湖南省常德市2025届高三下学期一模数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知复数 满足： ，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 2
5. 下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 从 1，2，3，4，5，6，7 这 7 个数任选 3 个不同数排成一个数列，则得到的数列为等差数列的概率为（
）
A. B. C. D.
7. 已知 ，则 （ ）
A. B. 7 C. D.
8. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，点 在椭圆上，连接 并延长交椭圆
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于点 .若 ，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分..在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 设样本空间 ，且每个样本点是等可能的，已知事件 ，则
下列结论正确的是（ ）
A. 事件 A 与 B 为互斥事件 B. 事件 两两独立
C. D.
10. 已知连续函数 是定义域为 的偶函数，且在区间 上单调递增，则下列说法正确的是
（ ）
A. 函数 在 上单调递增
B. 函数 在 上单调递增
C. 函数 存在极小值点
D. “ ”是“ ”的充要条件
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中，空间中的点 满足 ，且
，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的最大值为
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C. 若 ，则平面 截该正方体 截面面积的最小值为
D. 若 ，则平面 与平面 夹角的正切值的最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知双曲线 离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为______．
13. 若函数 有最小值，则实数 的取值范围是______.
14. 已知函数 在区间 上有且仅有 1 个零点和 1 条对称轴，则实数 的取
值范围是______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某景区经过提质改造后统计连续 5 天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下：
3 月 5 3 月 6 3 月 7 3 月 8 3 月 9 日期
日 日 日 日 日
第 x 天 1 2 3 4 5
参观人数 y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9
（1）建立 关于 的回归直线方程，预测第 10 天进入该景区参观的人数；
（2）该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为 、 ，且出景区
与进入景区选择相同的门的概率为 ，出景区与进入景区选择不同的门的概率为 .假设游客从东门，西门
出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率.
附：参考数据： .
参考公式：回归直线方程 ，其中 ， .
16. 如图，在四棱锥 中，底面四边形 是正方形， 平面 ，二面角 为
.
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（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 如图，在 中， 分别是 上的点，且 与 交于点 ，已知
，且 .
（1）若 ，求 的长；
（2）求 长.
18. 已知函数 在 处 切线与直线 垂直.
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 对任意 恒成立，求实数 的值；
（3）对于函数 ，规定： ，
叫做函数 的 阶导数 .若对任意 恒成立，求满足条件的正
整数 的最小值.
19. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 作圆 两条切线 ，且 分别与 相交于点 ， （异于点 ）.
（ⅰ）若 ，求 .面积；
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（ⅱ）证明：直线 过定点.
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