高考数学第二轮复习专题练习 专题6.10 平面向量的应用（重难点题型检测）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题6.10 平面向量的应用（重难点题型检测）（教师版），共21页。
1．（3分）（2022·全国·高一专题练习）以A4,1，B1,5，C-3,2，D(0,-2)为顶点的四边形的形状是（ ）
A．梯形B．平行四边形C．矩形D．正方形
【解题思路】利用向量的坐标表示可得AB=DC，再结合向量垂直及模长相等即得.
【解答过程】∵A4,1，B1,5，C-3,2，D(0,-2)，
∴AB=(-3,4),DC=(-3,4)，
∴AB=DC，即四边形ABCD为平行四边形，又BC=(-4,-3)，
∴AB⋅BC=(-4,-3)⋅(-3,4)=0，即AB⊥BC，
则四边形ABCD为矩形，又AB=BC=5
则四边形ABCD为正方形.
故选：D.
2．（3分）（2022春·宁夏银川·高一期中）在四边形ABCD中，若AB+CD=0,AC⋅BD=0，则四边形为（ ）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．菱形
【解题思路】依据向量相等的几何意义和向量数量积的几何意义去判断四边形的形状.
【解答过程】由AB+CD=0，可得AB=DC，即AB//CD，则四边形ABCD为平行四边形；
又由AC⋅BD=0，可得AC⊥BD，则平行四边形四边形ABCD为菱形
故选：D.
3．（3分）（2021春·山东·高一阶段练习）若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点，且处于平衡状态．已知F1=1N,F3=3N，F1与F3的夹角为150°，则力F2的大小为（ ）．
A．7B．7C．102D．1
【解题思路】根据三力平衡得到F1+F3=-F2，然后通过平方将向量式数量化得到F12+2F1⋅F3cs150∘+F32=F22，代入数据即可得到答案.
【解答过程】根据三力平衡得F1+F3+F2=0，即F1+F3=-F2，
两边同平方得F12+2F1⋅F3+F32=F22，
即F12+2F1⋅F3cs150∘+F32=F22
即12+2×1×3⋅-32+32=F22,
解得F2=1，
故选：D.
4．（3分）（2022春·辽宁锦州·高一期末）已知△ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，点D在BC边上且BD=13BC，则AD长度为（ ）
A．3B．32C．33D．233
【解题思路】利用向量数量积去求AD长度即可.
【解答过程】△ABC中，点D在BC边上且BD=13BC，
则AD=AB+BD=AB+13AC-AB=13AC+23AB，
又AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
则AD=13AC+23AB2=19AC2+49AB2+49AC⋅AB
=19×4+49×1+49×1×2×12=233，即AD长度为233，
故选：D.
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）△ABC中，若AB=AC=5，BC=6，点E满足CE=215CA+15CB，直线CE与直线AB相交于点D，则cs∠ADE=（ ）
A．1010B．31010C．-1010D．-31010
【解题思路】本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出B0,0、C6,0、A3,4，然后根据A、B、D三点共线以及C、E、D三点共线得出CD=25CA+35CB，再然后根据向量的运算法则得出DC=245,-85、BA=3,4，最后根据cs∠ADE=BA⃑⋅DC⃑BA⃑⋅DC⃑即可得出结果.
【解答过程】如图所示，以B点为原点，BC为x轴构建直角坐标系，
因为AB=AC=5，BC=6，所以B0,0，C6,0，A3,4，
设CD=xCA+yCB，
因为A、B、D三点共线，所以x>0，y>0，x+y=1，
因为CE=215CA+15CB，C、E、D三点共线，所以215x=15y，
联立215x=15yx+y=1，解得x=25，y=35，CD=25CA+35CB，
因为CB=-6,0，CA=-3,4，所以CD=-245,85，DC=245,-85，
因为BA=3,4，
所以cs∠ADE=BA⋅DCBA⋅DC=725-3255×2452+-852=85×64025=1010，
故选：A.
6．（3分）（2022秋·湖南长沙·高三阶段练习）在△ABC中，满足AB⊥AC，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且AB=AC=2，则OA⋅OB+OC的最小值为（ ）
A．0B．-32C．-12D．2
【解题思路】由已知可得△ABC为等腰直角三角形，建立直角坐标系，利用坐标法可得向量的数量积，进而可得最值.
