湖南省常德市2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

这是一份湖南省常德市2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了考试结束后，只交答题卡， 已知实数，则， 下列命题正确的是， 若，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

2022~2023学年度常德市高一年级质量检测考试
数学（试题卷）
满分150分，时量120分钟
注意事项：
1.所有试题的答案请在答题卡的指定区域内作答.
2.考试结束后，只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交、并、补运算法则，直接进行运算即可.
详解】,又
.
故选：
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先由化简计算求出复数，从而可求出其模.
【详解】由，
得，
所以，
故选：B
3. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，点为角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义可知，，可求得答案.
【详解】因为点是角终边上一点，
所以.
故选：D.
4. 在正方体中，E，F分别是线段，的中点，则异面直线，EF所成角余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，连接，确定或其补角是异面直线EF与所成角，在直角中，计算得到答案.
【详解】如图所示：F是线段的中点，连接交于F，
由正方体的性质知，知异面直线，EF所成角即为直线，EF所成角，
故或其补角是异面直线EF与所成角.
设正方体边长为2，在直角中，，，
故
故选：C

5. 指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由指数函数图象判断出，进而分析出二次函数的图像与轴的两个交点，
即可解出.
【详解】由指数函数的图象可知：.
令，解得，
则，
对应只有B选项符合题意.
故选：B
6. 已知平面向量，则在方向上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量数量积找到在方向上的投影为，再结合投影向量的定义求解.
【详解】在方向上的投影为，
又方向上的单位向量为，
故在方向上的投影向量是，
故选：A.
7. 已知实数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数和幂函数的单调性，借助中间量判断即可比较，，的大小．
【详解】，，，
，，函数在上为增函数，，
，即，
又，，
，
故选：C．
8. 已知函数满足，若函数与图象有个交点，其坐标为，则（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由可得的图象关于直线对称，再可判断出的图象也关于直线对称，从而可得答案.
【详解】因为函数满足，
所以的图象关于直线对称，
令，因为，
所以的图象关于直线对称，
函数与图象有个交点，其坐标为，
若与关于直线对称，与关于直线对称，
与关于直线对称， ……，
则，
令，则，
所以
所以，
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“”的否定是“”
C. 的充要条件是
D. 若，则至少有一个大于1
【答案】BD
【解析】
【分析】根据必要条件与充分条件的概念、全称量词的否定、不等式的性质依次判定即可.
【详解】对于A选项，若则得不到，故不是充分条件；
对于B选项，由全称量词的否定可判断其正确；
对于C选项，若则得不到，故不是充要条件，C选项错误；
对于D选项，若均不大于1，则，故至少有一个大于1，故D选项正确；
故选：BD
10. 若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 事件与不互斥
C. 事件与相互独立 D. 事件与不一定相互独立
【答案】BC
【解析】
【分析】利用对立事件概率和为可判断错误；根据互斥事件不可能同时发生，可判断正确；根据相互独立事件的定义和性质，可以判断正确，错误.
【详解】故错误；
又所以事件与不互斥，故正确；
则事件与相互独立，故正确；
因为事件与相互独立，所以事件与一定相互独立，故错误.
故选：
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若的最小正周期为，则
B. 若，则是的对称中心
C. 若在上单调递增，则
D. 若在上恰有2个零点，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正弦函数的周期公式可判断A；求出可判断B；由可得，求解可判断C；由可得，求解可判断D.
【详解】对于A，若的最小正周期为，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，
所以，所以是的对称轴，故B错误；
对于C，时，，
因为在上单调递增，则，解得，故C正确；
对于D，时，，
若在上恰有2个零点，则，解得，故D错误.
故选：AC.
12. 正八面体是由8个等边三角形组成的几何体.如图所示，正八面体中，下列结论正确的是（ ）

A.
B. 平面
C. 与平面所成角为
D. 该几何体的棱长为3时其内切球的体积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A. 根据正八面体是由8个等边三角形组成的几何体，易得四边形ACFE是正方形判断；B.由线面垂直的判定定理判断；C.由是直线与平面所成的角求解判断；D.设内切球的半径为r，易知内切球的球心为O，利用该几何体的体积求得内切球的半径判断.
【详解】A. 如图所示：

连接EC，BD，相交于点O，因为正八面体是由8个等边三角形组成的几何体，
所以AF过点O，即CE与AF相交于点O，
所以A，C，F，E四点共面，
又，所以四边形ACFE正方形，
所以，故正确；
B. 因为正八面体是由8个等边三角形组成的几何体，所以，
又O为中点，所以，同理，
又，平面，
所以平面，故正确；
C. 易知是直线与平面所成的角，设，
则，故错误；
D.设内切球的半径为r，易知内切球的球心为O，
则该几何体的体积为，解得，
所以，故正确，
故选：ABD
【点睛】方法点睛：利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用诱导公式化简条件后，分子分母同时除以进一步计算即可.
【详解】由
又
故答案为:
14. 设正实数满足，则的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由题知，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】因为正数满足，
所以，，
所以，，
当且仅当，即时等号成立，
所以，的最小值为.
故答案为：
15. 已知圆锥的底面直径为2，侧面展开图为半圆，则圆锥的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为，由条件可得，解出，然后可算出答案.
【详解】设圆锥的母线长为，
因为圆锥的底面直径为2，侧面展开图为半圆
所以，即
所以圆锥的表面积为
故答案为：
16. 在中，已知为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】易得，以点为原点，建立平面直角坐标系，再利用平面向量数量积得坐标表示计算即可.
【详解】由，
得，
故，所以，
如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，
则，设，
则，
故，
所以，
当时，取得最小值，
所以的最小值为.
故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，求函数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换公式对函数化简可得，然后由可求出函数的增区间，
（2）由，得，然后根据正弦函数的性质可求出的取值范围
【小问1详解】
由已知得：

