高考数学第二轮复习专题练习 专题6.9 平面向量的应用（重难点题型精讲）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题6.9 平面向量的应用（重难点题型精讲）（教师版），共21页。试卷主要包含了平面几何中的向量方法，向量在物理中的应用，试求等内容，欢迎下载使用。

1．平面几何中的向量方法
(1)用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将
几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面几何中常见的应用
①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0 (≠0).
②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0.
③求夹角问题，利用夹角公式：==.
④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=
.
(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”
2．向量在物理中的应用
(1)力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.
(2)速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
(3)向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.
①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=||||.功是一个实数,它可正,可负,也可
为零.
②动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算.
【题型1 用向量解决平面几何中的平行问题】
【方法点拨】
用向量法解决平面几何中的平行问题，一般来说有两种方法.
(1)普通向量法：利用向量的运算法则、运算律或性质计算，将平行问题进行转化求解.
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的平行问题转化为代数运算.
【例1】（2022·高一课前预习）在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM=2MB，AN=2NC.求证：MN//BC.
【解题思路】设AB=a，AC=b，即可表示出BC，再由AM=23AB，AN=23AC，即可表示出MN，从而得到MN=23BC，即可得证；
【解答过程】证明：设AB=a，AC=b，则BC=AC-AB=b-a.
又AM=2MB，AN=2NC.所以AM=23AB=23a，AN=23AC=23b.
在△AMN中，MN=AN-AM=23b-a，
所以MN=23BC，即MN与BC共线，故MN//BC.
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）在四边形ABCD中， AB=DC，N，M是AD，BC上的点，且DN＝MB.
求证： CN=MA.
【解题思路】利用AB=DC，可得四边形ABCD是平行四边形，结合DN=MB，即可证明CN=MA.
【解答过程】∵AB=DC，∴AB=DC且AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CB=DA ,∵DN=MB，∴AN=MC，
又∵CM∥NA，
∴四边形CNAM是平行四边形，∴CN=MA，
又CN与MA方向相同，
∴CN=MA.
【变式1-2】（2022春·高一课时练习）如图，已知AD,BE,CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H，求证：HG//EF．
【解题思路】先由题意，得到GD//AE，设OA=λOD(λ≠0)，根据三角形相似，推出AE=λDG，AF=λDH，再由向量的线性运算，得到FE=λHG，即可得出结论成立．
【解答过程】证明：由题意，DG⊥BE，AE⊥BE，∴GD//AE．
设OA=λOD(λ≠0)，则AE=λDG．
同理AF=λDH．
于是FE=AE-AF=λ(DG-DH)=λHG．
∴FE//HG，∴HG//EF．
【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）如图所示，分别在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F和点E，使DF=BE.试用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形.
【解题思路】由题知AE→=AB→+BE→，FC→=FD→+DC→，进而根据题意得AE→=FC→，再根据向量共线即可证明.
【解答过程】证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB→=DC→，BE→=FD→，
因为AE→=AB→+BE→，FC→=FD→+DC→，
所以AE→=FC→，即AE//FC，且AE=FC，
所以四边形AECF是平行四边形.
【题型2 用向量解决平面几何中的垂直问题】
【方法点拨】
用向量法解决平面几何中的垂直问题，一般来说有两种方法.
(1)普通向量法：利用向量的运算法则、运算律或性质计算，有时可选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的
向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示.
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的垂直问题转化为代数运算.
【例2】（2022·高二课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，F,G是AD,BC的三等分点（AF=23AD，BG=23BC）.设AB=a，AD=b.
(1)用a,b表示EF,EG；
(2)如果a=43b，用向量的方法证明：EF⊥EG.
【解题思路】（1）利用平面向量基本定理表示出EF,EG；
（2）利用EF→,EG→数量积为0证明EF⊥EG.
【解答过程】（1）因为点E是AB的中点，所以AE=EB=12AB=12a.
因为AF=23AD，BG=23BC,所以BG=AF=23AD=23b.
所以EF=AF-AE=23b-12a，EG=EB+BG=12a+23b.
（2）由（1）可得： EF=23b-12a，EG=12a+23b.
