高考数学第二轮复习专题练习 专题6.15 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题6.15 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇）（教师版），共20页。
1．（5分）（2022春·山西大同·高一期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．若a//b，b//c，则a//c
B．若a=b，b=c，则a=c
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D．若a//b，则a与b方向相同或相反
【解题思路】对ABC选项找出反例，证明其错误，选项B根据传递性很明显正确，即可求解.
【解答过程】对于A选项：0 平行于任何向量，若b=0，满足a//b，b//c，但不一定满足a//c，故A错；
对于B选项：根据向量传递性，正确；
对于C选项：两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反（大小相等，方向完全相反），故C错；
对于D选项：零向量与任何非零向量都平行,且零向量的方向任意.如果a,b中有一个是零向量,那么a,b方向相同或相反,或者不同，故D错.
故选：B.
2．（5分）（2022·高一课时练习）已知a，b是不共线的向量，OA=λa+μb，OB=3a-2b，OC=2a-3b，若A,B,C三点共线，则实数λ，µ满足（ ）
A．λ=μ-5B．λ=μ+5C．λ=μ-1D．λ=μ+1
【解题思路】根据向量的线性运算方法，分别求得AB=(3-λ)a-(2+μ)b，BC=-a-b；
再由AB//BC，得到3-λ=-(2+μ)，即可求解.
【解答过程】由OA=λa+μb，OB=3a-2b，OC=2a-3b，
可得AB=OB-OA=(3-λ)a-(2+μ)b，BC=OC-OB=-a-b；
若A,B,C三点共线，则AB//BC，可得3-λ=-(2+μ)，化简得λ=μ+5.
故选：B.
3．（5分）（2023·全国·模拟预测）在△ABC中，点D在BC边上，且BD=DC，点E在AC边上，且AE=45AC，连接DE，若DE=mAB+nAC，则m+n=（ ）
A．-15B．45C．-45D．15
【解题思路】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求m，n，进而可求m+n．
【解答过程】解：如图，连接AD
则DE=DA+AE=-12(AB+AC)+45AC=-12AB+310AC，
∴m=-12，n=310，则m+n=-15.
故选：A.
4．（5分）（2022秋·陕西渭南·高二期末）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=2，b=3，∠A=30°，则解此三角形的结果有（ ）
A．无解B．一解C．两解D．一解或两解
【解题思路】根据题意作出图形，推得CD0时，2m+n=4≥22mn，mn≤2，当2m=n，即m=1，n=2时等号成立；
综上所述：mn的最大值为2.
故选：B.
6．（5分）（2022秋·云南·高三阶段练习）已知三个单位向量a,b,c满足a⋅b=14，则(a+b)⋅c的最小值为（ ）
A．-52B．-102C．-32D．-112
【解题思路】由题意可得|a+b|=102，设a+b与c所成的角为θ，则有(a+b)⋅c=102csθ，根据θ∈[0,π]求解即可.
【解答过程】解：由题意可得|a|=|b|=|c|=1，
又因为a⋅b=14，
所以|a+b|=(a+b)2=|a|2+2a⋅b+|b|2=102，
设a+b与c所成的角为θ，
则(a+b)⋅c=|a+b|⋅|c|⋅csθ=102csθ，
又因为θ∈[0,π]，
所以csθ∈[-1,1]，
所以102csθ∈[-102,102]，
即(a+b)⋅c ∈[-102,102]，
所以(a+b)⋅c的最小值为-102.
故选：B.
7．（5分）（2022春·福建福州·高一阶段练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且F1=F2，F1与F2的夹角为θ，下列结论中正确的是（ ）
A．θ越小越费力，θ越大越省力
B．θ的范围为0,π
C．当θ=π2时，F1=G
D．当θ=2π3时，F1=G
【解题思路】根据G=F1+F2为定值，求出F12=G221+csθ，再对选项进行分析、判断即可.
【解答过程】解：对A，∵G=F1+F2为定值，
∴G2=F12+F22+2F1×F2×csθ=2F121+csθ，
解得：F12=G221+csθ；
由题意知：θ∈0,π时，y=csθ单调递减，
∴F12单调递增，
即θ越大越费力，θ越小越省力，故A错误；
对B，当θ=π时，F1+F2=0不满足题意，故B错误；
对C，当θ=π2时，F12=G22，
∴F1=22G，故C错误；
对D，当θ=2π3时，F12=G2，
∴F1=G，故D正确.
故选：D.
8．（5分）（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且3cacsB=tanA+tanB，下列结论正确的是（ ）
A．A=π6
B．当a=2，c=4时，△ABC的面积为43
C．若AD是∠BAC的角平分线，且AD=23，则1b+1c=2
D．当b-c=3a3时，△ABC为直角三角形
【解题思路】选项A：先用正弦定理得3sinCsinAcsB=tanA+tanB，再利用三角恒等变换，求出A=π3，即可；选项B：直接解三角，发现无解即可；选项C：利用等面积法，的到b,c的关系即可；选项D：利用正弦定理得sinB-sinC=33sinA=12，然后利用三角形角的关系，计算出各个角的大小即可.
【解答过程】选项A:因为3cacsB=tanA+tanB，
由正弦定理可得3sinCsinAcsB=tanA+tanB，
又因为sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB，
所以3sinAcsB+csAsinBsinAcsB=tanA+tanB，
化简可得3tanA+tanBtanA=tanA+tanB，因为3cacsB=tanA+tanB，所以tanA+tanB≠0
可得tanA=3，A∈0,π，故A=π3，选项A错误；
选项B：当a=2，c=4时，由选项A，得A=π3，因为a2=b2+c2-2bccsA，
可得b2-4b+12=0，无解，故此时三角形不存在，选项B错误；
选项C：因为若AD是∠BAC的角平分线，且AD=23，由选项A，得A=π3
故∠BAD=∠CAD=π6，而S△BAD+S△CAD=S△ABC
得12c×23×sinπ6+12b×23×sinπ6=12bcsinπ3，
得c+b=12bc，所以1b+1c=12，选项C错误；
选项D：因为b-c=3a3，由正弦定理可得sinB-sinC=33sinA=12，
又A+B+C=π，A=π3，得B=2π3-C，
所以sin2π3-C-sinC=12，化简可得csC+π6=12，因为C∈0,2π3，
解得C=π6或π2，由条件可知C