股，c为弦），“勾”为2，“股“为3，则“弦”＝＝，∵9＜13＜16，且13更接近16，∴最接近4，即“弦”最接近的整数是4，故选：B．6．（2022秋•新泰市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（　　）A． B．3 C． D．2【分析】作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．【解析 】作CD⊥AB于点D，如右图所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵，∴，解得CD＝2.4，故选：C．7．（2022秋•渠县期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（　　）A．8 B．9 C．10 D．12【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．【解析 】由勾股定理，得正方形E的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积，正方形E的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积，则正方形B的面积＝18﹣6﹣4＝8，故选：A．8．（2021秋•宁德期中）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米【分析】根据题意分别求出AC、BC，再根据勾股定理计算，得到答案．【解析 】如图，由题意可知，BC＝8米，AC＝10﹣4＝6（米），由勾股定理得：AB＝＝10（米），则小鸟至少要飞10米，故选：C．9．（2022秋•二道区校级期末）已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【分析】由勾股定理求得OB，进而得OC，AD，再判断结论的正误．【解析 】根据题意得，OA＝2，AB＝3，∠OAB＝90°，∴OB＝＝，故②正确；∵OC＝OB，∴OC＝，∴点C对应的数是，故③错误，①错误；∵OD＝OC＝，∴AD＝2+，∴5＜AD＜6，故④正确；故选：D．10．（2022•苏州模拟）如图，以直角三角形的三边a，b，c为边，向外作正方形，等腰直角三角形，等边三角形和半圆，上述四种情况的面积关系满足S1+S2＝S3的图形有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据勾股定理得到三角形三边a、b、c的关系，根据等边三角形、半圆形、等腰直角三角形及正方形的面积求法，逐一验证S1+S2＝S3是否成立，即可得出答案．【解析 】由勾股定理得a2+b2＝c2，第一个图形中，，，，满足S1+S2＝S3；第二个图形中，，，，满足S1+S2＝S3；第三个图形中，，，，满足S1+S2＝S3；第四个图形中，，，满足S1+S2＝S3；综上所述，满足题意的图形有4个，故选：D．二．填空题（共6小题）11．（2022秋•小店区校级期末）如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为 　7　．【分析】根据正方形的面积公式求出边长，根据勾股定理求出正方形C的边长，根据正方形的面积公式计算．【解析 】∵正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，∴正方形A的边长为，正方形B的边长为2，∴正方形C的边长＝＝，∴正方形C的面积为7，故答案为：7．12．（2022秋•河西区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝8，BC＝2，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，则CD的长为 　4　．【分析】延长AB、DC交于点E，利用等角对等边得AD＝DE，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．【解析 】延长AB、DC交于点E，∵∠A＝30°，∠D＝120°，∴∠E＝30°，∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，在Rt△BCE中，CE＝2BC＝4，∴CD＝DE﹣CE＝8﹣4＝4，故答案为：4．13．（2022秋•唐河县期末）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了 　2　cm．【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．【解析 】Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；故橡皮筋被拉长了2cm．故答案为：2．14．（2022秋•顺义区期末）如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB（∠ACB＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB．某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 　4　米．【分析】由勾股定理求出AB＝10米，即可解决问题．【解析 】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6米，BC＝8米，∴AB＝＝＝10（米），∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（米），∴他们只为少走4米的路，故答案为：4．15．（2022秋•卧龙区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝　20　．【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可．【解析 】∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．16．（2022秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　680　元．【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．【解析 】由勾股定理得AB＝＝＝12（m），则地毯总长为12+5＝17（m），则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．故答案为：680．三．解答题（共8小题）17．（2022秋•沙坪坝区期末）为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳动、认识劳动，从而培养尊重劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如图所示的四边形土地ABCD．经测量，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，DA＝12m，请计算该四边形土地的面积．【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形，从而用求和的方法求面积．