2024-2025学年天津市滨海新区塘沽第一中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市滨海新区塘沽第一中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，若复数z=(1−2i)2，则复数z在复平面上对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.以下说法正确的是( ) ①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．
A. ①②④⑥B. ②③④⑤C. ①②③⑥D. ①②⑤⑥
3.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=2，b=2 3，∠A=30 ∘，则∠B等于
A. 30 ∘B. 30 ∘或150 ∘C. 60 ∘D. 60 ∘或120 ∘
4.已知向量a⇀=(x,2)，b⇀=(2,y)，c⇀=(2,−4)，且a⇀//c⇀，b⇀⊥c⇀，则a⇀−b⇀=( )
A. 3B. 10C. 11D. 2 3
5.▵ABC的直观图▵A′B′C′如图所示，其中A′B′//x′轴，A′C′//y′轴，且A′B′=A′C′=1，则▵ABC的面积为( )
A. 2 2B. 1C. 8D. 24
6.已知点A−1,1，B1,2，C−2,−1，D3,4，若e是与CD方向相同的单位向量，则向量AB在CD方向上的投影向量为( )
A. −3 152eB. 3 152eC. −3 22eD. 3 22e
7.如图，在▵ABC中，点D,E分别在AB,AC边上，且BD=DA,AE=3EC，点F为DE中点，则BF=( )
A. −18BA+38BCB. 34BA+12BCC. 38BA+38BCD. 38BA+34BC
8.已知复数z满足z−2=2，则z+1的最大值为( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
9.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知acsC=ccsA，则▵ABC是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
10.为解决我校午餐拥挤问题，高一某班同学提出创想，计划修建从翔字楼四楼直达北院食堂二楼的空中走廊“南开飞云”，现结合以下设计草图提出问题：已知A，D两点分别代表食堂与翔宇楼出入口，C点为D点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得∠CAD=15∘,∠CBD=45∘,AB=50m,CD=25m，设∠DAE=θ，则csθ=( )
A. 6− 24B. 2 3−3C. 3−1D. 32
11.已知三个不共线的向量OA,OB,OC满足OA⋅(ABAB+CACA)=OB⋅(BABA+CBCB)=OC⋅(CACA+BCBC)=0，则O为▵ABC的( )
A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心
12.如图，在▵ABC中，∠BAC=π3,AD=2DB，P为CD上一点，且AP=mAC+12AB，若|AC|=3,|AB|=4，则AP⋅CD的值为( )
A. −76B. 76C. −1312D. 1312
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.设i是虚数单位，复数z=1+i2+21+i，则z的虚部是 ，z= ．
14.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=2，b=3，B=π3，则csA= ．
15.已知a∈R，若复数z=4a2−3a−1+(a−1)i是纯虚数，则a的值为 ．
16.在边长为1的正三角形ABC中，BD=12DC，则AD⋅CD的值等于 ．
17.已知A−3,4与B−1,2，点P在直线AB上，且AP=2PB，则点P坐标为 ．
18.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b= 3，角B为锐角，向量m=2sinB,− 3与n=cs2B,csB共线，且sinA+sinC=2 6sinAsinC，则▵ABC的周长为 ．
19.已知正方形ABCD的边长为3，DE=12EC，若BE=λBA+μBC，其中λ，μ为实数，则λ+μ= ；设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则AF⋅DG的最小值为 ．
20.如图所示，梯形ABCD中，AD/​/BC，点E为AB的中点，BA⋅BC=0，BD⋅BA=BD⋅AD=4，若向量CE在向量CB上的投影向量的模为4，设M，N分别为线段CD，AD上的动点，且CM=λCD，AN=19λAD，则EM⋅EN的取值范围是 ．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.已知|a|= 2，|b|=1，a与b的夹角为45 ∘．
(1)若2a+3b与ta−b共线，求实数t的值；
(2)求|a+2b|的值；
(3)若向量(2a−λb)与(λa−3b)的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
22.已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=2，c=3，三角形ABC的面积为3 32．
(1)求BC边上的高：
(2)求sinA−C．
23.已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足ba+c=1−sinCsinA+sinB．
(1)求角A的值；
(2)若a=3，b=2 2，
(ⅰ)求sinB的值；
(ⅱ)求cs2B−A的值．
24.▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c− 2bcsA+acsC=0．
(1)求角A的大小；
(2)若a=2，b+c=1+ 3+ 6，求▵ABC的面积；
(3)若▵ABC锐角三角形，且外接圆直径为2 2，求2b2+3a22b的取值范围．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.B
5.B
6.D
7.C
8.B
9.D
10.C
11.A
12.D
13.−12 ；
14. 63/ 63
15.−14/−0.25
16.19
17.−53,83或(1,0)
18. 6+ 3
19.53/123 ；−4
20.119,619
21.(1)因为2a+3b与ta−b共线，
所以存在实数m使得2a+3b=m(ta−b)=mta−mb，
所以mt=2−m=3，解得m=−3t=−23，所以t=−23；
(2)因为|a|= 2，|b|=1，a与b的夹角为45 ∘，
所以a⋅b=|a|⋅|b|⋅cs45 ∘= 2×1× 22=1，
所以|a+2b|2=a2+4a⋅b+4b2=2+4+4=10，
则|a+2b|= 10；
(3)向量(2a−λb)与(λa−3b)的夹角是锐角，
可得(2a−λb)⋅(λa−3b)>0，且(2a−λb)与(λa−3b)不同向共线，
即为2λa2+3λb2−(6+λ2)a⋅b>0，
即有7λ−(6+λ2)>0，解得1