因为a=43b，
所以EF⋅EG=23b-12a⋅23b+12a=49b2-14a2=49b2-1443b2=0，
所以EF⊥EG.
【变式2-1】（2022·高一课时练习）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．
【解题思路】设AB=a， AD=b，则a＝b且AC=a+b,BD=b-a，即可求得AC⋅BD=0，由此即可证明结果.
【解答过程】证明：设AB=a， AD=b．
因为四边形ABCD为菱形，所以a＝b，
又AC=AB+AD=a+b,BD=AD-AB=b-a
则AC→⋅BD→=a→+b→·b→-a→=b→2-a→2=b→2-a→2=0，故AC⊥BD．
所以AC⊥BD.
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
【解题思路】利用平面向量加法、数乘的几何意义有DE·AF＝(DA+12AB)·(AB+12AD)，根据数量积的运算律，线段的位置、数量关系可得DE·AF＝0，即可证结论.
【解答过程】∵DE·AF＝(DA+12AB)·(AB+12AD)＝12 AB2－12 AD2+14AD⋅AB+DA⋅AB，而AD⊥AB,AD=AB，
∴DE·AF＝0，
∴DE⊥AF，即DE⊥AF.
【变式2-3】（2022·高二课时练习）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB，求证：AD⊥CE.
【解题思路】以AC,CB为基底，表示AD=AC+12CB，CE=13CA+23CB，结合向量的运算可知AD⋅CE=0，进而证得结论.
【解答过程】AD⋅CE=AC+CD⋅CA+AE=AC+12CB⋅CA+23AB
=AC+12CB⋅CA+23CB-23CA=AC+12CB⋅13CA+23CB
=-13CA2+13CB2，
因为CA=CB，
所以-13CA2+13CB2=0，即AD⋅CE=0，
故AD⊥CE.
【题型3 利用向量求线段间的长度关系】
【方法点拨】
利用向量知识，结合具体条件，将平面几何中的长度关系进行转化求解.
【例3】（2021·高一课时练习）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
【解题思路】由于R,T是对角线AC上的两点，要判断AR,RT,TC之间的关系，只需分别判断AR,RT,TC与AC之间的关系即可.
【解答过程】设AB=a，AD=b，AR=r，则AC=a+b.
由AR//AC，可设r=n(a+b),n∈R，
又EB=AB-AE=a-12b，ER//EB，可设ER=mEB=m(a-12b)，
∵AR=AE+ER，
∴r=12b+m(a-12b)，
综上，有n(a+b)=12b+m(a-12b)，即(n-m)a→+(n+m-12)b→=0→，
由于a与b不共线，则{n-m=0n+m-12=0，解得m=n=13，
∴AR=13AC.同理，TC=13AC，RT=13AC.
∴AR=RT=TC.
【变式3-1】（2022·高一课时练习）在梯形ABCD中，BC>AD，AD//BC，点E，F分别是BD，AC的中点，求证：EF=BC-AD2.
【解题思路】由题意可知EF=BC-AD2，又BC>AD，AD//BC，且AD与BC同向，
则|EF|=|BC|-|AD|2，即可求证
【解答过程】因为点E，F分别是BD，AC的中点，
所以EB=12DB，CF=12CA.
所以EF=EB+BC+CF=12DB+BC+12CA.
因为BC+CA+AD+DB=0，
所以 DB+CA=DA+CB，
所以EF=12(CB+DA)+BC=BC-AD2.
因为BC>AD，AD//BC，且AD与BC同向，
所以|EF|=BC-AD2=|BC|-|AD|2，
即EF=BC-AD2.
【变式3-2】（2022·高一课前预习）如图，在△ABC中，点E为边AB上一点，点F为线段AC延长线上一点，且BEAB=CFAC，连接EF交BC于点D，求证：ED=DF.
【解题思路】以点B为原点建立平面直角坐标系，设BEAB=CFAC=λ，利用CF=λAC可得F(λ(1-a)+1,-λb)，由ED//DF可得2d=λ+1，继而可证明ED=DF，即得证
【解答过程】证明：如图，以点B为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设BC=1
设BEAB=CFAC=λ，C(1,0)，A(a,b)，D(d,0)，则E(λa,λb)，AC=(1-a,-b)，
所以CF=λAC=(λ(1-a),-λb)，所以F(λ(1-a)+1,-λb).
