高考数学第二轮复习专题练习 专题7.7 复数的运算大题专项训练（30道）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题7.7 复数的运算大题专项训练（30道）（教师版），共16页。
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1．（2023·高一课时练习）已知复数z=-21+3i，求1+z+z2+⋯+z2022的值．
【解题思路】由题知z=-1+3i2，z2=-1-3i2，z3=1，z+z2+z3=0，进而根据周期性求解即可.
【解答过程】解：因为z=-21+3i=-21-3i1+3i1-3i=-1+3i2，
所以z2=-1+3i22=1-3-23i4=-1-3i2
所以z3=-1+3i2⋅-1-3i2=1-3i24=1
所以，z+z2+z3=-1+3i2+-1-3i2+1=0，
所以1+z+z2+⋯+z2022=1+674z+z2+z3=1
2．（2023·高一课时练习）已知非零复数z1，z2满足z1+z2=z1-z2，求证：z1z22一定是负数．
【解题思路】设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，根据z1+z2=z1-z2化简得ac+db=0，
而z1z2=a+bic+di=bc-adc2+d2i，根据非零复数z1,z2则可判断ad-bc≠0，则z1z2是纯虚数，则z1z22是负数.
【解答过程】设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)
z1+z2=z1-z2，即a+c+b+di=a-c+b-di
则(a+c)2+(b+d)2=(a-c)2+(b-d)2
化简得ac+db=0
∴z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=bc-adc2+d2i，
又bc-ad≠0，否则z1,z2中至少有一个为零，
则z1z2是纯虚数,∴z1z22是负数.
3．（2023·高三课时练习）已知z是复数，z+2i、z2-i均为实数（i为虚数单位），且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【解题思路】设z=x+yi x、y∈R，化简z+2i、z2-i并根据其均为实数求得参数x，y，化简(z+ai)2并根据其在复平面上对应的点在第一象限列不等式即可求得a的范围.
【解答过程】设z=x+yi x、y∈R，∵z+2i=x+y+2i为实数，∴y=-2，∴z=x-2i.
∵z2-i=x-2i2-i=15x-2i2+i=152x+2+15x-4i为实数，∴x=4．∴z=4-2i．
∵z+ai2=4+a-2i2=12+4a-a2+8a-2i在复平面上对应的点在第一象限， ∴12+4a-a2>08a-2>0，解得20，所以x=2，即z=6-2i，
则iz=i(6-2i)=2+6i，
所以复数iz的虚部为6．
（2）因为f(x)=x2+2x=(x+1)2-1，所以当x=-1时，f(x)取得最小值，
此时，z=-3-2i，
则z1+2i=-3+2i1+2i=-(3+2i)(1-2i)5=-75+45i，
所以z1+2i的实部为-75．
12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z=1-i2+31+i2-i．
(1)求z的共轭复数；
(2)若az+b=1-i，求实数a，b的值．
【解题思路】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可；
（2）根据复数相等的定义进行求解即可.
【解答过程】（1）z=1-i2+31+i2-i=1-2i-1+3+3i2-i=3+i2+i2-i2+i=6+3i+2i-15=1+i，
所以z的共轭复数为1-i；
（2）az+b=1-i⇒a(1+i)+b=1-i⇒a+b+ai=1-i⇒a+b=1a=-1⇒a=-1,b=2.
13．（2023·高一课时练习）复数z=(1+i)2+2i1-i，其中i为虚数单位．
(1)求z及z；
(2)若z2+az+b=2+3i，求实数a，b的值．
【解题思路】（1）首先根据复数的运算求解出复数z，进而根据复数的模长公式求解z；
（2）首先将z=-1+3i代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a，b的值.
【解答过程】（1）∵z=(1+i)2+2i1-i=1+2i+i2+2i1+i1+i1-i=2i+i1+i=-1+3i，
∴z=(-1)2+32=10．
（2）由（1）可知z=-1+3i，z=-1-3i
由z2+az+b=2+3i，得：(-1+3i)2+a(-1-3i)+b=2+3i，
即(-8-a+b)+(-6-3a)i=2+3i，∴-8-a+b=2,-6-3a=3.，解得a=-3,b=7.
14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z是复数，z+2i（i为虚数单位）为实数，且z+z=8.
(1)求复数z；
(2)若复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）设z=c+di（c，d∈R），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；
（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.
【解答过程】（1）根据题意，设复数z=c+di（c，d∈R），
则z+2i=c+(d+2)i为实数，即d+2=0，解得d=-2，
所以z=c-2i，z=c+2i.
又∵z+z=c+2i+c-2i=8，∴2c=8，得c=4，
所以复数z=4-2i.
（2）由（1）知，(z+ai)2=(4-2i+ai)2=16-(a-2)2+8(a-2)i对应的点在第四象限，
所以16-a-22>0,8a-2