湖南省常德市2025届高三下学期一模数学试题 含解析

这是一份湖南省常德市2025届高三下学期一模数学试题 含解析，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式化简集合 ，再利用交集的定义求解.
【详解】由 ，解得 ，即 ，而 ，
所以 .
故选：B
2. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】 的否定为 .
故选：C
3. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 与 的关系及等比数列的通项求出 的通项，再根据等比数列的前 项和公式求出 ，
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再逐一判断即可.
【详解】由 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
所以数列 从第二项开始是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ， ，
所以 ，
故 ABC 错误，D 正确.
故选：D.
4. 已知复数 满足： ，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件化简求解得出 ，进而得出模长.
【详解】因为复数 满足： ，则 ，
即得 ，所以
则 .
故选：A.
5. 下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】根据指数函数和对数函数的单调性逐一判断即可.
【详解】对于 A，因为函数 为减函数， ，
所以 ，故 A 错误；
对于 B，因为函数 是减函数， ，
所以 ，故 B 错误；
对于 C，因为 ，而 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以 ，故 C 错误；
对于 D，因为 ， ，
所以 ，故 D 正确.
故选：D.
6. 从 1，2，3，4，5，6，7 这 7 个数任选 3 个不同数排成一个数列，则得到的数列为等差数列的概率为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用排列计数问题求出试验及事件 基本事件数，再求出古典概率.
【详解】从给定的 7 个数中任取 3 个的试验有 个基本事件，
能构成等差数列的事件含有：公差为 的 个，公差为 的 个，公差为 有 个，共 18 个基
本事件，
所以得到的数列为等差数列的概率为 .
故选：A
7. 已知 ，则 （ ）
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A. B. 7 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用条件求出 ，然后可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
由和差化积公式可得 ，
因为 ，所以 ，
由 ，
可得 ，所以 .
故选：C
8. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，点 在椭圆上，连接 并延长交椭圆
于点 .若 ，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义及勾股定理列式求出离心率.
【详解】设 ，由 ，得 ， ，
由椭圆定义得 ，
由 ，得 ，则 ，
解得 ， ，令椭圆 的半焦距为 c，
由 ，得 ，解得 ，
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所以椭圆 的离心率为 .
故选：C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分..在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 设样本空间 ，且每个样本点是等可能的，已知事件 ，则
下列结论正确的是（ ）
A. 事件 A 与 B 为互斥事件 B. 事件 两两独立
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据互斥事件、独立事件的定义和条件概率公式即可解答.
【详解】对于选项 A，因为 ，所以事件 与 不互斥，故 A 错误；
对于选项 B， ，
，故 B 正确；
对于选项 C， 交集为 ，则 ，故 C 错误；
对于选项 D， ，故 D 正确
故选：BD.
10. 已知连续函数 是定义域为 的偶函数，且在区间 上单调递增，则下列说法正确的是
（ ）
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A. 函数 在 上单调递增
B. 函数 在 上单调递增
C. 函数 存 极小值点
D. “ ”是“ ”的充要条件
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用导数确定单调性判断 A；举例说明判断 B；利用极小值的意义，结合偶函数及
单调性判断 C；利用充要条件的意义，结合导数求函数最小值判断 D.
【详解】由定义域在 上的连续函数 在区间 上单调递增，得 ， ，
对于 A， ， ，函数 在 上单调递增，A 正确；
对于 B，取函数 ，显然符合题意，函数 ，
，当 时， ，函数 在 上不单调，B 错误；
对于 C，函数 定义域为 ， ，函数 是偶函数，
令 ，因函数 ， 在 上都是增函数，则 在 上也是增函数，
因 是偶函数，故 在 上是减函数，
因此 是函数 的一个极小值点，C 正确；
对于 D，当 时，依题意， ， ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
故有 ；
而当 时，取 ，得 ，则 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件，D 正确.
故选：ACD
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11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中，空间中的点 满足 ，且
，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的最大值为
C. 若 ，则平面 截该正方体的截面面积的最小值为
D. 若 ，则平面 与平面 夹角的正切值的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断 A；利用空间向量的模
建立方程求出最小值判断 B；作出截面并求出最小面积判断 C；利用面面角的向量求法求解判断 D.
【详解】在棱长为 2 的正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
由 ，得 ，即点 ，
对于 A， ，则点 ， ， ，
，因此 ，A 正确；
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对于 B， ，则 ，即 ，
令 ，则 ，
其中锐角 由 确定，则当 时， 的最大值为 ，B 正确；
对于 C， ， 在边 上，且 ，
因平面 平面 ，设平面 平面 ，
而平面 平面 ，则 ，同理 ，
因此 是平面 截该正方体的截面，
点 到直线 的距离
，当且仅当 时取等号，
，C 错误；
对于 D，因 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，得 ；
又 ，因 ，则 ，
令平面 的法向量 ，则 ，
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令 ，得 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ， ，
当 时， ，当 时， ，
当且仅当 或 时取等号，因 ，此时 最小， ， ，
因此平面 与平面 夹角的正切值的最小值为 ，D 正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据离心率公式和双曲线的 的关系进行求解
【详解】由题知： ，双曲线的渐近线方程为
故答案为
【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质
13. 若函数 有最小值，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数探讨函数 在 上单调性及对应函数值集合，再由给定最值情况求出范围.
【详解】当 时， ，求导得 ，
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函数 在 上单调递增， 在 时的取值集合为 ，
当 时， ，没有最小值，
由函数 在 R 上有最小值，得 在 上单调递减，且 ，
因此 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
14. 已知函数 在区间 上有且仅有 1 个零点和 1 条对称轴，则实数 的取
值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】求出相位的取值范围，再由零点及对称轴情况列出不等式求解.
