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专题03《因数和倍数》-2022-2023学年五年级数学下册期末专项复习（学生版+教师版）苏教版
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这是一份专题03《因数和倍数》-2022-2023学年五年级数学下册期末专项复习（学生版+教师版）苏教版，文件包含专题03因数和倍数教师版docx、专题03因数和倍数学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
知识点一：因数和倍数
1、几个非零自然数相乘，每个自然数都叫它们积的因数，积是这几个自然数的倍数。因数与倍数是相互依存绝不能孤立的存在.
2、一个数最小的因数是 1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。（找因数的方法：成对的找。）
3、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。（找一个数倍数的方法：从自然数 1、2、3、……分别乘这个数）
4、一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。
知识点二：质数和合数
1按照一个数因数个数的多少可以把非 0 自然数分成三类
①只有自己本身一个因数的 1
②只有 1 和它本身两个因数的数叫作质数（素数）。最小的质数是 2。在所有的质数中，2 是唯一的一个偶数。
③除了 1 和它本身两个因数还有别的因数的数叫作合数。（合数至少有 3 个因数）最小的合数是 4。
按照是否是 2 的倍数可以把自然数分成两类偶数和奇数。最小的偶数是 0.
2.两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因3.两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这两个数的最小公倍数，用符号[ ，]表示。两个数的公倍数也是无限的。8、两个素数的积一定是合数。举例：3×5=15，15 是合数。
4.两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。 举例：[6，8]=24，(6，8)=2，24 是 2 的倍数。
5.求最大公因数和最小公倍数的方法：（列举法、图示法、短除法 ）
①倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
举例：15 和 5，[15，5]=15，(15，5)=5
②互质关系的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。举例：[3，7]=21，(3，7)=1
③一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
知识点三：质因数和分解质因数
1.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
2.是 2 的倍数的数叫作偶数，不是 2 的倍数的数叫作奇数。相邻偶数（奇数）相差 2。
知识点四：2 、5、3的倍数的特征
2 的倍数的特征：个位是 0、2、4、6、8。
5 的倍数的特征：个位是 0 或 5。
3 的倍数的特征：各位上数字的和一定是 3 的倍数。
知识点五：和与积的奇偶性
偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数
偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数
攻略一：因数和倍数的认识及求法
1、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。
2、一个数的倍数都大于或等于它本身，而因数都小于或等于它本身。
3、没有最大的倍数。
攻略二：2、3、5的倍数特征及奇数与偶数
1、3的倍数也可以是偶数。
2、如果a是自然数，偶数可用2a来表示，a+2并不能表示偶数。
3、5是奇数，但它的倍数的个位上可能是5，也可能是0。5的倍数的个位上是0的时候，这个数就是偶数。
4、判断一个数是3的倍数的时候，一定要把各个数位上的数字加起来，而不是看个位上的数字是几。
攻略三：质数与合数
1、1既不是质数，也不是合数。
2、最小的质数是2，最小的合数是4。
3、2是唯一的一个偶质数。
4、分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数。
5、只有1和它本身两个因数的数是质数，1的因为只有它本身。
6、判断一个数是不是另一个数的质因数，不仅要看这个数是不是另一个数的因数，还要看这个数是不是质数。
攻略四：公因数与公倍数
1、如果两个数只有公因数1，那么1就是这两个数的最大公因数。
2、只有两个数成倍数关系时，较小的数才是这两个数的最大公因数。
3、几个数的公倍数的个数是无限的。
一．精挑细选（共5小题，满分5分，每小题1分）
1．（1分）（2022春•浠水县校级月考）一筐苹果，平均分给2个小朋友或3个小朋友或4个小朋友或5个小朋友，都正好分完，这筐苹果最少应有（ ）
A．60个B．120个C．900个D．30个
【易错点拨】根据题意得出要求这筐苹果最少的个数，即求2、3、4、和5的最小公倍数．
【规范解答】解：因为2、3、4和5的最小公倍数是：2×2×3×5＝60，
所以这筐苹果最少应有60个；
故选：A．
【题后反思】本题主要是利用求最小公倍数的方法解决问题．
2．（1分）（2022春•黄埔区期末）下面各数中，不是60的因数的数是（ ）
A．15B．12C．60D．24
【易错点拨】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进而依次进行分析得出结论．
【规范解答】解：A、因为60÷15＝4，即60能被15整除，所以60是15的倍数，15是60的因数，不符合题意；
B、因为60÷12＝5，即60能被12整除，所以60是12的倍数，12是60的因数，不符合题意；
C、因为60÷60＝1，即60能被60整除，所以60是60的倍数，60是60的因数，不符合题意；
D、因为60÷24＝2.5，即60不能被24整除，所以24不是60的因数，符合题意；
故选：D．
【题后反思】此题还可以根据找一个数因数的方法，列举出60的所有因数：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，进行选择即可．
3．（1分）（2022春•鄂城区期末）下列说法正确的是（ ）
A．所有的质数都是奇数
B．整数都比分数大
C．两个奇数的差一定是奇数
D．是4的倍数的数一定是偶数
【易错点拨】本题根据质数、奇数、偶数及整数、分数的意义对各个选项分别进行分析即能得出正确选项．
【规范解答】解：A，最小的质数为2，2为偶数，所以所有的质数都是奇数的说法的是错误的；
B，假分数≥1，所以整数都比分数大是错误的．
C，将两个奇数表示为2m+1，2n+1，则它们的差为2m+1﹣（2n+1）＝2m﹣2n＝2（m﹣n），
所以两个奇数的差一定是偶数，而不是奇数，则两个奇数的差一定是奇数的说法错误；
D，4＝2×2，4能被2整除，则4的倍数也一定能被2整除，自然数中，能被2整除的数为偶数，
