期末典例专项练习一：因数和倍数基本题型-2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列（解析版）人教版

2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列之

期末典例专项练习一：因数和倍数基本题型（解析版）

1．如果a＝2×3×5，请写出a的所有因数(          )。

【答案】1、2、3、5、6、10、15、30

【分析】先将a的值计算出来，根据一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1，然后根据因数的知识进行列举即可。

【详解】2×3×5

＝6×5

＝30

30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30；

也就是a的所有因数是：1、2、3、5、6、10、15、30。

【点睛】此题考查了求一个数的因数的求法，关键能够界定范围再找。

2．如果两位数“3□”是2的倍数，也是4的倍数，□里的数是(        )或(        )。如果两位数“7□”是3的倍数，也是5的倍数，□里的数是(        )。

【答案】     2     6     5

【分析】（1）因为该两位数是2的倍数，也是4的倍数，因为4是2的倍数，满足是4的倍数即可；

（2）根据是3的倍数，也是5的倍数：该两位数一定是3×5＝15的倍数，进而得出答案。

【详解】如果两位数“3□”是2的倍数，也是4的倍数，□里的数是2或6。如果两位数“7□”是3的倍数，也是5的倍数，□里的数是5。

【点睛】解决此题应根据：（1）能被4整除的数的特征；（2）能被3和5整除数的特征；进行解答即可。

3．两个质数的和是10，积是21，它们分别是(        )。

【答案】3和7

【分析】由于这两个质数积为21，所以21是这两个数的最小公倍数，因此将21分解质因数即得这两个数是多少。

【详解】21＝3×7

3＋7＝10

这两个质数分别是3和7

【点睛】如果两个数互质，那么这两个数的最小公倍数就是这两个数的乘积。

4．一个数的最大因数和最小倍数都是18，这个数是(        )。

【答案】18

【分析】一个数的因数和倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；

一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。

【详解】根据分析得，一个数的最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身，所以这个数是18。

【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数的因数和倍数的方法。

5．一个三位数，百位数字是最小的合数，十位数字既是偶数又是质数，个位数字既不是质数，也不是合数，这个数是(        )。

【答案】421

【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此确定各个数位上的数字，写出这个三位数即可。

【详解】最小的合数是4，既是偶数又是质数的是2，既不是质数，也不是合数的是1，这个数是421。

【点睛】关键是掌握质数、合数的分类标准，2是质数中唯一的偶数。

6．在0、7、8、4中选3个数字组成三位数，使它成为2的倍数，最大是(        )；成为5的倍数，最小是(        )；成为2、3、5的公倍数，最大是(        )。

【答案】     874     470     870

【分析】一个数的个位数字是0、2、4、6、8的数就是2的倍数，要使这个三位数是2的倍数且最大则让百位、十位和个位的数字最大即可，也就是874；一个数的个位数字是0或5的数字是5的倍数，则这个三位数的个位数字一定是0，然后让百位和十位上的数字最小即可，也就是470；要使这个三位数同时是2、3、5的倍数，则这个三位数的个位数字一定是0，且百位和十位上的数字之和是3的倍数，也就是这个数字是870。

【详解】由分析可知：

在0、7、8、4中选3个数字组成三位数，使它成为2的倍数，最大是874；成为5的倍数，最小是470；成为2、3、5的公倍数，最大是870。

【点睛】本题考查2、3、5的数特征，明确它们的特征是解题的关键。

7．在45、70、36、37、102、89、240、51中。

(1)(                )是质数，(                )是合数。

(2)(                )既是2的倍数，又是3的倍数；(                )既是3的倍数，又是5的倍数。

【答案】(1)     37、89     45、70、36、102、240、51

(2)     36、102、240     45、240

【分析】（1）质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。

（2）2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数；由此解答。

【详解】（1）37、89是质数，45、70、36、102、240、51是合数。

（2）2的倍数有：70、36、102、240；

3的倍数有：45、36、102、240、51；

5的倍数有：45、70、240；

所以36、102、240既是2的倍数，又是3的倍数；45、240既是3的倍数，又是5的倍数。

【点睛】此题主要考查质数与合数的意义以及2、3、5的倍数的特征。

8．读一读下面的资料，再用加横线部分文字所表示的数填空：

(1)质数有(        )，偶数有(        )。

(2)(        )是(        )的因数（每个括号里只填一个数）。

(3)既是2的倍数又是3的倍数的有(        )。

【答案】(1)     3、5、7     6、18

(2)     3     6

(3)6、18

【分析】（1）一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数；一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数；在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；