【详解】当 时， ，
由函数 在区间 上有且仅有 1 个零点和 1 条对称轴， ，
得 或 ，解得 或 ，
则 ，所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某景区经过提质改造后统计连续 5 天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下：
3 月 5 3 月 6 3 月 7 3 月 8 3 月 9 日期
日 日 日 日 日
第 x 天 1 2 3 4 5
参观人数 y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9
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（1）建立 关于 的回归直线方程，预测第 10 天进入该景区参观的人数；
（2）该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为 、 ，且出景区
与进入景区选择相同的门的概率为 ，出景区与进入景区选择不同的门的概率为 .假设游客从东门，西门
出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率.
附：参考数据：
参考公式：回归直线方程 ，其中 ， .
【答案】（1） ，约为 千人；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用最小二乘法公式求出回归直线方程，再估计第 10 天进入该景区参观的人数.
（2）利用全概率公式分别求出甲，乙从西门出景区的概率，再利用相互独立事件概率的乘法公式求解.
【小问 1 详解】
依题意， ，而 ，
则 ， ，
因此 ，当 时， ，
所以 关于 的回归直线方程为 ，第 10 天进入该景区参观的人数约为 千人.
【小问 2 详解】
记“甲从西门进入景区”为事件 ，“甲从西门出景区”为事件 ，“乙从西门出景区”为事件 ，
， ，
由全概率公式得 ，同理 ，
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所以甲，乙两名游客都从西门出景区的概率 .
16. 如图，在四棱锥 中，底面四边形 是正方形， 平面 ，二面角 为
.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定推理得证.
（2）利用（1）的信息确定二面角的平面角，再作出线面角，利用几何法求出正弦值.
【小问 1 详解】
在四棱锥 中，由 平面 ， 平面 ，得 ，
由四边形 是正方形，得 ，而 平面 ，
因此 平面 ，又 平面 ,
所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
由（1）知， 平面 ，而 ，则 平面 ，又 平面 ，
于是 ， 为二面角 的平面角，则 ，
令正方形 的棱长为 4，而 ，则 ，
取 中点 ，连接 ，则 ，由（1）知平面 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
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是直线 与平面 所成的角，而 ，
，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17. 如图，在 中， 分别是 上的点，且 与 交于点 ，已知
，且 .
（1）若 ，求 的长；
（2）求 的长.
【答案】（1） （2）2
【解析】
【分析】（1）在 中，利用余弦定理求解；
（2）在 上取点 ，使得 ，过点 作 ，由三角形全等可得 ，进而
可得 ，则 ，运算得解.
【小问 1 详解】
在 中， ， ， ，
，
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.
【小问 2 详解】
如图，在 上取点 ，使得 ，又 ， ，
，则 ，
所以 ，
过点 作 ，垂足为 ，
则 ，
所以 .
18. 已知函数 在 处的切线与直线 垂直.
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 对任意 恒成立，求实数 的值；
（3）对于函数 ，规定： ，
叫做函数 的 阶导数 .若对任意 恒成立，求满足条件的正
整数 的最小值.
【答案】（1）答案见详解
（2）
（3）3
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得 ，进而利用导数求单调区间；
（2）构建 ，可知 对任意 恒成立，注意到 ，可得
， ，并代入检验充分性；
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（3）可设 ，根据求导法则结合数列知识可得 ， ，分析
可知 对任意 恒成立，结合二次函数运算求解即可.
【小问 1 详解】
由题意可知：函数 的定义域为 ，则 ，
若函数 在 处的切线与直线 垂直，
则 ，解得 ，所以 ，
令 ，则 ，解得 或 ；
令 ，则 ，解得 ；
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【小问 2 详解】
构建 ，则 ，
由题意可知： 对任意 恒成立，且 ，
则 ，解得 ，
若 ，则 ，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 ，即 对任意 恒成立，
且 对任意 恒成立，
可知 对任意 恒成立，所以 符合题意；
综上所述： .
【小问 3 详解】
由（1）可知： ，
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根据求导法则可设 ，其中 ，
则 ，
则
可知数列 是以首项为 2，公差为 2 的等差数列，则 ，
对于 ，则 ，
当 时，
，
且 符合上式，所以 ，
则 ，
若对任意 恒成立，
则 对任意 恒成立，
且 的图象开口向上，对称轴为 ，
可知 在 内单调递增，则 ，解得 ，
所以满足条件的正整数 的最小值为 3.
19. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 作圆 的两条切线 ，且 分别与 相交于点 ， （异于点 ）.
（ⅰ）若 ，求 面积；
（ⅱ）证明：直线 过定点.
【答案】（1）
（2） ；证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据焦半径公式结合题设条件可得关于 的方程组，求出解后可得抛物线方程；
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（2）（ⅰ）设 ，再根据 ，得出 k，
再联立方程得出点 A,B 的坐标计算得出面积；（ⅱ）设直线 联立得出 ，根据
可得 ，由此可证直线 过定点.
【小问 1 详解】
点 在 上，且 .
由题意得： ，解得 ，
所以抛物线 C 的方程为 ；
【小问 2 详解】
（ⅰ）因为 ，设 ，
设圆心 O 到直线 的距离为 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，化简得出 ，
所以 或 ；
联立直线 与 ，得出 ， 所以 ；
联立直线 与 ，得出 ， 所以 ；
所以
所以 ；
（ⅱ）设直线 ，
联立得 ，得 ，则 ，
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的切线斜率为 ，
是切线，所以
即 ，计算得 ，
所以 ，化简得 ，
直线 ，过定点 .
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