所以是4的倍数的数一定是偶数说法正确．
故选：D．
【题后反思】自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外还有别的因数的数为合数；是2的倍数的数为偶数，不是2的倍数的数为奇数．
4．（1分）（2022春•济宁期末）已知A＝2×2×3，B＝2×3×5，那么，A和B的最大公因数是（ ）
A．2B．4C．6D．60
【易错点拨】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，由此解决问题即可．
【规范解答】解：A＝2×2×3，B＝2×3×5，
A和B的最大公因数为2×3＝6；
故选：C．
【题后反思】此题主要考查求两个数的最大公约数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；数字大的可以用短除法解答．
5．（1分）（2019秋•深圳期中）最小的合数和最小的质数的和是（ ）
A．2B．4C．6
【易错点拨】最小的合数是4，最小的质数是2，4+2＝6。
【规范解答】解：因为最小的合数是4，最小的质数是2。
4+2＝6。
故选：C。
【题后反思】本题主要考查最小的质数与合数。
二．认真填空（共8小题，满分14分）
6．（3分）（2022秋•定州市期末）三个连续的奇数的和是39，这三个奇数分别是 11 、 13 、 15 ．
【易错点拨】根据连续奇数的特点，两个相邻的连续奇数相差2，最小的一个比中间的少2，最大的一个比中间的一个多2，多2少2相抵消，三个连续奇数的和是中间一个奇数的3倍，求出中间的一个奇数，再求出和相邻的另外两个，一个是中间的奇数减2，一个是加2．据此解答．
【规范解答】解：39÷3＝13
13﹣2＝11
13+2＝15
答：这三个连续奇数分别是11、13、15．
故答案为：11、13、15．
【题后反思】本题是考查奇数的意义及特点，两个连续奇数相差2，三个连续奇数的和是中间一个奇数的3倍．
7．（2分）（2023春•宿迁期中）一个两位数，它既能被2整除，又有约数5，而且还是3的倍数，这个两位数最大是 90 ．把它分解质因数是 90＝2×3×3×5 ．
【易错点拨】由题意可知：该数是2、3、5的公倍数；求出2、3、5三个数的最小公倍数，进而根据题意进行解答即可．
【规范解答】解：该数的最小公倍数是2×5×3＝30；100以内符合条件的有：30，60，90；
故最大为：90；90＝2×3×3×5；
故答案为：90，2×3×3×5．
【题后反思】解答此题的关键是先求出2、3、5三个数的最小公倍数，进而根据题意，进行解答即可．
8．（1分）（2022春•罗山县期末）一个三位数，百位上是最小的质数，十位上是最小的偶数，个位上是最小的合数，这个三位数是 204 ．
【易错点拨】最小的质数是2，最小的偶数是0，最小的合数是4，从高级单位到低位依次写出各位上的数字即可．
【规范解答】解：一个三位数，百位上是最小的质数，十位上是最小的偶数，个位上是最小的合数，这个三位数是204；
故答案为：204．
【题后反思】此题是考查整数的写法，关键是根据质数、合数的意义、奇数、偶数的意义弄清每位上的数字．
9．（1分）（2022春•钦北区期末）如果两个非零自然数A、B的最大公因数是1，那么它们的最小公倍数是 AB ．
【易错点拨】如果两个非零自然数A、B的最大公因数是1，那么A、B互质，则它们的最小公倍数是它们的积，据此得解．
【规范解答】解：如果两个非零自然数A、B的最大公因数是1，那么它们的最小公倍数是AB；
故答案为：AB．
【题后反思】此题考查了两个数互质，最大公因数是1，最小公倍数是它们的积．
10．（2分）（2022春•讷河市期末）7与14的最大公因数是 7 ，最小公倍数是 14 ．
【易错点拨】求两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数；最小公倍数是较大的数；由此解答问题即可．
【规范解答】解：14＝7×2，
所以7和14的最大公因数是7，最小公倍数是14；
故答案为：7，14．
【题后反思】此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数；最小公倍数是较大的数．
11．（2分）（2022•播州区）a＝2×2×2×3，b＝2×2×3×3，a与b的最大公因数是 12 ，最小公倍数是 72 ．
【易错点拨】最大公约数就是几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，据此即可得解．
【规范解答】解：a＝2×2×2×3，
b＝2×2×3×3，
所以a和b的最大公因数是2×2×3＝12，最小公倍数是2×3×2×2×3＝72，
故答案为：12，72．
【题后反思】考查了求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
12．（2分）（2021春•周村区期末）两个数的最大公因数是2，最小公倍数是12，这两个数分别是 4或2 和 6或12 。
【易错点拨】首先要知道最大公因数和最小公倍数是如何求得的，最大公因数是两个数的公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数的公有质因数和各自独有质因数的乘积，所以用最小公倍数除以最大公因数就得到了两个数的独有质因数的乘积，进而组合成要求的数即可。
【规范解答】解：因为12÷2＝6，6＝1×6＝2×3，所以这两个数有两种情况：
即2×1＝2、2×6＝12或2×2＝4、2×3＝6，所以两个数各是2，12或4，6。
故答案为：4或2，6或12。
【题后反思】本题考查了最大公因数和最小公倍数，解题关键是：最小公倍数除以最大公因数就得到了两个数的独有质因数的乘积。
13．（1分）（2019•慈溪市）甲数＝3×A，乙数＝5×A，已知甲、乙两数的最小公倍数是30，则A＝ 2 。
【易错点拨】根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；得出这两个数的最小公倍数是15A，即15A＝30，然后求解即可。
【规范解答】解：甲数＝3×A，乙数＝5×A，
甲和乙的最小公倍数为：3×5×A＝30，
15A＝30，
所以A＝2；
故答案为：2。
【题后反思】知道求几个数的最小公倍数的方法是解本题的关键。
三．判断正误（共5小题，满分5分，每小题1分）
14．（1分）（2022秋•莘县期末）20以内最大的质数乘10以内最大的奇数，积是171． √ ．
【易错点拨】20以内最大的质数是19，10以内最大的奇数是9，二者相乘即可判断．
【规范解答】解：20以内最大的质数是19，10以内最大的奇数是9，
19×9＝171．
所以20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171，说法正确．
故答案为：√．
【题后反思】解决本题的关键是找出20以内最大的质数是19，10以内最大的奇数是9．
15．（1分）（2022春•乐清市校级月考）45是倍数，9是因数． × ．（判断对错）
【易错点拨】因数和倍数是相对的，是相互依存的，只能说一个数是另一个数的倍数或另一个数是这个数的因数，不能单独存在；比如：45÷9＝5，45是9的倍数，9也是45的因数，不能说9是因数，45是倍数．
【规范解答】解：45÷9＝5，45是9的倍数，9也是45的因数，
45是倍数，9是因数，说法错误，因为因数和倍数相互依存，不能单独存在；