（2）根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数；

（3）2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。

【详解】（1）阴影部分的的数字有：3、5、6、7、18，

质数有3、5、7；

偶数有：6、18；

（2）3×6＝18

2×3＝6

所以3和6是18的因数，3是6的因数；

（3）2的倍数有：6、18，

6÷3＝2

18÷3＝6

6和18也都是3的倍数；所以既是2的倍数又是3的倍数的有6、18。

【点睛】本题考查了质数、偶数、因数的认识和求法，以及2和3的倍数特征和应用。

9．一个数的因数的个数是(        )，倍数的个数是(        )。

【答案】     有限的     无限的

【分析】根据因数和倍数的概念和特征，直接填空即可。

【详解】如果a÷b＝c（a、b、c均为正整数），那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。一个数的最小因数是1，最大因数是本身。一个数的最小倍数是本身，没有最大倍数。所以，一个数的因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。

【点睛】本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数的概念是解题的关键。

10．511至少加上(        )才是3的倍数，至少减去(        )才是2和5的倍数。

【答案】     2     1

【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；同时是2和5的倍数特征：个位是0。据此解答。

【详解】5＋1＋1＝7

7至少要加上2才是3的倍数，

所以511至少再加上2，才是3的倍数。

根据2和5的倍数特征，510是最接近511的，且同时是2和5的倍数特征，

511－510＝1

所以511至少减去 1才是2和5的倍数。

【点睛】此题主要根据能同时被2、3、5整除的数的特征解决问题。

11．一个9位数，最高位上是最小的质数，百万位上是最小的合数，万位上是最大的一位数﹐其余都是0，这个数写作(        )，省略亿后的尾数约是(        )。

【答案】     204090000     2亿

【分析】最小的质数是2，最小的合数是4，最大的一位数是9，再根据整数的写法写出该数即可；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。

【详解】由分析可得：

204090000≈2亿

所以，一个9位数，最高位上是最小的质数，百万位上是最小的合数，万位上是最大的一位数﹐其余都是0，这个数写作204090000，省略亿后的尾数约是2亿。

【点睛】正确理解合数、质数的意义，注意：求得的近似数与原数不相等，用约等于号≈连接。

12．两个相邻的偶数中，设较小的数为n，则较大的数为(        )；如果这两个偶数的和为118，那么这两个偶数分别是(        )和(        )。

【答案】     n＋2     58     60

【分析】相邻的两个偶数之间的差为2，较小的数为n，则较大的数为（n＋2）；再根据较小的数＋较大的数＝118，据此列方程解答即可。

【详解】两个相邻的偶数中，设较小的数为n，则较大的数为（n＋2）；

n＋（n＋2）＝118

解：2n＋2＝118

2n＋2－2＝118－2

2n＝116

2n÷2＝116÷2

n＝58

58＋2＝60

则这两个偶数分别是58和60。

【点睛】本题考查用字母表示数，明确等量关系是解题的关键。

13．在2、10、7、9、15、570、150中，质数有(        )，奇数有(        )，同时是2、3、5的倍数的数有(        )。

【答案】     2、7     7、9、15     570、150

【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；

奇数指不能被2整除的整数；

同时是2、3、5的倍数的数，即这个数个位上的数是0，并且每一位上的数字之和能被3整除。

【详解】2＝1×2，7＝1×7，即质数有2、7。

7÷2＝3……1；9÷2＝4……1，15÷2＝7……1，即奇数有：7、9、15。

570、150个位上的数都是0，5＋7＋0＝12，12÷3＝4；1＋5＋0＝6，6÷3＝2，即同时是2、3、5的倍数的数有570、150。

【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握质数和奇数的特点，以及2、3、5的倍数的特征。

14．奇思爸爸银行卡的密码是由6个数字组成的，分别按a、b、c、0、6、5的顺序排列，其中a是最小的合数，b是最大的一位数，c是最小的质数。奇思爸爸银行卡的密码是(        )。

