高考数学第二轮复习专题练习 专题7.6 复数的三角表示（重难点题型检测）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题7.6 复数的三角表示（重难点题型检测）（教师版），共14页。
1．（3分）（2023·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ）．
A．复数z的任意两个辐角之间都差2π的整数倍；
B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；
C．实数0不能写成三角形式；
D．复数0的辐角主值是0．
【解题思路】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0辐角判断各项的正误.
【解答过程】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为2π整数倍，错误；
B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；
C：0×(csθ+isinθ)=0其中θ∈R，故实数0能写成三角形式，错误；
D：复数0的辐角主值不唯一，错误.
故选：B.
2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）复数z=cs-2π5+isin-2π5的辐角主值为（ ）
A．8π5B．-8π5C．2π5D．-2π5
【解题思路】设出辐角为θ，利用公式计算出θ=-25π+2kπ，k∈Z，结合辐角主值的取值范围求出答案.
【解答过程】设复数z=cs-2π5+isin-2π5的辐角为θ，
则tanθ=sin-2π5cs-2π5=tan-2π5，
所以θ=-25π+2kπ，k∈Z，
因为argz∈0,2π，
所以当k=1时，满足要求，argz=8π5
所以辐角主值为8π5.
故选：A.
3．（3分）复数12-32i的三角形式是（ ）
A．cs-π3+isin-π3B．csπ3+isinπ3
C．csπ3-isinπ3D．csπ3+isin5π6
【解题思路】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式.
【解答过程】由cs(5π3)=12,sin(5π3)=-32，则12-32i=cs(5π3)+isin(5π3)=cs(2π-π3)+isin(2π-π3)=cs(-π3)+isin(-π3).
故选：A.
4．（3分）（2023·高一课时练习）将复数1+3i对应的向量ON绕原点按顺时针方向旋转π2，得到的向量为ON1，那么ON1对应的复数是
A．3-iB．3+iC．-3-iD．-3+i
【解题思路】先将复数1+3i写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可.
【解答过程】复数1+3i的三角形式是2csπ3+isinπ3,向量ON1对应的复数是
2csπ3+sinπ3csπ2+isinπ2=2cs-π6+isin-π6=3-i，
故选：A.
5．（3分）（2023·高一课时练习）已知i为虚数单位，z1=2cs60°+isin60°，z2=22sin30°-ics30°，则z1⋅z2等于（ ）
A．4cs90°+isin90°B．4cs90°+isin90°
C．4cs30°-isin30°D．4cs0°+isin0°
【解题思路】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可.
【解答过程】∵z2=22(sin30°-ics30°)=22(cs300°+isin300°)，
∴z1⋅z2=2(cs60°+isin60°)⋅22(cs300°+isin300°)
=4cs60°+300°+isin60°+300° =4cs360°+isin360°
=4cs0°+isin0°.
故选：D.
6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）棣莫弗公式(csx+isinx)n=csnx+isinnx（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣茣弗公式可知，复数csπ6+isinπ67在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解题思路】根据棣莫弗公式及诱导公式代入计算即可．
【解答过程】解：由已知得csπ6+isinπ67=cs7π6+isin7π6=csπ+π6+isinπ+π6=-csπ6-isinπ6=-32-12i，
∴复数csπ6+isinπ67在复平面内所对应的点的坐标为-32,-12，位于第三象限．
故选：C．
7．（3分）（2022·高一课时练习）把复数z1与z2对应的向量OA，OB分别按逆时针方向旋转π4和5π3后，重合于向量OM且模相等，已知z2=-1-3i，则复数z1的代数式和它的辐角主值分别是（ ）
A．-2-2i，3π4B．-2+2i,3π4C．-2-2i,π4D．-2+2i,π4
【解题思路】由题可知z1csπ4+isinπ4=z2cs5π3+isin5π3，即可求出z1，再根据z1对应的坐标即可得出它的辐角主值.
【解答过程】由题可知z1csπ4+isinπ4=z2cs5π3+isin5π3，
则z122+22i=-1-3i12-32i=-2，
∴z1=-222+22i=-221+i=-221-i1+i1-i=-2+2i，
可知z1对应的坐标为-2,2，则它的辐角主值为3π4.
故选：B.