故答案为：×．
【题后反思】解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析．
16．（1分）（2021秋•华州区期末）甲数和乙数都是它们最大公因数的倍数． √ ．（判断对错）
【易错点拨】甲数和乙数两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，如：16和8的最大公因数是8．据此判断．
【规范解答】解：如：甲数＝16和乙数＝8的最大公因数是8．甲数和乙数都是它们最大公因数的倍数．此说法正确的．
故答案为：√．
【题后反思】此题解答关键是明确：甲数和乙数两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积．
17．（1分）（2022•怀远县）如果有两个质数的和仍是质数，那么这两个质数的积一定是偶数。 √ （判断对错）
【易错点拨】根据奇数、偶数的性质：奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数，偶数+偶数＝偶数，据此解答。
【规范解答】解：如果两个质数的和仍是质数，据出可知这两个质数中必须有一个质数是2，因为除了2以外其它质数都是奇数，
如：2+3＝5，5是质数，2+5＝7，7是质数；
2×3＝6，6是偶数。
故答案为：√。
【题后反思】此题考查的目的是理解奇数、偶数、质数的意义，掌握奇数与偶数的性质是解答关键。
18．（1分）（2019春•西塞山区期末）任何两个自然数都有无数个公倍数． × （判断对错）
【易错点拨】因为一个数的倍数的个数是无限的，所以除0以外，任何两个自然数的公倍数的个数是无限的；由此解答即可．
【规范解答】解：由分析可知：除0以外，任何两个自然数的公倍数的个数是无限的；
所以原题说法错误．
故答案为：×．
【题后反思】此题考查的目的是理解倍数、公倍数的意义，明确：0除外一个数的倍数的个数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的．
四．计算能手（共2小题，满分10分）
19．（4分）（2023春•宝丰县期中）求出下面每个分数中分子和分母的最大公因数，填在横线上。
1 13 17 5
【易错点拨】根据求两个数的最大公因数的方法，如果两个是互质数，那么这两个数的最大公因数就是1；如果两个数是倍数关系，那么较小的数就是这两个数的最大公因数；如果两个数是一般关系，利用分解质因数的方法，两个数公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；据此求解。
【规范解答】解：（1）因为8和21是互质数，所以8和21的最大公因数是1；
（2）因为52是13的倍数，所以13和52的最大公因数是13；
（3）因为51是17的倍数，所以17和51的最大公因数是17；
（4）25＝5×5，60＝2×2×3×5
所以25和60的最大公因数是5。
故答案为：1；13；17；5。
【题后反思】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最大公因数的方法及应用，明确：如果两个数是互质数，那么这两个数的最大公因数就是1，如果两个数是倍数关系，那么较小的数就是这两个数的最大公因数。
20．（6分）（2022秋•新乐市期末）用短除法分解质因数
【易错点拨】先写这个数，再画短除号，在左边写上可以被这个数整除的质数比如2，然后继续除下去，直到最后是质数为止，再把所有质数相乘即可。
【规范解答】解：
56＝2×2×2×7
26＝2×13
18＝2×3×3
【题后反思】熟练掌握用短除法分解质因数的方法是解题的关键。
五．实际应用（共5小题，满分24分）
21．（4分）（2023春•方城县期中）6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1+2+3＝6。像6这样的数，叫做完全数（也叫完美数）。小明说：28也是完全数。他说得对吗？请写出你的验证过程。
【易错点拨】由题目可知，如果一个自然数等于它的全部因数（不包括本身）的和，这样的数叫“完美数“。依照“完美数”的概念，可先列举出28的所有因数，并通过求和的方法来验证。
【规范解答】解：他说得对。因为28的因数有：1、2、4、7、14、28，这几个因数的关系是：1+2+4+7+14＝28。所以28是完美数。
【题后反思】通过题目举例，能够初步理解“完美数”的含义，运用因数的知识进行解答，其中的易错点在于相加的因数不包括这个数本身。
22．（5分）（2022秋•泾阳县期中）有60本笔记本以及分别能装3本、4本、8本、12本的包装袋若干个。选哪种包装袋能正好把这些笔记本装完？
【易错点拨】根据题干可知：只要求出60的因数有哪些即可解决问题。
【规范解答】解：60÷3＝20
60÷4＝15
60÷8＝7……4
60÷12＝5
3，4，12都是60的因数，所以选3本、4本、12本的包装包装袋能正好把这些笔记本装完。
答：选3本、4本、12本的包装包装袋能正好把这些笔记本装完。
【题后反思】此题考查了求一个数因数的方法解决实际问题的灵活应用。
23．（5分）（2022春•荥阳市期中）插花师计划用70朵百合和42朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵数相同，玫瑰的朵数也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？这时每束花中有多少朵花？
【易错点拨】求最多可以做多少束花，就是求70和42的最大公因数，先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；再用百合花的总朵数除以最大公因数就是每束花中百合花的朵数，用玫瑰花的总朵数除以最大公因数就是每束花中玫瑰花的总朵数，再把每束花中百合花的朵数与每束花中玫瑰花的总朵数相加即可。
【规范解答】解：70＝2×5×7
42＝2×3×7
所以70和42的最大公因数是2×7＝14
70÷14＝5（朵）
42÷14＝3（朵）
5+3＝8（朵）
答：最多可以做14束花，这时每束花中有8朵花。
【题后反思】本题考查了最大公因数的应用以及最大公因数的求法。
24．（5分）（2022春•科左中旗校级期中）学校图书馆李阿姨买回一些故事书，平均分给16个班，正好分完，这些故事书比50本多，比100本少，那么李阿姨可能买回多少本故事书？
【易错点拨】根据题意，这些故事书平均分给16个班，正好分完，说明故事书的本数是16的倍数；找到50～100之间16的倍数，就是李阿姨可能买回的故事书的本数。
【规范解答】解：16×4＝64（本）
16×5＝80（本）
16×6＝96（本）
答：李阿姨可能买回64本、80本或96本故事书。
【题后反思】掌握求一个数的倍数的方法是解题的关键。
25．（5分）（2022春•西华县期中）合唱队有32名同学，要站成若干、排表演，若每排人数相等，可以怎样站？（不包括每排一人或32人站一排的情况）
【易错点拨】要求每排多少人，可以站多少排，实际上就是求32的因数有哪些，据此回答。
【规范解答】解：32＝1×32＝2×16＝4×8
32的因数有：1、2、4、8、16、32；
因为不包括每排一人或32人站一排的情况，
所以可以这样排列：
每排2人，站16排；
每排16人，站2排；
每排4人，站8排；
每排8人，站4排；
答：每排2人，站16排或每排16人，站2排或每排4人，站8排或每排8人，站4排。