【答案】492065

【分析】最小的合数是4，所以a＝4，最大的一位数是9，所以b＝9，最小的质数是2，所以c＝2，据此答题即可。

【详解】由分析可知：奇思爸爸银行卡的密码是492065。

【点睛】明确最小的合数是4，最小的质数是2，最大的一位数是9是解题的关键。

15．布袋里有9张卡片分别写着1～9，摸出的卡片上如果是质数表示甲赢，如果是合数表示乙赢，这个规则是(        )的。（填公平或不公平）

【答案】公平

【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。据此分别找出1～9里面质数和合数的个数，如果质数的个数多，则甲赢的可能性大，如果合数的个数多，则乙赢的可能性大，如果质数和合数的个数相同，则甲乙赢的可能性相等。

【详解】在1～9中，2、3、5、7是质数，一共4个，4、6、8、9是合数，一共4个，所以甲乙赢的可能性相等，这个规则是公平的。

【点睛】本题考查游戏的公平性以及可能性大小的判断，理解不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，数量相同，可能性也相同。

16．在31~40的自然数中，偶数有(      )个，五个连续的合数是(      )、(      )、(      )、(      )、(      )。

【答案】     5     32     33     34

     35     36

【分析】偶数是指：在自然数中，能被2整除的数，一般是0、2、4、6、8结尾的数；一个数除了1和它本身外，还有别的因数的，这样的数叫做合数；据此解答。

【详解】在31~40的自然数中，偶数有：32、34、36、38、40，共5个；合数有：32、33、34、35、36、38、39、40；其中连续的五个合数是：32、33、34、35、36。

【点睛】此题考查了偶数与合数的认识，关键能够掌握概念。

17．为了在蚂蚁森林种一棵白杨树，小乐坚持每天跑步锻炼，他平均每天跑步产生的能量（单位：克）是一个同时为2、3、5的倍数的最小三位数，那么小乐平均每天跑步产生(        )克能量。

【答案】120

【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数。同时是2、3和5的倍数特征：个位是0，且各个数位上的数字和是3的倍数。

【详解】同时为2、3、5的倍数的最小三位数，个位上是0，要使数最小，则百位上最小为1，

3－1＝2

所以要使这个数是3的倍数，则十位上是2，所以这个同时为2、3、5的倍数的最小三位数是120，那么小乐平均每天跑步产生120克能量。

【点睛】熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解决此题的关键。

18．张叔叔的快递取件码是由ASDFG五个数字组成，其中A是最大的一位数，S比最小的质数大2，D同时是一位数中最大的偶数，F是最小的合数，G是一位数中最大的奇数。这个取件码是(        )。

【答案】94849

【分析】根据质数与合数、奇数与偶数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。一个自然数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。一个数的最小因数是1，最大因数是它自己，一个数最小的倍数是它自己。能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数的数叫做奇数。1既不是质数也不是合数，1是最小的奇数；2是最小的质数，4是最小的合数，由此解答。

【详解】A是最大的一位数，A是9

S比最小的质数大2，S是2＋2＝4

D同时是一位数中最大的偶数，D是8

F是最小的合数，F是4

G是一位数中最大的奇数，G是9

这个取件码是94849

【点睛】此题主要考查质数与合数、奇数与偶数、因数与倍数的概念及意义。

19．一个数的亿位和千万位上的数字都是一位数中最大的质数，百万位上的数字是最小的质数，其余各位上的数字都是0，这个数写作(        )，读作(        )，省略亿位后面的尾数约是(        )亿。

【答案】     772000000     七亿七千二百万     8

【分析】如果一个数除了1和它本身，没有别的因数，这个数叫做质数；一位数中，最大的质数是7，最小的质数是2。根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，据此可写出此数；根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位一个0或连续几个0都只读一个零，据此可读出此数；省略“亿”位后面的尾数求近似数，根据千万位上数字的大小来确定用“四舍”法、还是用“五入”法。据此进行解答。