【解答过程】由AB⊥AC，AB=AC=2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
以A为原点，AB，AC为x轴和y轴建立直角坐标系，
如图所示，
∴A0,0，B2,0，C0,2，
∵M是BC的中点，M22,22，
O是线段AM上任意一点，
∴可设Ox,x，0≤x≤22，
∴OB=2-x,-x，OC=-x,-x+2，OA=-x,-x，
∴OB+OC=2-2x,2-2x，
∴OA⋅OB+OC=-x2-2x+-x2-2x=4x2-22x=4x-242-12，
故当x=24时，OA⋅OB+OC的最小值为-12，
故选：C．
7．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知四边形ABCD是矩形，AB=2AD，DF=λDC，BE=μBC，λ+μ=1，AE⊥AF，则EFAD=（ ）
A．533B．539C．653D．659
【解题思路】方法一：根据题意，建立平面直角坐标系，设AB=2AD=2，进而利用坐标法求解即可；
解法二：用BC,AB为基底表示向量AE，AF，再根据AE⊥AF得AE⋅AF=0得λ=-13，μ=43，再根据EF2=AE2+AF2计算得EF2=659AD2，进而得答案.
【解答过程】解：解法一 如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设AB=2AD=2，则A0,0，B2,0，D0,1，C2,1.
∴AB=2,0，AD=0,1，BC=0,1，DC=2,0.
∴DF=λDC=2λ,0，BE=μBC=0,μ.
∴AE=AB+BE=2,μ，AF=AD+DF=2λ,1.
∵AE⊥AF，
∴AE⋅AF=0，即2×2λ+μ×1=0.
又λ+μ=1，
所以λ=-13，μ=43.
∴EF=AF-AE=-83,-13.
∴EF=-832+-132=653.
∵AD=1，∴EFAD=653.
故选：C.
解法二：∵AE=AB+BE=AB+μBC=AB+1-λBC，
AF=AD+DF=AD+λDC=BC+λAB，
∴AE⋅AF=AB+1-λBC⋅BC+λAB=1+λ1-λAB⋅BC+1-λBC2+λAB2=1-λ BC2+4λBC2=1+3λBC2.
∵AE⊥AF，∴1+3λ=0，得λ=-13.∴μ=43，
EF2=AE2+AF2
=AB+43BC2+BC-13AB2=AB2+169BC2+BC2+19AB2=659AD2.
∴EFAD=659= 653.
故选：C.
8．（3分）（2022春·北京海淀·高一阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60∘,AB=2,AD=3,E为线段CD的中点，F为线段AB上一动点（包括端点），且EF=λDA+μCB，则下列说法错误的是（ ）
A．BC=52
B．若F为线段AB的中点，则λ+μ=1
C．FC⋅FD的最小值为154
D．μ的最大值比最小值大85
【解题思路】建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用向量解决四个选项.
【解答过程】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，过点C作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点H，过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M，则△CDH∼△BCM，
因为AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60∘，
所以∠CDH=60°，设HD=x，则CH=3x，则BM=AH=3+x，CM=2-3x，
则DHCM=CHBM，即x2-3x=3x3+x，解得：x=34或x=0（舍去），
则A0,0,B2,0,D0,3,C34,534，E38,938，
BC=BM2+CM2=7516+2516=52，A说法正确；
若F为线段AB的中点，则F1,0，
所以EF=58,-938,DA=0,-3,CB=54,-534，
则58=54μ-938=-3λ-534μ，解得：λ=12μ=12，则λ+μ=1，B说法正确；
设Fm,0,0≤m≤2，
则FC⋅FD=34-m,534⋅-m,3=m2-34m+154=m-382+23164，
故当m=38时，FC⋅FD取得最小值，故最小值为23164，C选项说法错误；
EF=m-38,-938，则m-38=54μ-938=-3λ-534μ，
因为0≤m≤2，则m-38∈-38,138，所以54μ∈-38,138，
解得：μ∈-310,1310，1310--310=85，
所以μ的最大值比最小值大85，D说法正确.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022春·广东佛山·高一期末）一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4N，水平拉力F1的大小为3N，另一力F2未知，则（ ）
A．当该物体处于平衡状态时，F2=5N
B．当F2与F1方向相反，且F2=5N时，物体所受合力大小为0
C．当物体所受合力为F1时，F2=4N
D．当F2=2N时，3N≤F1+F2+G≤7N
【解题思路】根据向量的加法法则作图可判断AB；根据题意分析G与F2的合力大小可判断C；由F2与AD共线时合力取得最值可判断D.