【题后反思】此题的解题关键是掌握求一个数的因数的方法，灵活运用解决问题。
六．动手操作（共2小题，满分11分）
26．（6分）（2022秋•罗湖区期中）用18个小正方形拼一个长方形，有几种拼法？请你画出3种拼法，再填一填。
18的全部因数有： 1，18，2，9，3，6。
【易错点拨】根据正方形的面积＝边长×边长，可得小正方形面积为：1×1＝1，所以18个小正方形的面积是：18×1＝18，这也是拼成的长方形的面积；又因为长方形的面积＝长×宽，所以长×宽＝18，也就是两个因数的积等于18，那这两个因数就分别为长方形的长和宽，据此即可求解。
【规范解答】解：1×1＝1
18×1＝18
①长为18，宽为1，面积是：18×1＝18
②长为9，宽为2，面积是：9×2＝18
③长为6，宽为3，面积是：6×3＝18
所以一共有3种不同的拼法，拼出来的长方形如图所示：
所以18的全部因数有：1，18，2，9，3，6。
故答案为：1，18，2，9，3，6。
【题后反思】解决本题的关键在于知道拼成的长方形的面积等于18个小正方形的面积。
27．（5分）如图，从2至100的数中划掉2的倍数，再依次划掉3、5、7的倍数（但2、3、5、7本身不划掉）．剩下的数都是什么数？
【易错点拨】根据2、3、5、7的倍数的特征，但2、3、5，7本身不划掉，那么剩下的数是质数．
【规范解答】解：
剩下的数是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97．这些数是质数．
【题后反思】此题考查的目的是理解质数的意义，熟记100以内的26个质数．
七．解决问题（共6小题，满分31分）
28．（4分）（2023春•余杭区期中）一个长方形的周长是60厘米，它的长与宽是两个质数，它的面积是多少平方厘米？
【易错点拨】根据“长方形的一条长和宽的和＝周长÷2”计算出一条长和宽的和是：60÷2＝30（厘米），长和宽是两个不同的质数，一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数；所以可以分为以下几种情况：①长23厘米，宽7厘米；②长19厘米，宽11厘米；③长17厘米，宽13厘米；然后根据长方形的面积＝长×宽分别计算得出即可。
【规范解答】解：60÷2＝30（厘米），
可以分为：
①长23厘米，宽7厘米
面积：23×7＝161（平方厘米）
②长19厘米，宽11厘米
面积：19×11＝209（平方厘米）
③长17厘米，宽13厘米
面积：17×13＝221（平方厘米）
答：这个长方形的面积可能是161平方厘米或209平方厘米或221平方厘米。
【题后反思】此题考查的是长方形周长和面积计算的灵活运用情况，求出长和宽的值是解答本题的关键。
29．（5分）（2023春•乌鲁木齐期中）把一张长60厘米，宽40厘米的长方形铁皮剪成同样大小的正方形铁皮，要使剪成的正方形最大且无剩余，正方形的边长应是多少厘米？可以剪几个？
【易错点拨】找到60，40的最大公约数，即为正方形的边长；依此分别求出长边，宽边正方形的个数，相乘即可求出可以剪正方形的个数．
【规范解答】解：60＝2×2×3×5，
40＝2×2×2×5，
所以60和40的最大公约数是2×2×5＝20，即正方形的边长是20厘米．
（60÷20）×（40÷20），
＝3×2，
＝6（个）．
答：正方形的边长应是20厘米，可以剪6个．
【题后反思】此题主要考查求两个数的最大公约数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数．
30．（8分）（2022春•兴义市期中）求下面各组数的最大公因数，并把它写在横线上。
【易错点拨】两个数互质，则这两个数的最大公因数是1；求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积；为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数。
【规范解答】解：15和16互质，所以它们的最大公因数是1；
因为28＝2×2×7
36＝2×2×3×3
所以28和36的最大公因数是2×2＝4；
因为63÷7＝9，所以7和63的最大公因数是7；
30＝2×3×5
24＝2×2×2×3
15＝3×5
所以30、24、15的最大公因数是3。
故答案为：1；4；7；3。
【题后反思】熟练掌握求两个数最大公因数的方法是解题的关键。
31．（4分）（2022春•京山市期中）有100多且不到200名学生站队，站成5列，仅仅少2人，这群学生最少多少人？最多多少人？
【易错点拨】根据题干可得，这列学生总人数是一个大于100小于200的三位数，且是5的倍数少2的数，由此先求出大于100小于等于200的5的倍数最小是105，大于100小于等于200的5的倍数最大是200，再减去2即可得出这批学生最少和最多的人数．
【规范解答】解：大于100小于等于200的5的倍数最小是105，105﹣2＝103（人），
大于100小于等于200的5的倍数最大是200，200﹣2＝198（人）．
答：这群学生最少103人，最多198人．
【题后反思】此题主要考查了求5的倍数的方法的灵活应用．
32．（5分）（2022春•迎泽区期末）把45厘米、60厘米的两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余．
（1）每根短彩带最长是多少厘米？
（2）一共可以剪成多少段？
【易错点拨】要把两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，求每根彩带最长是多少厘米，就是求45、60的最大公因数，求两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，可以先分别把这两个数分解质因数，再把这两个数的公有质因数相乘，最后用两条彩带的总厘米数除以每段长度求剪成的段数，由此解决问题即可．
【规范解答】解：45＝3×3×5，
60＝2×2×3×5，
所以45和60的最大公因数是：3×5＝15，
（45+60）÷15，
＝105÷15，
＝7（根）；
答：每根彩带最长是15厘米，一共能剪成这样长的短彩带7根．
【题后反思】此题主要考查应用求最大公因数的知识解决实际问题，注意求两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积．
33．（5分）（2022春•济源期末）五年级（1）、（2）班要完成大扫除任务．五（1）班来了48人，五（2）班来了54人．如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？
【易错点拨】要求每组最多有多少人，也就是求48和54的最大公因数是多少，先把48和54分解质因数，找出它们公有的质因数，再根据求最大公约数的方法：把这两个数的公有质因数乘起来即可．
【规范解答】解：48＝2×2×2×2×3，
54＝2×3×3×3，
所以48和54的最大公约数是：2×3＝6；
答：每组最多有6人．
【题后反思】解决此题关键是把问题转化成求两个数的最大公约数，再根据求两个数的公有质因数的方法解答即可56
26
18
15和16
28和36
7和63
30、24、15
1
4
7
3
15和16
28和36
7和63
30、24、15
1
4
7
3
知识点一：因数和倍数
1、几个非零自然数相乘，每个自然数都叫它们积的因数，积是这几个自然数的倍数。因数与倍数是相互依存绝不能孤立的存在.