所以ED=(d-λa,-λb)，DF=(λ(1-a)+1-d,-λb).
因为E，D，F共线，
所以ED//DF，
所以-λb(d-λa)=-λb[λ(1-a)+1-d]
化简得2d=λ+1.
因为ED-DF=(d-λa,-λb)-(λ-λa+1-d,-λb) =(2d-λ-1,0)=(0,0)=0，
所以ED=DF.
所以ED=DF.
【变式3-3】（2022·高一单元测试）如图，在△OAB中，点C分OA为1:3，点D为OB中点，AD与BC交于P点，延长OP交AB于E，求证：AE=3EB.
【解题思路】以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设A(1,0)，B(a,b)，P(m,n)，AE=λEB，依题意可求出点C,D,E的坐标，再根据点A，P，D共线可得n12a-1=12(m-1)b，由点B，P，C共线，可得na-14=m-14b，由点O，P，E共线，可得m⋅λb1+λ=n⋅λa+11+λ，即可解出λ，从而证出．
【解答过程】以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设A(1,0)，B(a,b)，P(m,n)，AE=λEB，则Eλa+11+λ,λb1+λ.
因为点C分OA为1:3，所以OC=14OA=14,0
因为点D为OB的中点，所以OD=12OB=12a,12b.
因为点A，P，D共线，所以AP//AD.
又AP=(m-1,n)，AD=12a-1,12b，所以n12a-1=12(m-1)b.
同理由点B，P，C共线，可得na-14=m-14b，
由点O，P，E共线，可得m⋅λb1+λ=n⋅λa+11+λ.解得λ=3.所以AE=3EB.
【题型4 用向量解决夹角问题】
【方法点拨】
利用向量知识，结合具体条件，利用向量的夹角公式进行转化求解.
【例4】（2022春·山东菏泽·高一期末）如图，在△ABC中，已知AC=1，AB=3，∠BAC=60°，且PA+PB+PC=0.求cs∠APC.
【解题思路】根据向量线性运算结合已知PA+PB+PC=0可得故PA=-13(AB+AC)，PC=13(2AC-AB)，平方后利用数量积的运算法则求得|PA|,|PC|，再利用向量的夹角公式即可求得答案.
【解答过程】由题意得|AB|=3,|AC|=1，AB,AC的夹角为∠BAC=60°，
PA+PB+PC=0，则PB+PC=-PA，
又AB=PB-PA,AC=PC-PA，所以AB+AC=PB-PA+PC-PA=-3PA，
故PA=-13(AB+AC)，同理PC=13(BC+AC)=13(AC-AB+AC)=13(2AC-AB)
于是
|PA|2=[-13(AB+AC)]2=19(AB2+2AB⋅AC+AC2)=19(9+2×3×1×12+1)=139，
∴|PA|=133，
|PC|2=13(2AC-AB)2=19(AB2-4AB⋅AC+4AC2)
=19(9-4×3×1×12+4)=79,∴|PC|=73，
∴cs∠APC=PA⋅PC|PA|⋅|PC|=-13(AB+AC)⋅13(2AC-AB)|PA|⋅|PC|
=-19(2AC2+AB⋅AC-AB2)|PA|⋅|PB|=-19(2+3×1×12-9)133×73=11291=1191182.
【变式4-1】（2022春·重庆·高一期末）如图，在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=4，点D在BC上，且BD=2DC，点E是AC的中点，连接AD，BE相交于O点.
(1)求线段AD，BE的长；
(2)求∠EOD的余弦值.
【解题思路】（1）由BE2=BE2=12AC-AB2，AD2=AD2=(23AC+13AB)2，根据向量数量积的运算即可求解；
（2）由AD与BE的夹角即为∠EOD，利用向量的夹角公式即可求解.
