高考数学第二轮复习专题练习 专题6.13 平面向量的综合运用大题专项训练（30道）（教师版）

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1．（2022秋·广东江门·高二期中）已知点A1,-2,0,B2,k,-3,C2,0,2，向量a=-3,4,5．
(1)若AB⊥a，求实数k的值；
(2)求向量AC与向量a所成角的余弦值．
【解题思路】（1）根据题意得到AB的坐标，结合两向量垂直坐标满足的公式，代入计算，即可得到结果.
（2）根据题意，结合向量坐标公式，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】（1）因为A1,-2,0,B2,k,-3，则AB=1,k+2,-3，且a=-3,4,5，
由AB⊥a，可得-3+4k+2-15=0，解得k=52；
（2）因为A1,-2,0,C2,0,2，则AC=1,2,2，a=-3,4,5，
则AC=12+22+22=3,a=-32+42+52=52，
所以cs=AC⋅aACa=-3+8+103×52=22.
2．（2023·高一单元测试）已知向量a=2,1，b=-1,1，c=1,2．
(1)当k为何值时，ka+c与2b-a平行；
(2)若向量d满足d-c⊥a+b，且d-c=5，求d．
【解题思路】（1）直接利用向量平行的坐标公式求解；
（2）直接利用向量垂直的坐标公式和求模公式求解.
【解答过程】（1）由题中的条件可得
ka+c=k(2,1)+(1,2)=(2k+1,k+2)，
2b-a=2(-1,1)-(2,1)=(-4,1)，
若ka+c与2b-a平行，则有2k+1=-4×(k+2)，
解得k=-32；
（2）设d=(x,y)，所以d-c=(x-1,y-2)，
又a+b=(1,2)，
由d-c⊥a+b，可得x-1+2y-4=0，
由d-c=5，可得(x-1)2+(y-2)2=5.
解得x=-1y=3或x=3y=1，
所以d=(-1,3)或d=(3,1).
3．（2022春·广西贺州·高一阶段练习）（1）若向量a=1,2，b=1,-1，求2a+b与a-b的夹角；
（2）已知a→=2,b→=3,a→-b→=7，求a与b夹角的余弦值.
【解题思路】(1)根据平面向量的数量积的坐标表示和几何意义求出2a+b⋅a-b和2a+b、a-b，结合数量积的定义计算即可求解；
(2)由a-b2=a2-2a⋅b+b2=7求出a⋅b=2，结合数量积的定义计算即可求解.
【解答过程】（1）2a+b=3,3，a-b=0,3，
∴2a+b⋅a-b=0×3+3×3=9，
2a+b=32+32=32，a-b=3，
设2a+b与a-b的夹角为θ(0≤θ≤π)，则csθ=932×3=22，
∴θ=π4.
（2）由题意知，
a-b2=a2-2a⋅b+b2=7，
所以a⋅b=2，设a,b的夹角为α，
则csα=a⋅bab=232=23.
4．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一期末）已知e1=1,0，e2=0,1，a=2e1+λe2，b=e1-e2，且a//b.
(1)求λ的值；
(2)求向量a与向量c=e1+2e2夹角的余弦.
【解题思路】（1）根据题意求出a,b的坐标，由向量平行的判断方法可得关于λ的方程，即可得到结果；
（2）设a与c的夹角为θ，由向量夹角公式计算即可得到结果.
【解答过程】（1）根据题意，e1=1,0，e2=0,1，a=2e1+λe2，b=e1-e2，
则a=2,0+0,λ=2,λ，b=1,0-0,1=1,-1
因为a//b，则有λ2=-11，解得λ=-2
（2）由（1）可知a=2,-2，c=1,2
设a与c的夹角为θ，
则csθ=a⋅ca⋅c=2,-2⋅1,222+-22⋅12+22=-222×5=-1010.
5．（2023·高一课时练习）已知a=3,-2，b=-4,-3，c=-5,2，m=2a-b+3c．求：
(1)m；
(2)m；
(3)m的单位向量m0的坐标．
【解题思路】（1）由平面向量的坐标运算即可求解.
（2）由平面向量的模长的坐标运算即可求解
（3）由单位向量的定义和坐标运算即可求解.
【解答过程】（1）因为a=3,-2，b=-4,-3，c=-5,2，
所以m=2a-b+3c=23,-2--4,-3+3-5,2=-5,5.
（2）由（1）知，m=-5,5，所以m=-52+52=52.
（3）m0=mm=152-5,5=-22,22.
6．（2022秋·内蒙古·高二阶段练习）已知向量a,b,若a=2，b=1,a⋅b=-1
(1)求a→与b→的夹角θ；
(2)求|2a→-b→|.
【解题思路】（1）由csa,b=a⋅ba⋅b可计算得答案；
（2）首先计算出|2a→-b→|2，然后可得答案.
【解答过程】（1）因为a=2，b=1,a⋅b=-1，
所以csa,b=a⋅ba⋅b=-12，
因为a,b∈0,π，所以a,b=23π；
（2）因为|2a→-b→|2=4a2-4a⋅b+b2=16+4+1=21，
所以|2a→-b→|=21.
7．（2023·高一课时练习）四边形ABCD中，AB=m+2n，BC=-4m-n，CD=-5m-3n，试判断四边形ABCD的形状（其中m，n为不平行的非零向量）．
【解题思路】求出AD与BC，根据两向量的关系确定四边形ABCD的形状.
【解答过程】AD=AB+BC+CD=-8m-2n，BC=-4m-n，
∴AD=2BC，
∴AD//BC,AD≠BC，
所以四边形ABCD为梯形．
8．（2023·高一课时练习）已知A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角，向量m=sinA,sinB，n=csB,csA，且m⋅n=sin2C．
(1)求角C的大小；
(2)若sinA+sinB=2sinC，且CA⋅AB-AC=18，求边c的长．
【解题思路】（1）利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小；
（2）将sinA+sinB=2sinC中的角化边，再将CA⋅AB-AC=18用三角形的边角表示出来，然后利用余弦定理求出边c的长.
【解答过程】（1）由已知得m⋅n=sinAcsB+csAsinB=sinA+B．
因为A+B+C=π，所以sinA+B=sinπ-C=sinC，
所以m⋅n=sinC．
又m⋅n=sin2C，所以sin2C=2sinCcsC=sinC，
∵0