湖南省常德市桃源县一中2025届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共40分）
1. 已知角 的始边为 轴非负半轴，终边经过点 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．
【详解】∵角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点，
∴，
则.
故选：D
2. 在（其中是虚数单位）的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项展开式中通项的特征即可求解.
【详解】由二项式定理得，通项公式为，
由得，，由得，
∴，，
∵，，
∴的系数为.
故选：C.
3. 已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求.
【详解】
因为，所以，易知，
结合图形，，，则，故.
所以在直角三角形中可得，故.
故选：
4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数以及函数，分别利用导数研究其单调性，进而根据单调性比较函数值的大小.
【详解】令，，
当时，，，，单调递增，
，即，，即；
令，
，
令，
令，，
当时，，单调递增，
，
在上单调递减，，
，在上单调递减，
，即，
综上所述.
故选:C.
5. 已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，则存在，使得成立，再利用分离参数法求解即可.
【详解】由成立，可得，
设，
则存在，使得成立，
即，
又，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以实数a的取值范围是.
故选：C.
6. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题先求出椭圆中的长半轴长与半焦距，然后在再分别由勾股定理，椭圆和双曲线的定义求解双曲线的实半轴长，即可求出双曲线方程．
【详解】椭圆中，，双曲线的实半轴长，
在三角形中，
，
所以
，
所以，
即，
所以，由题焦点在轴上，
故双曲线方程为，
故选：D．
7. 已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项，设数列满足，则数列的前项和为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，得到，进而得到，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，且是与的等比中项，可得，
即，解得，所以，
又由，
可得.
故选：C.
8. 如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，服从二项分布，，代入公式可得结果．
【详解】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为，
每一层均要乘以，共做10次选择，
故服从二项分布，，
又，
令最大，
则，
即,
解得，又因为，所以,
所以，
，且．
故选：B．
二、多选题（共18分）
9. 已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的图像关于点对称B. 的图像关于直线对称
C. 在上单调递增D. 在区间上的值域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据辅助角公式可得，由周期得，进而代入验证即可求解AB，利用整体法即可求解CD.
【详解】，由于最小正周期为，故，故，
对于A, ,故的图像关于点对称，A错误，
对于B，，的图像关于直线对称，故B正确，
对于C，当时，，故在上单调递增，C正确，
对于D，时，，故，故，D正确，
故选：BCD
10. 已知圆 ，直线 ，则（ ）
A. 直线 恒过定点
B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 1
C. 直线与圆可能相切
D. 若圆与圆 恰有三条公切线，则
【答案】AD
【解析】
【分析】本题先根据直线l的方程判断出直线l恒过的定点，再判断该定点与圆的位置关系，可解决选项A和选项C的问题；根据圆心到直线的距离判断满足条件点的个数，可解决选项B的问题；由选项D的条件可得两圆外切，由此可求得参数a的值.
【详解】由直线，得 ，
因为，则满足 ，解得 ，
所以直线恒过定点 ，故选项A正确.
因为当时，直线为:，
则圆心 到直线的距离为 ，
则此时直线与圆相交所得劣弧的顶点到直线的距离，
所以圆上只有 2 个点到直线的距离为 1，故选项B错误.
因为直线过定点 ，又 ，
所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故选项错误.
由圆的方程 可得，，
所以圆心为 ，半径为 ，
因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，
则 ，解得 ，故选项正确.
故选：AD.
11. 四棱锥的底面为正方形，PA与底面垂直，，，动点M在线段PC上，则（ ）
A. 不存在点M，使得
B. 的最小值为
C. 四棱锥的外接球表面积为5π
D. 点M到直线AB的距离的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】当点为中点时，利用垂直关系的转化，即可判断A；利用展开图，利用数形结合求的最小值，即可判断B；利用几何体与外接球的关系，即可求解球心，并求外接球的表面积，即可判断C；利用异面直线的距离的转化，即可判断D.