，
，，
单调递增区间为：
【小问2详解】
当，
所以当，即时，取得最小值
当，即时，取得最大值，
所以的取值范围为
18. 2023年中国经济将会进一步发展，但也会面临一些挑战.某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.如图是该地120家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图：

（1）确定的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的第50百分位数（结果保留整数）；
（2）按专项贷款金额进行分层抽样，从这120家中小微企业中随机抽取20家，记专项贷款金额在内应抽取的中小微企业数为.
①求的值；
②从这家中小微企业中随机抽取3家，求这3家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率.
【答案】（1），第50百分位数为158万元
（2）①；②
【解析】
【分析】根据小矩形面积之和等于，可求出的值，再由频率分布直方图中位数的计算方式求解即可；
①先确定抽取比例，再由分层抽样的定义求解即可；
②先求出这家中小微企业中随机抽取家的可能情况，再求出这家中小微企业的专项贷款金额都在内的情况，利用古典概型概率计算公式求解即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图，得，
解得.
设第50百分位数为，专项贷款金额在内的频率为0.45，
在内的频率为0.3，.
所以第50百分位数在内，所以（，解得，
所以估计这120家中小微企业的专项贷款金额的第50百分位数为158万元.
【小问2详解】
①由题意，得抽取比例为，.
专项贷款金额在内的中小微企业有家，
所以应抽取家，所以.
②在抽取的5家中小微企业中，专项贷款金额在[200，250）内的有家，
记为，专项贷款金额在内的有家，记为.
从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为，，共10种，
其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200，250）内的情况为，，共4种，
所以所求概率
19. 已知三个内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的内切圆面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和得到，结合辅助角公式得到；
（2）在（1）的基础上求出，结合基本不等式求出，从而得到内切圆半径的最大值，求出内切圆面积的最大值.
【小问1详解】
，由正弦定理得：.
即，
，
，
，可得，
所以.
【小问2详解】
由（1）得为直角三角形，，
如图所示，设直角三角形内切圆圆心为，切点分别为，
则，且，
所以，
故，解得，

故的内切圆半径.
由知，
当且仅当时，等号成立，
故取最大值，此时的内切圆面积为.
20. 某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线，其中是线段，曲线段是函数（，是常数）的图象，且.

（1）写出注射该药后每毫升血液中药物含量关于时间的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中药物含量不少于时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次开始注射到达时，此刻该人每毫升血液中药物含量为多少？（参考数据：）
【答案】（1）
（2）13点 （3）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象分段求解函数解析式即可；
（2）根据题意列出不等式，求解出答案即可；
（3）分别求解出第二次注射后每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果.
【小问1详解】
当时，，
当时，把代入是常数
得：，解得：
【小问2详解】
设第一次注射药物后最迟过小时注射第二次药物，其中.
则，
解得：第一次注射药物后开始第二次注射药物，
即最迟13点注射药物.
【小问3详解】
第二次注射药物后，
每毫升血液中第一次注射药物的含量：
每毫升血液中第二次注射药物的含量：，
所以此时两次注射药物后的药物含量为：.
21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，面为棱上一动点.

（1）平面与平面是否相互垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值.
【答案】（1）垂直，证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）由平面，得到，再由四边形是正方形，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；
（2）连接交于点，过作于点，过作于点，连接，得到为二面角的平面角求解.
【小问1详解】
垂直，理由如下：
证明：平面平面，
四边形是正方形，，
平面， 平面，
平面，平面，
平面， 平面，
平面，平面平面平面.
【小问2详解】
连接交于点，过作于点，
过作于点，连接；

面，面，
又面
又面，，
面面
面面则，
综上，为二面角的平面角，
为的中点，结合，，
设，则，易知，
在Rt中，，
二面角的余弦值为.
22. 已知函数.
（1）判断函数的单调性并加以证明；
（2）若函数在区间上的最大值为5，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数在定义域上单调递增；证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再利用定义法证明即可；
（2）设结合（1）的结论得到，设，，结合对勾函数的性质求出的取值范围，则原问题等价于在区间的最大值为，求实数的取值范围，分、、三种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.
【小问1详解】
函数在定义域上单调递增；
证明：由，则，即，解得，
所以函数的定义域为，
设，则

，，
，
，
，，
所以函数在定义域上单调递增；
【小问2详解】
设，由（1）可知在区间单调递增，
，即，
设，，则在单调递减，单调递增，
所以；
原问题等价于在区间的最大值为，求实数的取值范围；
当时，，
，得，不合题意，舍去；
当时，，此时命题成立；
当时，，
则或，
解得，
综上可得，实数的取值范围为.