【详解】这个数写作772000000，读作七亿七千二百万，省略亿位后面的尾数约是8亿。

【点睛】本题主要考查质数的定义，大数的读法和写法，以及整数的近似数。

20．一个数，亿位上是最小的质数，万位上的数是最小的合数，千位上的数既不是质数也不是合数，百位上的数与万位上的数和为11，其余各个位上的数字都是0，这个数是(        )，读作(        )，省略“亿”位后面的尾数约是(        )亿。

【答案】     200041700     二亿零四万一千七百     2

【分析】根据质数和合数的定义，最小的质数是2，最小的合数是4，1既不是质数也不是合数；用11减去4求出百位上的数；从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；再按整数的读法：亿级和万级都按照个级的读法去读，读完亿级或万级的数，要在后面加上“亿”或“万”字；每级末尾的“0”都不读，其他各位上无论有一个“0”或者连续几个“0”，都只读一个“零”。省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。

【详解】根据分析得，这个数亿位上的数是2，万位上的数是4，千位上的数是1，百位上的数是11－4＝7，这个数是200041700，读作二亿零四万一千七百，省略“亿”位后面的尾数约是2亿。

【点睛】此题主要考查质数和合数的定义、整数的组成、整数的读法以及求近似数。

21．在（    ）里填上“一定”、“不可能”或“可能”。

(1)a是质数，则(        )是质数；

(2)两位数乘两位数时，2□×3□的积(        )是四位数。

【答案】(1)不可能

(2)可能

【分析】（1）质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。a是质数时，

当a是2时，a＋7＝9，9是合数；质数除了2以外都是奇数，当a为不是2的质数时，因为7是奇数，根据“奇数十奇数＝偶数”可知a＋7是大于7的偶数，即和是合数，因此a＋7不可能是质数。

（2）当□里的数比较小时，比如□里都是1时，则积是三位数，当□里的数比较大时，比如□里都是9时，则积是四位数，所以2□×3□的积可能是四位数。

【详解】（1）根据分析得，a是质数，则不可能是质数；

（2）举例说明，当□＝1，21×31＝651，积是三位数；当□＝9，21×31＝1131，积是四位数；所以两位数乘两位数时，2□×3□的积可能是四位数。

【点睛】此题结合质数的定义、奇数和偶数的运算性质、整数乘法来判定事件发生的可能性的大小，对事件发生的可能大小，一般用“一定”“经常”“偶尔”“可能”“不可能”等词语来描述。

22．两个质数的和是18，它们的积是77，这两个质数分别是(        )和(        )。

【答案】     7     11

【分析】根据题意，两个质数的积是77，把77分解质因数，采用相乘法，写成几个质数相乘的形式（这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式。据此解答。

【详解】77分解质因数可得：77＝7×11；

7和11是质数，而且7＋11＝18，满足“两个质数的和是18”这一条件。

所以这两个质数分别是7和11。

【点睛】此题考查根据两个质数的和与积，推算两个质数是多少，只要把乘积分解质因数即可解决问题。

23．一个四位数，千位上的数是最小的质数，百位上的数是最小的合数，十位上的数是最小的奇数，个位上的数是最小的偶数，这个数是(        )。

【答案】2410

【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。最小的质数是2，最小的合数是4，最小的奇数是1，最小的偶数是0，再按照整数的写法，写出这个四位数，据此解答。

【详解】根据分析得，千位上的数是2，百位上的数是4，十位上的数是1，个位上的数是0，这个数是2410。

【点睛】此题主要明确奇数与偶数、质数与合数的定义，熟悉一些常用的数，通过整数的写法，做出正确的解答。

24．王奶奶家的电话号码是8位数字组成的A5B3C4DE。其中A既是奇数也是合数，B既不是质数也不是合数，C有因数2和3，D的最大因数是8，E是最小的质数，王奶奶家的电话号码是(        )。

