湖南省常德市2021届高三下学期一模数学试题（含答案）

2021年湖南省常德市高考数学模拟试卷

一､选择题(共8小题).

1. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

2. 已知复数，其中是虚数单位，则复数等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

3. 函数在处的切线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

4. 某学校高一年级星期五随机安排6节课，上午安排数学2节，语文和音乐各1节，下午安排英语､体育各1节，则2节数学恰好相邻的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

5. 2021年3月全国两会上，“碳达峰”碳中和”备受关注.为应对气候变化，我国提出“二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和”等庄严目标承诺.在今年的政府工作报告中，“做好碳达峰､碳中和工作”被列为2021年重点任务之一；“十四五”规划也将加快推动绿色低碳发展列入其中.我国自1981年开展全民义务植树以来，全国森林面积呈线性增长，第三次全国森林资源清查的时间为1984﹣1988年，每5年清查一次，历次清查数据如表：

经计算得到线性回归直线为(参考数据：)，据此估算我国森林面积在第几次森林资源清查时首次超过3亿平方米（    ）

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

【答案】C

6. 哥隆尺是一种特殊的尺子，对哥隆尺数码的研究在雷达和声纳技术､模式匹配和信息检索､同步光电探测器的代码､射电天文学等有广泛的应用，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6，图2的哥隆尺的刻度4到12之间增加一个整数刻度n，使得能一次性度量的长度个数最多，则整数刻度n的值为（    ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

【答案】C

7. 已知椭圆的左､右焦点为，，过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

8. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

二､多选题(共4小题).

9. 已知函数()的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）

A. 函数的最小正周期为

B. 为函数的一个对称中心

C.

D. 函数向右平移个单位后所得函数为偶函数

【答案】ACD

10. 下列不等式中成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 命题的否定

B. 二项式的展开式的各项的系数和为32

C. 已知直线平面，则“”是”的必要不充分条件

D. 函数图象关于直线对称

【答案】AD

12. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是（    ）

A. 三棱锥的体积不变

B. 平面

C.

D. 平面平面

【答案】ABD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知数列满足，且，，则=___________.

【答案】4

14. 已知向量=，=，若，且，则，=___________.

【答案】

15. 已知边长为1的正的三点都在球的球面上，的延长线与球面的交点为，若三棱锥的体积为，则球的体积为___________.

【答案】

16. 定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为___________.

【答案】

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 在中，角所对的边分别为，已知，且．

（1）求角；

（2）延长至，使得，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）最大值为．

18. 已知数列首项为，是的前项和.

（1）若.求数列的通项；

（2）若，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

19. 为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员从某市随机选取20000名志愿者，并将该疫苗注射到这些人体内，独立环境下试验一段时间后检测这些人的某项医学指标值，统计得到如表频率分布表：

（1）根据频率分布表，估计20000名志愿者该项医学指标平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；

（2）若认为注射该疫苗的人群的此项医学指标值X服从正态分布，用（1）中的平均值近似代替，且，且首次注射疫苗的人该项医学指标值不低于14时，则认定其体内已经产生抗体；现从该市随机抽取3人进行第一次疫苗注射，求能产生抗体的人数的分布列与期望．

【答案】（1）15.88；（2）分布列答案见解析，数学期望：．

20. 如图，已知斜三棱柱底面是边长2的正三角形，为所在平面上一点且四边形是菱形，，四边形为正方形，平面平面.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

21. 已知在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与到定直线的距离的比等于常数2.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若直线与曲线的另一个交点为，以为直径的圆交直线于两点，设劣弧所对的圆心角为，求证：为定值.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

22. 设函数，其中为常数，且.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设函数，是函数的两个极值点，证明：.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.