高考数学第二轮复习专题练习 专题7.4 复数的四则运算（重难点题型检测）（教师版）

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1．（3分）（2023·高一课时练习）在复数范围内，有下列命题：①-1的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数a+bia,b∈R是某一元二次方程的根，则a-bi一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（ ）
A．3B．2C．0D．1
【解题思路】对于①②，根据平方根的定义即可判断；对于③，举反例即可排除；对于④，利用平方根的定义与复数相等的性质求得z=i的平方根，从而得以判断.
【解答过程】对于①，-1的平方根有两个，分别为i和-i，故①错误；
对于②，1的平方根是-1和1，故②错误；
对于③，令a=1,b=0，则a+bi=1是方程x2+x-2=0的一个根，但方程x2+x-2=0的另一个根是x=-2，并非a-bi=1，
实际上，只有实系数方程的虚根才是共轭复数，故③错误；
对于④，设z=i的平方根为x+yix,y∈R，则x+yi2=i，即x2-y2+2xyi=i，
故x2-y2=02xy=1，解得x=22y=22或x=-22y=-22，
所以z=i的平方根为22+22i或-22-22i，显然z的平方根是虚数，故④正确；
综上：①②③错误，④正确，故真命题的个数为1.
故选：D.
2．（3分）（2022秋·云南·高三阶段练习）已知复数z在复平面内对应的点为1,-2，则z-2z=（ ）
A．-1-6iB．-1+6i
C．1-6iD．1+6i
【解题思路】由复数的坐标表示，共轭复数定义可得答案.
【解答过程】由题意知z=1-2i，z=1+2i，则z-2z=1-2i-21+2i=-1-6i.
故选：A.
3．（3分）已知复数z=1+3i3-mim∈R是纯虚数，则m=（ ）
A．3B．1C．-1D．-3
【解题思路】求出复数z的代数形式，再根据纯虚数的概念列式计算.
【解答过程】z=1+3i3-mi=1+3i3+mi3-mi3+mi=3-3m+9+mi9+m2,
因为复数z是纯虚数，
则3-3m=09+m≠0，解得m=1，
故选：B.
4．（3分）若复数z满足z1+i=2i，则z+iz=（ ）
A．45B．42C．25D．22
【解题思路】利用复数的除法化简复数z，利用共轭复数的定义以及复数的运算可得出z+iz，再利用复数的模长公式可求得结果.
【解答过程】因为z1+i=2i，则z=2i1+i=2i1-i1+i1-i=1+i，则z=1-i，
所以，z+iz=1+i+i1-i=2+2i，
因此，z+iz=22×2=22.
故选：D.
5．（3分）（2022秋·江苏南通·高三阶段练习）已知z=1+i1-i-i2022，则在复平面内，其共轭复数z所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解题思路】利用复数的运算化简复数z，可得其共轭复数z，利用复数的几何意义可得出结论.
【解答过程】因为i4=1，则i2022=i4×505+2=i2=-1，则z=1+i21-i1+i+1=2i2+1=1+i，
所以，z=1-i，因此，复数z所对应的点位于第四象限.
故选：D.
6．（3分）（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知复数1-i是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一个根，则p+qi=（ ）
A．4B．5C．22D．23
【解题思路】将1-i代入方程，利用复数相等得到方程组解出p,q，再利用模长公式求解即可.
【解答过程】由题意可得1-i2+p1-i+q=0，
即1-2i+i2+p-pi+q=0，
所以p+q-p+2i=0，
所以p+q=0p+2=0，解得p=-2q=2，
所以p+qi=-2+2i=-22+22=22，
故选：C.
7．（3分）（2022春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1=1, z3=-2+i，则z2=（ ）
A．1+iB．1－iC．－1+iD．－1－i
【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.
【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，
又因为z1=1, z3=-2+i，
所以由复数加法的几何意义可得，
z2=z1+z3=1-2+i=-1+i.
故选：C.
8．（3分）（2023秋·上海·高二期末）设fx=ax2+bx+c（a、b、c∈R）.已知关于x的方程fx=x有纯虚数根，则关于x的方程ffx=x的解的情况，下列描述正确的是（ ）
A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根
B．可能方程有四个实数根的解
C．可能有两个实数根，两个纯虚数根
D．可能方程没有纯虚数根的解
【解题思路】根据给定条件，设x=mi(m∈R,m≠0)，再利用方程根的意义结合复数相等，推理计算判断作答.
【解答过程】a,b,c∈R，f(x)=ax2+bx+c，关于x的方程f(x)=x有纯虚数根，设纯虚数根为x=mi(m∈R,m≠0)，
则有f(mi)=mi，即-am2+c+bmi=mi，即有c=am2,b=1，a≠0，f(x)=ax2+x+am2，
方程f(x)=x化为x2+m2=0，方程有两个纯虚数根为±mi，
方程f(f(x))=x化为：a2x4+2ax3+2(a2m2+1)x2+2am2x+a2m4+2m2=0，
整理得(a2x2+2ax+a2m2+2)(x2+m2)=0，于是得x2+m2=0或a2x2+2ax+a2m2+2=0，
因此方程f(f(x))=x有两个纯虚数根±mi，
而方程a2x2+2ax+a2m2+2=0中，Δ=4a2-4a2(a2m2+2)=-4a2(a2m2+1)