【答案】95136482

【分析】10以内既是奇数又是合数的是9，既不是质数也不是合数的是1，10以内同时含有因数2和3的是6，一个数的最大因数是这个数本身，最小的质数是2，据此解答。

【详解】分析可知，A是9，B是1，C是6，D是8，E是2，王奶奶家的电话号码是95136482。

【点睛】本题主要考查质数、合数、奇数、偶数的认识，熟记一个数的最大因数和最小倍数是这个数本身。

25．一个七位数，最高位是最小的奇数，十万位是最小的合数，千位是最大的一位数，其余各位都是0，这个数是(                  )，改写成用“万”作单位的数是(            )。

【答案】     1409000     140.9万

【分析】一个七位数，最高位是最小的奇数，即1；十万位是最小的合数，即4；千位是最大的一位数，即9；其余各位都是0；据此写出这个数。

改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字。

【详解】一个七位数，最高位是最小的奇数，十万位是最小的合数，千位是最大的一位数，其余各位都是0，这个数是1409000。

1409000＝140.9万

【点睛】本题考查奇数、合数的意义、整数的写法以及改写，改写时要注意带计数单位。

26．一个数的最大因数是18，这个数是(        )，把它分解质因数是(         )。

【答案】     18     18＝2×3×3

【分析】根据一个数的因数和倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。把这个数分解质因数，可利用相乘法，写成几个质数相乘的形式（这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式。

【详解】一个数的最大因数是18，这个数是18；

把18分解质因数是：18＝2×3×3。

【点睛】此题的解题关键是理解一个数的因数的特征以及掌握分解质因数的方法。

27．一个九位数最高位上是最小的合数，百万位上是最小的奇数，十万位上是最小的质数，千位上是最大的一位数，其余各位都是零，这个数写作(                     )；改写成用“万”做单位的数是(                )。

【答案】     401209000     40120.9万

【分析】最小的合数是4，最小的奇数是1，最小的质数是2，最大的一位数是9；根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出这个数；

改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字。

【详解】亿位上是4，百万位上是1，十万位上是2，千位上是9，其余各位都是零，这个数写作：401209000；

401209000＝40120.9万

【点睛】本题考查质数与合数、奇数的意义、整数的写法、整数的改写，注意改写时要带计数单位。

28．一个三位数，既有因数2，又有因数5，百位上的数是最小的合数，十位上的数是最小的质数。这个三位数是(        )。

【答案】420

【分析】含有因数2，又含有因数5，所以这个数既是2的倍数，也是5的倍数，那么这个数的个位上必定是0。根据质数和合数的定义可知，最小的合数是4，最小的质数是2，据此解答。

【详解】根据分析得，百位上的数是4，十位上的数是2，个位上的数是0，所以这个三位数是420。

【点睛】此题的解题关键是根据2、5的倍数的特征以及质数和合数的含义求解。

29．哥德巴赫猜想被称作数学皇冠上的明珠，这个猜想是这样的：任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和，我国著名数学家陈景润在这个猜想的基础上取得重大突破。他证明了：任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和。例如12＝2×5＋2，40＝3×11＋7，国际上称它为“陈氏定理”。请将下面的偶数表示成几个质数的乘加算式：

48＝(        )×(        )＋(        )

32＝(        )×(        )＋(        )

【答案】     5     7     13     3     7     11

【分析】根据质数的定义，除了1和它本身外，不再有其它因数的数叫质数，据此找出48和32表示成几个质数的乘加算式。

【详解】48＝5×7＋13

32＝3×7＋11（答案不唯一）

【点睛】此题考查了质数的意义以及拓展应用，要熟练掌握。

30．“哥德巴赫猜想”认为，每一个不小于4的偶数都可以写成两个质数之和，如4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，12＝5＋7，20＝13＋7……那么，32＝(        )＋(        )。

【答案】     3     29

【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数，32以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31，据此找出两个质数和为32的数即可。

【详解】分析可知，32＝3＋29＝13＋19。

【点睛】掌握质数的意义，根据32以内的质数找出符合条件的两个质数是解答题目的关键。