【详解】对于A：连接BD，且，如图所示，当M在PC中点时，
因为点O为AC的中点，所以，因为平面ABCD，
所以平面ABCD，又因为平面ABCD，所以，
因为ABCD为正方形，所以．
又因为，且BD，平面BDM，所以平面BDM，
因为平面BDM，所以，所以A错误；
对于B：将和所在的平面沿着PC展开在一个平面上，如图所示，
和是全等的直角三角形，，，
连结，，
则的最小值为BD，直角斜边PC上高为，即，
直角斜边PC上高也为，所以的最小值为，所以B正确；
对于C：易知四棱锥的外接球直径为PC，
半径，表面积，所以C错误；
对于D：点M到直线AB的距离的最小值即为异面直线PC与AB的距离，
因为，且平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，
所以直线AB到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离，过点A作，
因为平面ABCD，面，所以，
又，且，面，
故平面PAD，平面PAD，所以，
因为，且PD，平面PCD，所以平面PCD，
所以点A到平面PCD的距离，即为AF的长，如图所示，
在中，，，可得，
所以由等面积得，即直线AB到平面PCD的距离等于，所以D正确，
故选：BD．
三、填空题（共15分）
12. 在等差数列中，数列的前n项和为，，，若，则的最小值为________.
【答案】17
【解析】
【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再由求出的各组值，计算比较得解.
【详解】在等差数列中，，解得，而，则，
数列的公差，则，由，得，
而，则或或或，
所以当时，的最小值为.
故答案为：17
13. 对，都有恒成立，那么的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用分离常数法求出，然后求出最值，再根据恒成立条件即可得
【详解】由题意可知，恒成立，
当时，恒成立，
当时，，
而，当且仅当时，等号成立，所以；
综上所述：.
故答案为：
14. 已知函数，若，，且，则的最小值是______
【答案】8
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解.
【详解】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，又，所以函数单调递增，
又，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，即，，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（共77分）
15. 已知的内角，，的对边分别为，，，若．
（1）求值；
（2）若的面积为，求周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，代入已知等式，利用正弦定理和余弦定理角化边，可求的值；
（2）已知条件结合三角形面积公式化简求出，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式得，由，得，可求周长的取值范围．
【小问1详解】
∵，
由正弦定理可得：，
由余弦定理知：，，
可得，
则有，由，解得.
【小问2详解】
中由余弦定理知，又中有，
∴，化简得，
∵，∴.
又，由正弦定理得：，，
，
因在中，，，，
所以，当时，等号成立，
∴周长的取值范围是．
16. 设函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数）
【答案】（1）增区间为，减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间；
（2）由可得，令，其中，由题意可知，直线与函数在上的图象有两个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，该函数的定义域为，
，令，可得，
由，可得；由，可得，
故当时，函数的增区间为，减区间为.
【小问2详解】
当时，由可得，
令，其中，
由题意可知，直线与函数在上的图象有两个公共点，
，
令，则与同号，
则对任意的恒成立，
所以，函数在上为增函数，且，
当时，，此时，，此时函数单调递减，
当时，，此时，，此时函数单调递增，
所以，，
又因为，，显然，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个公共点，
因此，实数的取值范围是.
17. 已知数列满足，（，）.又数列满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若数列是严格增数列，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的递推公式，裂项变形，再利用等比数列定义判断即得.
（2）由（1）求出数列的通项，再由单调性列出不等式，分离参数，借助单调性求解即得.
【小问1详解】
当时，，即，亦即，
又，即，所以数列是等比数列.
【小问2详解】
由（1），，即，，
依题意，对任意的正整数成立，
即对任意的正整数成立，
而数列严格增，且对任意的正整数成立，
因此，又，解得，
所以的取值范围是.
18. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
（1）若为线段中点，求证：平面．
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值.
小问1详解】
取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为
19. 某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示.
（1）若所有考生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数；
（2）复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为，后两题每题能答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分（含20分）的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大?
附：若随机变量X服从正态分布，则：，.
【答案】（1）182人；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先根据频率分布直方图平均数估算公式求出样本平均数，然后根据正态分布的性质求得概率，即可求解；
（2）根据题意确定的取值，并求出对应的概率，利用互斥事件加法概率公式求解即可.
【小问1详解】
由题意得，样本平均数的估计值为
，
因为学生初试成绩服从正态分布，其中则，
所以，
所以估计初试成绩不低于85分的人数为人.
【小问2详解】
记该考生的复试成绩为，则能进入面试的复试成绩为20分，25分，30分，
，
，
，
所以该考生进入面试的概率为.