【解答过程】A选项：由题知，F2的大小等于重力G与水平拉力F1的合力大小，由图知F2=5N，故A正确；
B选项：如图，物体所受合力应等于向量AD与F2的和向量的大小，显然B错误；
C选项；当物体所受合力为F1时，说明G与F2的合力为0，所以F2=4N，C正确；
D选项：由上知，重力G与水平拉力F1的合力为AD，AD=5N，易知当F2与AD同向时合力最大，最大值为7N，反向时合力最小，最小值为3N，
即3N≤F1+F2+G≤7N，故D正确.
故选：ACD.
10．（4分）（2022秋·广东佛山·高二期中）已知点A-2,1，B3,-2，C5,185，D1,6，则以下四个结论正确的是（ ）
A．AB//CDB．AB⊥AD
C．AC=BDD．AC⊥BD
【解题思路】根据点A-2,1，B3,-2，C5,185，D1,6，得到AB,CD,AC,AD,BD的坐标，然后逐项判断.
【解答过程】因为点A-2,1，B3,-2，C5,185，D1,6，
所以AB=5,-3,CD=-4,125,AC=7,135,AD=3,5,BD=-2,8，
因为5×125=-3-4 ，所以AB//CD，故正确；
因为 5×3+-3×5=0，所以AB⊥AD，故正确；
因为AC=72+1352=13945,BD=82+-22=68，所以AC≠BD，故错误；
因为7×-2+135×8≠0，所以AC⊥BD不成立，故错误.
故选：AB.
11．（4分）（2022·全国·高一专题练习）在△ABC中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C点），则下列说法正确的是（ ）
A．AB+AC=AD+AE
B．若F为AE的中点，则BF=14AC-34AB
C．若AB⋅AC=0，AB=1，AC=2，则AD⋅AE=109
D．若AB+AC=3AB-AC，且AB=AC，则∠CAB=60°
【解题思路】取BC的中点M，则M也是DE的中点，根据向量的加法运算即可判断A；根据平面向量基本定理及线性运算即可判断B；根据平面向量数量积的运算律即可判断C；根据平面向量基本定理及线性运算结合等腰三角形的性质即可判断D.
【解答过程】解：对于A，取BC的中点M，则M也是DE的中点，
则有AM=12AB+AC=12AD+AE，所以AB+AC=AD+AE，故A正确；
对于B，若F为AE的中点，则BF=BA+AF=-AB+12AE=-AB+1213AB+23AC=-56AB+13AC，故B错误；
对于C，因为D，E分别为线段BC上的两个三等分点，所以AD⋅AE=AB+BD⋅AC+CE=AB+13BCAC-13BC=AB+13AC-AB，AC-13AC-AB=23AB+13AC⋅23AC+13AB=29AB2+29AC2+59AB，AC=29×1+4+0=109，故C正确；
对于D，由A选项得，AB+AC=2AM，
由AB-AC=CB，因为AB+AC=3AB-AC，
所以AM=32CB，即AMCM=3，
因为AB=AC，所以AM⊥BC，AM平分∠BAC，
在Rt△AMC中，tan∠ACB=AMCM=3，所以∠ACB=60°，
所以△ABC为等边三角形，所以∠CAB=60°，故选：D.
故选：ACD.
12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）如图，已知扇形OAB的半径为1，∠AOB=π2，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且CD=1，点E为AB⏜上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．OE⋅AB的最小值为0B．EA⋅EB的最小值为1-2
C．EC⋅ED的最大值为1D．EC⋅ED的最小值为0
【解题思路】以O为原点建立如图所示的直角坐标系，得B0，1，A1，0，设∠EOA=θ，则Ecsθ，sinθθ∈0,π2，求出AB⋅OE=2sinθ-π4，利用θ的范围可判断A；
求出EA、EB的坐标，由EA⋅EB=1-2sinθ+π4，利用θ的范围可判断B；设Ct,0t∈0,1，可得D0,1-t2，求出EC、ED，由EC⋅ED =1-sinθ+φ，利用 t、φ、θ，的范围可判断CD.