2、一个数最小的因数是 1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。（找因数的方法：成对的找。）
3、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。（找一个数倍数的方法：从自然数 1、2、3、……分别乘这个数）
4、一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。
知识点二：质数和合数
1按照一个数因数个数的多少可以把非 0 自然数分成三类
①只有自己本身一个因数的 1
②只有 1 和它本身两个因数的数叫作质数（素数）。最小的质数是 2。在所有的质数中，2 是唯一的一个偶数。
③除了 1 和它本身两个因数还有别的因数的数叫作合数。（合数至少有 3 个因数）最小的合数是 4。
按照是否是 2 的倍数可以把自然数分成两类偶数和奇数。最小的偶数是 0.
2.两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因3.两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这两个数的最小公倍数，用符号[ ，]表示。两个数的公倍数也是无限的。8、两个素数的积一定是合数。举例：3×5=15，15 是合数。
4.两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。 举例：[6，8]=24，(6，8)=2，24 是 2 的倍数。
5.求最大公因数和最小公倍数的方法：（列举法、图示法、短除法 ）
①倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
举例：15 和 5，[15，5]=15，(15，5)=5
②互质关系的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。举例：[3，7]=21，(3，7)=1
③一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
知识点三：质因数和分解质因数
1.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
2.是 2 的倍数的数叫作偶数，不是 2 的倍数的数叫作奇数。相邻偶数（奇数）相差 2。
知识点四：2 、5、3的倍数的特征
2 的倍数的特征：个位是 0、2、4、6、8。
5 的倍数的特征：个位是 0 或 5。
3 的倍数的特征：各位上数字的和一定是 3 的倍数。
知识点五：和与积的奇偶性
偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数
偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数
攻略一：因数和倍数的认识及求法
1、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。
2、一个数的倍数都大于或等于它本身，而因数都小于或等于它本身。
3、没有最大的倍数。
攻略二：2、3、5的倍数特征及奇数与偶数
1、3的倍数也可以是偶数。
2、如果a是自然数，偶数可用2a来表示，a+2并不能表示偶数。
3、5是奇数，但它的倍数的个位上可能是5，也可能是0。5的倍数的个位上是0的时候，这个数就是偶数。
4、判断一个数是3的倍数的时候，一定要把各个数位上的数字加起来，而不是看个位上的数字是几。
攻略三：质数与合数
1、1既不是质数，也不是合数。
2、最小的质数是2，最小的合数是4。
3、2是唯一的一个偶质数。
4、分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数。
5、只有1和它本身两个因数的数是质数，1的因为只有它本身。
6、判断一个数是不是另一个数的质因数，不仅要看这个数是不是另一个数的因数，还要看这个数是不是质数。
攻略四：公因数与公倍数
1、如果两个数只有公因数1，那么1就是这两个数的最大公因数。
2、只有两个数成倍数关系时，较小的数才是这两个数的最大公因数。
3、几个数的公倍数的个数是无限的。
一．精挑细选（共5小题，满分5分，每小题1分）
1．（1分）（2022春•浠水县校级月考）一筐苹果，平均分给2个小朋友或3个小朋友或4个小朋友或5个小朋友，都正好分完，这筐苹果最少应有（ ）
A．60个B．120个C．900个D．30个
【易错点拨】根据题意得出要求这筐苹果最少的个数，即求2、3、4、和5的最小公倍数．
【规范解答】解：因为2、3、4和5的最小公倍数是：2×2×3×5＝60，
所以这筐苹果最少应有60个；
故选：A．
【题后反思】本题主要是利用求最小公倍数的方法解决问题．
2．（1分）（2022春•黄埔区期末）下面各数中，不是60的因数的数是（ ）
A．15B．12C．60D．24
【易错点拨】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进而依次进行分析得出结论．
【规范解答】解：A、因为60÷15＝4，即60能被15整除，所以60是15的倍数，15是60的因数，不符合题意；
B、因为60÷12＝5，即60能被12整除，所以60是12的倍数，12是60的因数，不符合题意；
C、因为60÷60＝1，即60能被60整除，所以60是60的倍数，60是60的因数，不符合题意；
D、因为60÷24＝2.5，即60不能被24整除，所以24不是60的因数，符合题意；
故选：D．
【题后反思】此题还可以根据找一个数因数的方法，列举出60的所有因数：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，进行选择即可．
3．（1分）（2022春•鄂城区期末）下列说法正确的是（ ）
A．所有的质数都是奇数
B．整数都比分数大
C．两个奇数的差一定是奇数
D．是4的倍数的数一定是偶数
【易错点拨】本题根据质数、奇数、偶数及整数、分数的意义对各个选项分别进行分析即能得出正确选项．
【规范解答】解：A，最小的质数为2，2为偶数，所以所有的质数都是奇数的说法的是错误的；
B，假分数≥1，所以整数都比分数大是错误的．
C，将两个奇数表示为2m+1，2n+1，则它们的差为2m+1﹣（2n+1）＝2m﹣2n＝2（m﹣n），
所以两个奇数的差一定是偶数，而不是奇数，则两个奇数的差一定是奇数的说法错误；
D，4＝2×2，4能被2整除，则4的倍数也一定能被2整除，自然数中，能被2整除的数为偶数，
所以是4的倍数的数一定是偶数说法正确．
故选：D．
【题后反思】自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外还有别的因数的数为合数；是2的倍数的数为偶数，不是2的倍数的数为奇数．
4．（1分）（2022春•济宁期末）已知A＝2×2×3，B＝2×3×5，那么，A和B的最大公因数是（ ）
A．2B．4C．6D．60
【易错点拨】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，由此解决问题即可．