8．（3分）（2022春·福建福州·高二期末）已知i为虚数单位，若z1=r1(csθ1+isinθ1)，z2=r2(csθ2+isinθ2)， ⋅⋅⋅，zn=rn(csθn+isinθn)，则z1z2⋅⋅⋅zn=r1r2⋅⋅⋅rn[csθ1+θ2+⋅⋅⋅+θn+isinθ1+θ2+⋅⋅⋅+θn.特别地，如果z1=z2=⋅⋅⋅=zn=r(csθ+isinθ)，那么[r(csθ+isinθ)]n=rn(csnθ+isinnθ)，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（ ）
A．若z=csπ6+isinπ6，则z4=-12+32i
B．若z=csπ5+isinπ5，则z5=1+i
C．若z1=2(cs7π12+isin7π12)，z2=3(cs5π12+isin5π12)，则z1z2=-6+6i
D．若z1=3(csπ12-isinπ12)，z2=4(csπ4+isinπ4)，则z1z2=6+6i
【解题思路】A. z4=cs4π6+isin46π =-12+32i，所以该选项正确；
B. z5=csπ+isinπ=-1，所以该选项错误；
C. z1z2=6(csπ+isinπ)=-6，所以该选项错误；
D. z1z2=12(cs136π+isin136π)=63+6i.所以该选项错误.
【解答过程】A. 若z=csπ6+isinπ6，则z4=cs4π6+isin46π =-12+32i，所以该选项正确；
B. 若z=csπ5+isinπ5，则z5=csπ+isinπ=-1，所以该选项错误；
C. 若z1=2(cs7π12+isin7π12)，z2=3(cs5π12+isin5π12)，则z1z2=6(csπ+isinπ)=-6，所以该选项错误；
D. z1=3(cs23π12+isin23π12)，z2=4(csπ4+isinπ4)，则z1z2=12(cs136π+isin136π)=63+6i.所以该选项错误.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高一假期作业）以下不是复数-1-3i的三角形式是（ ）
A．-2csπ3+isinπ3B．2cs-2π3+isin-2π3
C．2sin7π6+ics7π6D．2cs7π6+isin7π6
【解题思路】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．
【解答过程】解：-1-3i=2-12-32i=2cs-2π3+isin-2π3，所以B正确，而-1-3i=2-12-32i=2sin7π6+ics7π6，故C正确.
故选：AD.
10．（4分）（2022·高一单元测试）已知单位向量OZ1、OZ2分别对应复数z1、z2，且OZ1⋅OZ2=0，则z1z2可能为（ ）
A．iB．1C．-1D．-i
【解题思路】根据题意，设复数z1=csθ1+isinθ1，z2=csθ2+isinθ2，计算可得z1z2=±i，即可选出答案.
【解答过程】因为单位向量OZ1、OZ2分别对应复数z1、z2，
设复数z1=csθ1+isinθ1，z2=csθ2+isinθ2，
因为OZ1⋅OZ2=0，所以OZ1⊥OZ2，即θ1-θ2=±π2，
所以z1z2=csθ1+isinθ1csθ2+isinθ2=csθ1-θ2+isinθ1-θ2=cs±π2+isin±π2=±i，
故选：AD.
11．（4分）（2022春·江苏盐城·高一阶段练习）任何一个复数z=a+bi（其中a,b∈R，i为虚数单位）都可以表示成：z=r(csθ+isinθ)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：zn=[r(csθ+isinθ)]n=rn(csnθ+isinnθ)(n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．z2=|z|2B．当r=2，θ=π6时，z=1-3i
C．当r=1，θ=π3时，z3=-1D．当r=1，θ=π4时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数
【解题思路】根据复数的相关定义及性质，逐项分析即可得出答案.
【解答过程】对于复数z=a+bi有，
z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi，
∴z2=a2+b2，而z2=a2+b2，所以选项A正确；
根据复数的三角形式，r=2，θ=π6时，z=2(csπ6+isinπ6)=3+i，
此时，z=3-i，选项B错误；
r=1，θ=π3时，z=csπ3+isinπ3=12+32i
根据棣莫弗定理，z3=r3(csπ+isinπ)=-1，所以选项C正确；
r=1，θ=π4时，zn=csnπ4+isinnπ4，n为偶数时，
设n=2k,k∈Z*, zn=cskπ2+isinkπ2,k∈Z*，
所以k为奇数时，zn为纯虚数；k为偶数时zn为实数，选项D错误.
故选：AC.
12．（4分）（2022·高一单元测试）著名的欧拉公式为：eiπ+1=0，其中i2=-1，e为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是eiθ=csθ+isinθ0≤θ