【解答过程】
以O为原点建立如图所示的直角坐标系，所以B0，1，A1，0，
设∠EOA=θ，则Ecsθ，sinθθ∈0,π2，OE=csθ，sinθ，
AB=-1，1，所以AB⋅OE=sinθ-csθ=2sinθ-π4，
因为θ∈0,π2，所以θ-π4∈-π4,π4，所以sinθ-π4∈-22,22，
所以AB⋅OE∈-1,1，OE⋅AB的最小值为-1，故A错误；
EA=1-csθ,-sinθ，EB=-csθ,1-sinθ，
所以EA⋅EB=-csθ+cs2θ-sinθ+sin2θ=1-2sinθ+π4，
因为θ∈0,π2，所以θ+π4∈π4,3π4，所以sinθ+π4∈22,1，
所以1-2sinθ+π4∈1-2,0，EA⋅EB∈1-2,0，
EA⋅EB的最小值为1-2，故B正确；
设Ct,0t∈0,1，又CD=1，所以OD=1-t2，可得D0,1-t2，
EC=t-csθ,-sinθ，ED=-csθ,1-t2-sinθ，
所以EC⋅ED=tcsθ+cs2θ-1-t2sinθ+sin2θ=1-tcsθ+1-t2sinθ
=1-sinθ+φ，其中csφ=1-t2,sinφ=t，
又t∈0,1，所以csφ,sinφ∈0,1，所以φ∈0,π2，φ+θ∈0,π，
sinφ+θ∈0,1，-sinφ+θ∈-1,0，所以EC⋅ED∈0,1，
EC⋅ED的最小值为0，故CD正确.
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022春·贵州·高二期末）如图，作用于同一点O的三个力F1 ，F2 ，F3 处于平衡状态，已知|F1|=1，|F2|=2，F1与F2的夹角为34π，则F3的大小为 1 .
【解题思路】利用共点力的平衡条件，得到F1+F2+F3=0，移项，解出即可.
【解答过程】F1,F2,F3三个力处于平衡状态，F1+F2+F3=0，即F3=-(F1+F2)，
则|F3|=|F1+F2|=(F1+F2)2=F12+2⋅F1⋅F2+F22
=1+2×1×2×cs3π4+2=1，
故答案为：1.
14．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知两点E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点，且AB=3，CD=2，∠ABC=45∘，∠BCD=75∘，则线段EF的长为是 192 .
【解题思路】作AH//CD，交BC于点H，可知∠BAH=60∘；利用向量线性运算可得到2EF=AB+DC，根据EF2=14AB+DC2，由向量数量积的定义和运算律可求解得到EF.
【解答过程】作AH//CD，交BC于点H，则∠BHA=∠BCD=75∘，
∴∠BAH=180∘-45∘-75∘=60∘，则cs=cs=cs∠BAH=12；
∵EF=EA+AB+BF，EF=ED+DC+CF，
又EA=-ED，BF=-CF，∴2EF=EA+AB+BF+ED+DC+CF=AB+DC，
∴EF2=14AB+DC2=14AB2+14DC2+12AB⋅DCcs =94+1+32=194，
∴EF=192，
故答案为：192.
15．（4分）（2022·高二课时练习）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=60°，BC=2BM，AC=3AN，线段AM，BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为 1313 .
【解题思路】依次算出BN⋅AM、|AM|、BN，然后可得答案.
【解答过程】由已知，AB=2，AN=2，∠BAC=60°，得BN=2，
又由AM=12(AB+AC)得|AM|=12|AB|2+2|AB||AC|cs60°+|AC|2=13，
因为BN=13AC-AB，
所以BN⋅AM=(13AC-AB)⋅12(AB+AC)=16|AC|2-12|AB|2-13|AB||AC|cs60°=2，
所以cs∠MPN=cs〈BN,AM〉=BN⋅AM|BN||AM|=1313，
故答案为：1313.
16．（4分）（2022秋·天津·高三阶段练习）如图，在△ABC中，B=π3，AB=2，点M满足AM=13AC，BM⋅AC=43，O为BM中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则OA⋅ON的最小值是 -2936 .
【解题思路】本题采用建系法，设C(t,0)，利用向量共线得到Mt+23,233，再写出BM=t+23,233，AC=(t-1,-3)，从而得到方程(t+2)(t-1)3-2=43，解出t即可求出O坐标为O56,33，再设Nn,0，0≤n≤3，写出OA=16,233，ON=n-56,-33，则OA⋅ON的函数表达式，利用函数单调性即可求出最值.