【规范解答】解：A＝2×2×3，B＝2×3×5，
A和B的最大公因数为2×3＝6；
故选：C．
【题后反思】此题主要考查求两个数的最大公约数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；数字大的可以用短除法解答．
5．（1分）（2019秋•深圳期中）最小的合数和最小的质数的和是（ ）
A．2B．4C．6
【易错点拨】最小的合数是4，最小的质数是2，4+2＝6。
【规范解答】解：因为最小的合数是4，最小的质数是2。
4+2＝6。
故选：C。
【题后反思】本题主要考查最小的质数与合数。
二．认真填空（共8小题，满分14分）
6．（3分）（2022秋•定州市期末）三个连续的奇数的和是39，这三个奇数分别是 11 、 13 、 15 ．
【易错点拨】根据连续奇数的特点，两个相邻的连续奇数相差2，最小的一个比中间的少2，最大的一个比中间的一个多2，多2少2相抵消，三个连续奇数的和是中间一个奇数的3倍，求出中间的一个奇数，再求出和相邻的另外两个，一个是中间的奇数减2，一个是加2．据此解答．
【规范解答】解：39÷3＝13
13﹣2＝11
13+2＝15
答：这三个连续奇数分别是11、13、15．
故答案为：11、13、15．
【题后反思】本题是考查奇数的意义及特点，两个连续奇数相差2，三个连续奇数的和是中间一个奇数的3倍．
7．（2分）（2023春•宿迁期中）一个两位数，它既能被2整除，又有约数5，而且还是3的倍数，这个两位数最大是 90 ．把它分解质因数是 90＝2×3×3×5 ．
【易错点拨】由题意可知：该数是2、3、5的公倍数；求出2、3、5三个数的最小公倍数，进而根据题意进行解答即可．
【规范解答】解：该数的最小公倍数是2×5×3＝30；100以内符合条件的有：30，60，90；
故最大为：90；90＝2×3×3×5；
故答案为：90，2×3×3×5．
【题后反思】解答此题的关键是先求出2、3、5三个数的最小公倍数，进而根据题意，进行解答即可．
8．（1分）（2022春•罗山县期末）一个三位数，百位上是最小的质数，十位上是最小的偶数，个位上是最小的合数，这个三位数是 204 ．
【易错点拨】最小的质数是2，最小的偶数是0，最小的合数是4，从高级单位到低位依次写出各位上的数字即可．
【规范解答】解：一个三位数，百位上是最小的质数，十位上是最小的偶数，个位上是最小的合数，这个三位数是204；
故答案为：204．
【题后反思】此题是考查整数的写法，关键是根据质数、合数的意义、奇数、偶数的意义弄清每位上的数字．
9．（1分）（2022春•钦北区期末）如果两个非零自然数A、B的最大公因数是1，那么它们的最小公倍数是 AB ．
【易错点拨】如果两个非零自然数A、B的最大公因数是1，那么A、B互质，则它们的最小公倍数是它们的积，据此得解．
【规范解答】解：如果两个非零自然数A、B的最大公因数是1，那么它们的最小公倍数是AB；
故答案为：AB．
【题后反思】此题考查了两个数互质，最大公因数是1，最小公倍数是它们的积．
10．（2分）（2022春•讷河市期末）7与14的最大公因数是 7 ，最小公倍数是 14 ．
【易错点拨】求两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数；最小公倍数是较大的数；由此解答问题即可．
【规范解答】解：14＝7×2，
所以7和14的最大公因数是7，最小公倍数是14；
故答案为：7，14．
【题后反思】此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数；最小公倍数是较大的数．
11．（2分）（2022•播州区）a＝2×2×2×3，b＝2×2×3×3，a与b的最大公因数是 12 ，最小公倍数是 72 ．
【易错点拨】最大公约数就是几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，据此即可得解．
【规范解答】解：a＝2×2×2×3，
b＝2×2×3×3，
所以a和b的最大公因数是2×2×3＝12，最小公倍数是2×3×2×2×3＝72，
故答案为：12，72．
【题后反思】考查了求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
12．（2分）（2021春•周村区期末）两个数的最大公因数是2，最小公倍数是12，这两个数分别是 4或2 和 6或12 。
【易错点拨】首先要知道最大公因数和最小公倍数是如何求得的，最大公因数是两个数的公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数的公有质因数和各自独有质因数的乘积，所以用最小公倍数除以最大公因数就得到了两个数的独有质因数的乘积，进而组合成要求的数即可。
【规范解答】解：因为12÷2＝6，6＝1×6＝2×3，所以这两个数有两种情况：
即2×1＝2、2×6＝12或2×2＝4、2×3＝6，所以两个数各是2，12或4，6。
故答案为：4或2，6或12。
【题后反思】本题考查了最大公因数和最小公倍数，解题关键是：最小公倍数除以最大公因数就得到了两个数的独有质因数的乘积。
13．（1分）（2019•慈溪市）甲数＝3×A，乙数＝5×A，已知甲、乙两数的最小公倍数是30，则A＝ 2 。
【易错点拨】根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；得出这两个数的最小公倍数是15A，即15A＝30，然后求解即可。
【规范解答】解：甲数＝3×A，乙数＝5×A，
甲和乙的最小公倍数为：3×5×A＝30，
15A＝30，
所以A＝2；
故答案为：2。
【题后反思】知道求几个数的最小公倍数的方法是解本题的关键。
三．判断正误（共5小题，满分5分，每小题1分）
14．（1分）（2022秋•莘县期末）20以内最大的质数乘10以内最大的奇数，积是171． √ ．
【易错点拨】20以内最大的质数是19，10以内最大的奇数是9，二者相乘即可判断．
【规范解答】解：20以内最大的质数是19，10以内最大的奇数是9，
19×9＝171．
所以20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171，说法正确．
故答案为：√．
【题后反思】解决本题的关键是找出20以内最大的质数是19，10以内最大的奇数是9．
15．（1分）（2022春•乐清市校级月考）45是倍数，9是因数． × ．（判断对错）
【易错点拨】因数和倍数是相对的，是相互依存的，只能说一个数是另一个数的倍数或另一个数是这个数的因数，不能单独存在；比如：45÷9＝5，45是9的倍数，9也是45的因数，不能说9是因数，45是倍数．
【规范解答】解：45÷9＝5，45是9的倍数，9也是45的因数，
45是倍数，9是因数，说法错误，因为因数和倍数相互依存，不能单独存在；
故答案为：×．
【题后反思】解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析．
16．（1分）（2021秋•华州区期末）甲数和乙数都是它们最大公因数的倍数． √ ．（判断对错）
【易错点拨】甲数和乙数两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，如：16和8的最大公因数是8．据此判断．