【解析 】连接AC，由勾股定理得：AC＝＝5（m），∵AC2+DA2＝25+144，CD2＝169，∴AC2+AD2＝CD2，∴∠CAD＝90°，四边形土地的面积＝SRt△ABC+SRt△ACD＝AB•BC+AC•DA＝（3×4+5×12）＝36（m2），故该四边形土地的面积为36m2．18．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D，点E在线段BD上，且EA＝EB．已知BD＝16，AD＝12，AC＝15．（1）求线段DE的长；（2）求证：∠BAC＝90°．【分析】（1）设BE＝AE＝x，则ED＝16﹣x，根据垂直定义可得∠ADE＝∠ADC＝90°，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理进行计算可求出x的长，从而求出DE的长；（2）先在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用勾股定理分别求出AB，CD的长，从而求出BC的长，然后利用勾股定理的逆定理进行计算即可解答．【解答】（1）解：设BE＝AE＝x，∵BD＝16，∴ED＝BD﹣BE＝16﹣x，∵AD⊥BC，∴∠ADE＝∠ADC＝90°，在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，∴x2＝122+（16﹣x）2，解得：x＝12.5，∴DE＝16﹣x＝3.5，∴DE的长为3.5；（2）证明：在Rt△ABD中，AD＝12，BD＝16，∴AB＝＝＝20，在Rt△ADC中，AC＝15，AD＝12，∴CD＝＝＝9，∴BC＝BD+CD＝25，∵AB2+AC2＝202+152＝625，BC2＝252＝625，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠BAC＝90°．19．（2022秋•临汾期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．（1）线段AB的长度是　　，线段CD的长度是　2　．（2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．【分析】（1）根据勾股定理，可以求得AB和CD的长；（2）根据勾股定理的逆定理可以判断以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形．【解析 】（1）由图可得，AB＝＝，CD＝＝2，故答案为：，2；（2）以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，理由：∵AB＝，CD＝2，EF＝，∴CD2+EF2＝（2）2+（）2＝8+5＝13＝AB2，∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形．20．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）根据题意列式计算即可得到结论．【解析 】（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米，∴（米），∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米），∴（米），∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米，答：此人需向右移动的距离为（）米．（2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米），且此人以0.5米每秒的速度收绳，∴收绳时间，答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．21．（2022秋•榆树市期末）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可求∠ACB＝90°，再根据三角形面积公式即可求解；（2）先根据勾股定理求出BD，进一步求得一辆货车从C处经过D点到B处的路程．【解析 】（1）∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，152+202＝252，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，∴CD＝AC×BC÷÷AB＝12（km）．故修建的公路CD的长是12km；（2）在Rt△BDC中，BD＝＝16（km），一辆货车从C处经过D点到B处的路程＝CD+BD＝12+16＝28（km）．故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．22．（2022秋•温江区校级期中）细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题：OA22＝（）2+1＝2，S1＝（S1是Rt△OA1A2的面积）；OA32＝（）2+1＝3，S2＝（S2是Rt△OA2A3的面积）；OA42＝（）2+1＝4，S3＝（S3是Rt△OA3A4的面积）；……（1）请用含有n（n为正整数）的式子填空：OAn2＝　n　，Sn＝　　；（2）求+++...+的值．【分析】（1）认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可．（2）化简整理后代入求值．【解析 】（1）由已知条件可知OAn2＝n，Sn＝；故答案为：n；；（2）原式＝++…+，＝++…+＝2×[++…+]＝2×[﹣+﹣+…+﹣）＝2×（﹣1）＝2﹣2．23．（2022秋•沈丘县期末）如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，P，Q分别是△ABC的边上的两动点，点P从点B开始沿B→A方向运动，速度为每秒1cm，到达A点后停止；点Q从A开始沿A→C→B的方向运动，速度为每秒2cm，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为ts．（1）求BC的长度；（2）当t为何值时，点P恰好在边BC的垂直平分线上？并求出此时CQ的长；（3）当点Q在边BC上运动时，直接写出△ACQ为等腰三角形时t的值．【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；（2）可得PC＝PA＝t，PB＝8﹣t，则62+（8﹣t）2＝t2，解出t＝．可求出CQ；（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ＝BC、CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．【解析 】（1）∵∠B＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm∴BC＝＝10（cm）．（2）∵点P在边BC的垂直平分线上，∴PC＝PB＝t，PC＝14﹣t，在Rt△BPC中，BC2+BP2＝CP2，即122+（16﹣t）2＝t2解得：t＝．此时，点Q在边AC上，CQ＝（cm）；（3）①当AC＝CQ＝6时，∴t＝＝6秒．②当AQ'＝CQ'时，∴∠Q'CA＝∠Q'AC，∵∠BAC＝90°，∴∠B＝∠BAQ'，∴BQ'＝AQ'，∴AQ'＝BQ'＝CQ'＝BC＝5cm，∴t＝＝秒．③当AQ''＝AC＝6时，过A点作AH⊥BC于点H，∴AH＝＝，∴CH＝＝．∴CQ''＝2CH＝，∴t＝＝秒．综上所述：当t为6秒或秒或秒时，△BCQ为等腰三角形．