【解答过程】以B为原点，BC所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，
设C(t,0)，t>0，∵AB=2,B=π3,∴A(1,3)，
设M(x,y)，∴AM=(x-1,y-3)，AC=(t-1,-3)，
∵AM=13AC，∴x-1=13(t-1)，x=t+23，
y-3=13×(-3)，y=233，∴Mt+23,233，
∴BM=t+23,233，AC=(t-1,-3)，
∵BM⋅AC=43，即(t+2)(t-1)3-2=43，解得t=3，
∴M53,233，因为O为BM中点，∴O56,33，
设Nn,0，0≤n≤3，∴OA=16,233，ON=n-56,-33,
∴OA⋅ON=16n-56-23=16n-2936,∵0≤n≤3
所以当n=0时16n-2936min=-2936，即(OA⋅ON)min=-2936，
故答案为：-2936.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·高一课时练习）如图所示，四边形ABCD中，AB→=DC→，N，M是AD，BC上的点，且CN→=MA→.求证：DN→=MB→.
【解题思路】可得四边形ABCD是平行四边形，同理可证，四边形CNAM是平行四边形，即可得证.
【解答过程】因为AB→=DC→，所以|AB→|=|DC→|且AB∥CD，
所以四边形ABCD是平行四边形.所以|DA→|=|CB→|且DA∥CB.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，
所以|CM→|=|NA→|，所以|MB→|=|DN→|，DN∥MB，即DN→与MB→的模相等且方向相同，
所以DN→=MB→.
18．（6分）（2023·全国·高三专题练习）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.
【解题思路】设AB→=a→，AC→=b→，AD→=e→，DB→=c→，DC→=d→，根据向量加法得a→=e→+c→，b→=e→+d→，
计算a→2﹣b→2结合条件可得e→·c→=e→·d→，即可证明.
【解答过程】设AB→=a→，AC→=b→，AD→=e→，DB→=c→，DC→=d→，
则a→=e→+c→，b→=e→+d→，
所以a→2﹣b→2=(e→+c→)2-(e→+d→)2=c→2+2e·c→-2e→·d→-d→2，
由条件知：a→2=c→2﹣d→2+b→2，
所以e→·c→=e→·d→，即e→·(c→-d→)=0，
即AD→⋅CB→=0，
所以AD⊥BC.
19．（8分）（2022·全国·高一专题练习）如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v1的大小为v1=10 km/h，水流速度v2的大小为v2=4 km/h，设v1和v2的夹角为θ，北岸A'在A的正北方向．
(1)当θ=120°时，判断游船航行到北岸时的位置是在图中A'的左侧还是右侧，并说明理由．
(2)当csθ多大时，游船能到达A'处？需航行多长时间？
【解题思路】(1)θ=120°时，游船水平方向的速度大小为v1cs(180°-θ)-v2然后确定方向即可．
(2)若游船能到A'处，则有v2=v1cs(180°-θ)，求出csθ，然后求出时间t即可；
【解答过程】(1)
θ=120°时，游船水平方向的速度大小为v1cs(180°-θ)-v2=1 km/h，方向水平向左，故最终到达北岸时游船在A'点的左侧；
(2)
若游船能到A'处，则有v2=v1cs(180°-θ)，
则有csθ=-cs(180°-θ)=v2v1=-25，
此时游船垂直江岸方向的速度v=v1sinθ=221 km/h，
时间t=dv=2142 h.
20．（8分）（2022秋·广东广州·高三阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=120∘，AB=1，AC=3，点D在线段BC上，且BD=12DC．
(1)求AD的长；
(2)求cs∠DAC．
【解题思路】（1）用a、b表示AD，再根据a、b的长度和夹角可求出结果；
（2）根据夹角公式可求出结果.
【解答过程】（1）
设AB=a，AC=b，
则AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13AC-AB=23AB+13AC=23a+13b．
AD2=AD2=23a+13b2=49a2+2×29×a⋅b+19b2
=49×1+2×29×1×3×cs120∘+19×9=79．故AD=73．
（2）
因为cs∠DAC=AD⋅ACAD⋅AC=23a+13b⋅b73×3=23a⋅b+13b27
=23×1×3×-12+13×327=277．
所以cs∠DAC=277.