【规范解答】解：如：甲数＝16和乙数＝8的最大公因数是8．甲数和乙数都是它们最大公因数的倍数．此说法正确的．
故答案为：√．
【题后反思】此题解答关键是明确：甲数和乙数两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积．
17．（1分）（2022•怀远县）如果有两个质数的和仍是质数，那么这两个质数的积一定是偶数。 √ （判断对错）
【易错点拨】根据奇数、偶数的性质：奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数，偶数+偶数＝偶数，据此解答。
【规范解答】解：如果两个质数的和仍是质数，据出可知这两个质数中必须有一个质数是2，因为除了2以外其它质数都是奇数，
如：2+3＝5，5是质数，2+5＝7，7是质数；
2×3＝6，6是偶数。
故答案为：√。
【题后反思】此题考查的目的是理解奇数、偶数、质数的意义，掌握奇数与偶数的性质是解答关键。
18．（1分）（2019春•西塞山区期末）任何两个自然数都有无数个公倍数． × （判断对错）
【易错点拨】因为一个数的倍数的个数是无限的，所以除0以外，任何两个自然数的公倍数的个数是无限的；由此解答即可．
【规范解答】解：由分析可知：除0以外，任何两个自然数的公倍数的个数是无限的；
所以原题说法错误．
故答案为：×．
【题后反思】此题考查的目的是理解倍数、公倍数的意义，明确：0除外一个数的倍数的个数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的．
四．计算能手（共2小题，满分10分）
19．（4分）（2023春•宝丰县期中）求出下面每个分数中分子和分母的最大公因数，填在横线上。
1 13 17 5
【易错点拨】根据求两个数的最大公因数的方法，如果两个是互质数，那么这两个数的最大公因数就是1；如果两个数是倍数关系，那么较小的数就是这两个数的最大公因数；如果两个数是一般关系，利用分解质因数的方法，两个数公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；据此求解。
【规范解答】解：（1）因为8和21是互质数，所以8和21的最大公因数是1；
（2）因为52是13的倍数，所以13和52的最大公因数是13；
（3）因为51是17的倍数，所以17和51的最大公因数是17；
（4）25＝5×5，60＝2×2×3×5
所以25和60的最大公因数是5。
故答案为：1；13；17；5。
【题后反思】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最大公因数的方法及应用，明确：如果两个数是互质数，那么这两个数的最大公因数就是1，如果两个数是倍数关系，那么较小的数就是这两个数的最大公因数。
20．（6分）（2022秋•新乐市期末）用短除法分解质因数
【易错点拨】先写这个数，再画短除号，在左边写上可以被这个数整除的质数比如2，然后继续除下去，直到最后是质数为止，再把所有质数相乘即可。
【规范解答】解：
56＝2×2×2×7
26＝2×13
18＝2×3×3
【题后反思】熟练掌握用短除法分解质因数的方法是解题的关键。
五．实际应用（共5小题，满分24分）
21．（4分）（2023春•方城县期中）6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1+2+3＝6。像6这样的数，叫做完全数（也叫完美数）。小明说：28也是完全数。他说得对吗？请写出你的验证过程。
【易错点拨】由题目可知，如果一个自然数等于它的全部因数（不包括本身）的和，这样的数叫“完美数“。依照“完美数”的概念，可先列举出28的所有因数，并通过求和的方法来验证。
【规范解答】解：他说得对。因为28的因数有：1、2、4、7、14、28，这几个因数的关系是：1+2+4+7+14＝28。所以28是完美数。
【题后反思】通过题目举例，能够初步理解“完美数”的含义，运用因数的知识进行解答，其中的易错点在于相加的因数不包括这个数本身。
22．（5分）（2022秋•泾阳县期中）有60本笔记本以及分别能装3本、4本、8本、12本的包装袋若干个。选哪种包装袋能正好把这些笔记本装完？
【易错点拨】根据题干可知：只要求出60的因数有哪些即可解决问题。
【规范解答】解：60÷3＝20
60÷4＝15
60÷8＝7……4
60÷12＝5
3，4，12都是60的因数，所以选3本、4本、12本的包装包装袋能正好把这些笔记本装完。
答：选3本、4本、12本的包装包装袋能正好把这些笔记本装完。
【题后反思】此题考查了求一个数因数的方法解决实际问题的灵活应用。
23．（5分）（2022春•荥阳市期中）插花师计划用70朵百合和42朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵数相同，玫瑰的朵数也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？这时每束花中有多少朵花？
【易错点拨】求最多可以做多少束花，就是求70和42的最大公因数，先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；再用百合花的总朵数除以最大公因数就是每束花中百合花的朵数，用玫瑰花的总朵数除以最大公因数就是每束花中玫瑰花的总朵数，再把每束花中百合花的朵数与每束花中玫瑰花的总朵数相加即可。
【规范解答】解：70＝2×5×7
42＝2×3×7
所以70和42的最大公因数是2×7＝14
70÷14＝5（朵）
42÷14＝3（朵）
5+3＝8（朵）
答：最多可以做14束花，这时每束花中有8朵花。
【题后反思】本题考查了最大公因数的应用以及最大公因数的求法。
24．（5分）（2022春•科左中旗校级期中）学校图书馆李阿姨买回一些故事书，平均分给16个班，正好分完，这些故事书比50本多，比100本少，那么李阿姨可能买回多少本故事书？
【易错点拨】根据题意，这些故事书平均分给16个班，正好分完，说明故事书的本数是16的倍数；找到50～100之间16的倍数，就是李阿姨可能买回的故事书的本数。
【规范解答】解：16×4＝64（本）
16×5＝80（本）
16×6＝96（本）
答：李阿姨可能买回64本、80本或96本故事书。
【题后反思】掌握求一个数的倍数的方法是解题的关键。
25．（5分）（2022春•西华县期中）合唱队有32名同学，要站成若干、排表演，若每排人数相等，可以怎样站？（不包括每排一人或32人站一排的情况）
【易错点拨】要求每排多少人，可以站多少排，实际上就是求32的因数有哪些，据此回答。
【规范解答】解：32＝1×32＝2×16＝4×8
32的因数有：1、2、4、8、16、32；
因为不包括每排一人或32人站一排的情况，
所以可以这样排列：
每排2人，站16排；
每排16人，站2排；
每排4人，站8排；
每排8人，站4排；
答：每排2人，站16排或每排16人，站2排或每排4人，站8排或每排8人，站4排。
【题后反思】此题的解题关键是掌握求一个数的因数的方法，灵活运用解决问题。
六．动手操作（共2小题，满分11分）