【解答过程】(1)
解：由题意，AB=2,AE=AC2=2，∠BAC=120°，
又BE=AE-AB=12AC-AB，
所以BE2=BE2=12AC-AB2=14AC2-AC⋅AB+AB2=14AC2-AC⋅ABcs∠BAC+AB2 =12，
∴BE=23，即BE=23，
∵AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB
∴AD2=AD2=(23AC+13AB)2 =49AC2+2×23×13×AC⋅AB+19AB2=49AC2+2×23×13×AC⋅ABcs∠BAC+19AB2=529，
∴AD=2133，即AD=2133；
(2)
解：∵BE=AE-AB=12AC-AB，
∴AD⋅BE=(23AC+13AB)(12AC-AB)=13AC2-12AC⋅AB-13AB2=13×42-12×(-4)-13×22=6，
∵ AD与BE的夹角即为∠EOD，
∴cs∠EOD=AD⋅BEADBE=623×2133=33926.
【变式4-2】（2022春·广东河源·高一阶段练习）已知△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于点F，连接DF，求证：∠ADB=∠FDC.
【解题思路】以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，证明DA,DB的夹角与DF,DC的夹角相等，从而证得结论。
【解答过程】如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系.
设A0， 2，C2， 0，则D1， 0，AC=2， -2.
设AF=λAC，则BF=BA+AF=0， 2+2λ， -2λ=2λ， 2-2λ.
又因为DA=-1， 2，BF⊥DA，所以BF⋅DA=0，
所以-2λ+22-2λ=0，解得 λ=23，所以BF=43， 23.
所以DF=BF-BD=13， 23.
又因为DC=1， 0，
所以cs∠ADB=DA⋅DBDADB=55，cs∠FDC=DF⋅DCDFDC=55.
又因为∠ADB，∠FDC∈0，π，所以∠ADB=∠FDC.
【变式4-3】（2022·高二课时练习）已知梯形ABCD中，AB // CD，AB=2CD，E为BC的中点，F为BD与AE的交点，AD=λAB+μAE．
(1)求λ和μ的值；
(2)若AB=22，BC=6，∠ABC=45°，求EA与BD所成角的余弦值．
【解题思路】（1）由向量的运算得出AD=-32AB+2AE，进而得出λ和μ的值；
（2）由向量的运算得出EA=12CB+BA，BD=BC+12BA，进而得出|EA|，|BD|，EA⋅BD，再由数量积公式求解即可.
【解答过程】（1）根据题意，梯形ABCD中，AB // CD，AB=2CD，E为BC的中点
则AD=AB+BC+CD=12AB+BC=12AB+2BE =12AB+2(AE-AB)=-32AB+2AE
又由AD=λAB+μAE可得λ=-32，μ=2
（2）∠AFD是EA与BD所成的角，设向量EA与BD所成的角为θ
EA=EB+BA=12CB+BA，则|EA|2=14CB2+BA2+CB⋅BA=9+8-12=5
BD=BC+CD=BC+12BA，则|BD|2=BC2+14BA2+BC⋅BA=2+36+12=50
则|EA|=5，|BD|=50
因为EA⋅BD=12CB+BA⋅BC+12BA=BA-12BC⋅BC+12BA
=-12CB2+12BA2+34CB⋅BA=-18+4+9=-5，
所以csθ=EA⋅BD|EA||BD|=-55×52=-1010
所以EA与BD所成角的余弦值为-1010.
【题型5 用向量解决物理中的相关问题】
【方法点拨】
平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题意把物理中的相关量用有
向线段表示，再利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算.
【例5】（2022·高一课时练习）如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处，挂着3个重物，它们所受的重力分别为4N，4N和43N．此时整个系统恰处于平衡状态，求∠AOB的大小．
【解题思路】根据题意，用向量的方法求解，作出对应的受力分析图，得到OA+OB=OC=-OD，推出OA2+2OA⋅OB+OB2=OC2，再由题中数据，以及向量的夹角公式，即可得出结果.
【解答过程】解：如图，∵OA+OB=OC=-OD，
∴OA2+2OA⋅OB+OB2=OC2，
∴|OA|2+2|OA|⋅|OB|cs∠AOB+|OB|2=|OC|2，
即42+2×4×4×cs∠AOB+42=(43)2，
∴cs∠AOB=12．
∵0