21．（8分）（2022春·浙江台州·高一期中）在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且BE=λBC，DF=1-λDC，λ∈R．
(1)当AE⋅BC=0时，求λ的值；
(2)当λ=23时，求DMMB的值；
(3)求AF+12AE的取值范围．
【解题思路】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得λ=BEBC；
(2)设AM=xAE，DM=yDB，以AB,AD为基底用两种形式表示出AM，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得DMMB=y1-y；
(3)以AB,AD为基底表示出AE、AF，从而表示出AF+12AE，求出AF+12AE2的范围即可求出AF+12AE的范围．
【解答过程】(1)
在直角梯形ABCD中，易得∠ABC=π4，BC=22，
∵AE⋅BC=0，∴AE⊥BC，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=322，
故λ=BEBC=34；
(2)
AE=AB+BE=AB+λBC=AB+λBA+AD+DC=AB-λAB+λAD+λ3AB
=1-23λAB+λAD，
当λ=23时，AE=59AB+23AD，
设AM=xAE，DM=yDB，
则AM=xAE=59xAB+23xAD，
AM=AD+DM=AD+yDB=AD+y(DA+AB)=yAB+1-yAD，
∵AB,AD不共线，∴59x=y23x=1-y，解得y1-y=56，即DMMB=56；
(3)
∵AF=AD+DF=AD+(1-λ)DC=AD+1-λ3AB，AE=λAD+1-23λAB，
∴AF+12AE=1+λ2AD+56-2λ3AB，
AF+12AE2=1+λ22⋅|AD|2+56-2λ32⋅|AB|2=41+λ22+956-2λ32
＝(λ+2)2+52-2λ2=5λ2-6λ+414，
由题意知，λ∈0,1，
∴当λ=35时，AE+AF取到最小值5×352-6×35+414＝13510，
当λ=0时，AE+AF取到最大值412，
∴AF+12AE的取值范围是13510,412．
22．（8分）（2022春·江苏常州·高一阶段练习）在ΔABC中，满足：AB⊥AC，M是BC的中点.
（1）若AB=AC，求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值；
（2）若O是线段AM上任意一点，且AB=AC=2，求OA⋅OB+OC⋅OA的最小值：
（3）若点P是∠BAC内一点，且AP=2，AP⋅AC=2，AP⋅AB=1，求AB+AC+AP的最小值.
【解题思路】（1）利用向量的数量积公式得到csθ=(AB+2AC)·(2AB+AC)|AB+2AC|·|2AB+AC|，利用向量的数量积公式展开，求出向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值；
（2）通过解三角形求出AM的长，设|OA|=x，则|OM|=1-x，利用向量的平行四边形法则得到而OB+OC=2OM，利用向量的数量积公式将OA·OB+OC·OA表示成关于x的二次函数，通过求二次函数的最值求出最小值；
（3）设∠CAP=α，将已知条件利用向量的数量积公式表示成关于α的三角函数，将|AB+AC+AP|平方转化为关于α的三角函数，然后利用基本不等式求出其最小值．
【解答过程】解：（1）设向量AB+2AC，与向量2AB+AC的夹角为θ
∴csθ=AB+2AC⋅2AB+ACAB+2AC⋅2AB+AC，
令AB=AC=a，∴csθ=2a2+2a25a⋅5a=45.
（2）∵AB=AC=2，∴AM=1，
设OA=x，则OM=1-x，而OB+OC=2OM，
∴OA⋅OB+OC⋅OA=OA⋅OB+OC=2OA⋅OM=2OAOMcsπ
=-2x1-x=2x2-2x=2x-122-12，
当且仅当x=12时，OA⋅OB+OC⋅OA的最小值是-12.
（3）设∠CAP=α⇒∠BAP=π2-α，
∵AP⋅AC=2，AP⋅AB=1，AP=2，
∴2⋅ACcsα=2⇒AC=1csα，
同理：2⋅ABcsπ2-α=1⇒AB=12sinα，
∴AB+AC+AP2
=AB2+AC2+AP2+2AB⋅AC+2AC⋅AP+2AB⋅AP
=1cs2α+14sin2α+4+2+4
=sin2α+cs2αcs2α+sin2α+cs2α4sin2α+10
=sin2αcs2α+cs2α4sin2α+454≥2sin2αcs2αcs2α4sin2α+454=1+454=494，
当且仅当sin2αcs2α=cs2α4sin2α⇒tanα=22时，
所以AB+AC+APmin=72.