26．（6分）（2022秋•罗湖区期中）用18个小正方形拼一个长方形，有几种拼法？请你画出3种拼法，再填一填。
18的全部因数有： 1，18，2，9，3，6。
【易错点拨】根据正方形的面积＝边长×边长，可得小正方形面积为：1×1＝1，所以18个小正方形的面积是：18×1＝18，这也是拼成的长方形的面积；又因为长方形的面积＝长×宽，所以长×宽＝18，也就是两个因数的积等于18，那这两个因数就分别为长方形的长和宽，据此即可求解。
【规范解答】解：1×1＝1
18×1＝18
①长为18，宽为1，面积是：18×1＝18
②长为9，宽为2，面积是：9×2＝18
③长为6，宽为3，面积是：6×3＝18
所以一共有3种不同的拼法，拼出来的长方形如图所示：
所以18的全部因数有：1，18，2，9，3，6。
故答案为：1，18，2，9，3，6。
【题后反思】解决本题的关键在于知道拼成的长方形的面积等于18个小正方形的面积。
27．（5分）如图，从2至100的数中划掉2的倍数，再依次划掉3、5、7的倍数（但2、3、5、7本身不划掉）．剩下的数都是什么数？
【易错点拨】根据2、3、5、7的倍数的特征，但2、3、5，7本身不划掉，那么剩下的数是质数．
【规范解答】解：
剩下的数是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97．这些数是质数．
【题后反思】此题考查的目的是理解质数的意义，熟记100以内的26个质数．
七．解决问题（共6小题，满分31分）
28．（4分）（2023春•余杭区期中）一个长方形的周长是60厘米，它的长与宽是两个质数，它的面积是多少平方厘米？
【易错点拨】根据“长方形的一条长和宽的和＝周长÷2”计算出一条长和宽的和是：60÷2＝30（厘米），长和宽是两个不同的质数，一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数；所以可以分为以下几种情况：①长23厘米，宽7厘米；②长19厘米，宽11厘米；③长17厘米，宽13厘米；然后根据长方形的面积＝长×宽分别计算得出即可。
【规范解答】解：60÷2＝30（厘米），
可以分为：
①长23厘米，宽7厘米
面积：23×7＝161（平方厘米）
②长19厘米，宽11厘米
面积：19×11＝209（平方厘米）
③长17厘米，宽13厘米
面积：17×13＝221（平方厘米）
答：这个长方形的面积可能是161平方厘米或209平方厘米或221平方厘米。
【题后反思】此题考查的是长方形周长和面积计算的灵活运用情况，求出长和宽的值是解答本题的关键。
29．（5分）（2023春•乌鲁木齐期中）把一张长60厘米，宽40厘米的长方形铁皮剪成同样大小的正方形铁皮，要使剪成的正方形最大且无剩余，正方形的边长应是多少厘米？可以剪几个？
【易错点拨】找到60，40的最大公约数，即为正方形的边长；依此分别求出长边，宽边正方形的个数，相乘即可求出可以剪正方形的个数．
【规范解答】解：60＝2×2×3×5，
40＝2×2×2×5，
所以60和40的最大公约数是2×2×5＝20，即正方形的边长是20厘米．
（60÷20）×（40÷20），
＝3×2，
＝6（个）．
答：正方形的边长应是20厘米，可以剪6个．
【题后反思】此题主要考查求两个数的最大公约数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数．
30．（8分）（2022春•兴义市期中）求下面各组数的最大公因数，并把它写在横线上。
【易错点拨】两个数互质，则这两个数的最大公因数是1；求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积；为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数。
【规范解答】解：15和16互质，所以它们的最大公因数是1；
因为28＝2×2×7
36＝2×2×3×3
所以28和36的最大公因数是2×2＝4；
因为63÷7＝9，所以7和63的最大公因数是7；
30＝2×3×5
24＝2×2×2×3
15＝3×5
所以30、24、15的最大公因数是3。
故答案为：1；4；7；3。
【题后反思】熟练掌握求两个数最大公因数的方法是解题的关键。
31．（4分）（2022春•京山市期中）有100多且不到200名学生站队，站成5列，仅仅少2人，这群学生最少多少人？最多多少人？
【易错点拨】根据题干可得，这列学生总人数是一个大于100小于200的三位数，且是5的倍数少2的数，由此先求出大于100小于等于200的5的倍数最小是105，大于100小于等于200的5的倍数最大是200，再减去2即可得出这批学生最少和最多的人数．
【规范解答】解：大于100小于等于200的5的倍数最小是105，105﹣2＝103（人），
大于100小于等于200的5的倍数最大是200，200﹣2＝198（人）．
答：这群学生最少103人，最多198人．
【题后反思】此题主要考查了求5的倍数的方法的灵活应用．
32．（5分）（2022春•迎泽区期末）把45厘米、60厘米的两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余．
（1）每根短彩带最长是多少厘米？
（2）一共可以剪成多少段？
【易错点拨】要把两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，求每根彩带最长是多少厘米，就是求45、60的最大公因数，求两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，可以先分别把这两个数分解质因数，再把这两个数的公有质因数相乘，最后用两条彩带的总厘米数除以每段长度求剪成的段数，由此解决问题即可．
【规范解答】解：45＝3×3×5，
60＝2×2×3×5，
所以45和60的最大公因数是：3×5＝15，
（45+60）÷15，
＝105÷15，
＝7（根）；
答：每根彩带最长是15厘米，一共能剪成这样长的短彩带7根．
【题后反思】此题主要考查应用求最大公因数的知识解决实际问题，注意求两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积．
33．（5分）（2022春•济源期末）五年级（1）、（2）班要完成大扫除任务．五（1）班来了48人，五（2）班来了54人．如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？
【易错点拨】要求每组最多有多少人，也就是求48和54的最大公因数是多少，先把48和54分解质因数，找出它们公有的质因数，再根据求最大公约数的方法：把这两个数的公有质因数乘起来即可．
【规范解答】解：48＝2×2×2×2×3，
54＝2×3×3×3，
所以48和54的最大公约数是：2×3＝6；
答：每组最多有6人．
【题后反思】解决此题关键是把问题转化成求两个数的最大公约数，再根据求两个数的公有质因数的方法解答即可56
26
18
15和16
28和36
7和63
30、24、15
1
4
7
3
15和16
28和36
7和63
30、24、15
1
4
7
3
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