2024-2025学年天津市新华中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市新华中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四式不能化简为AD的是( )
A. OC−OA+CDB. AD+BM−BC+CM
C. AB+CD+BCD. MB+AD−BM
2.已知非零向量a,b,c，则“a⋅c=b⋅c”是“a=b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
3.已知M,N,O在▵ABC所在平面内，满足MA+MB+MC=0，NA=NB=NC，且OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则点M,N,O依次是▵ABC的( )
A. 外心，重心，内心B. 重心，外心，垂心C. 重心，外心，内心D. 外心，重心，垂心
4.在▵ABC中，若AB⋅BCAB=CA⋅BCAC且ABAB⋅ACAC=12，则▵ABC为( )
A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形
5.已知csαcsα−sinα= 3，则tanα+π4=( )
A. 2 3+1B. 2 3−1C. 32D. 1− 3
6.已知α∈0,π，sinα+csα= 33，则cs2α=( )
A. − 53B. 53C. − 59D. 59
7.把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sinx−π4的图像，则f(x)=( )
A. sinx2−7π12B. sinx2+π12C. sin2x−7π12D. sin2x+π12
8.已知平面向量a=(−2,1),b=(4,−3)，则下列说法不正确的是( )
A. 与b共线的单位向量的坐标为45,−35或−45,35
B. b在a方向上的投影向量为−115a
C. 若向量a+λb与向量a+b垂直，则λ=37
D. 与a垂直的单位向量的坐标为2 55,− 55或−2 55, 55
9.若单位向量a，b，c满足a⋅b=−12，b⋅c= 32，则a⋅c=( )
A. 0B. 12C. 0或−12D. 0或− 32
10.设向量α,β的夹角为θ，定义：α⊗β=αβsinθ.若平面内不共线的两个非零向量a,b满足：a=b=1，a−b与b的夹角为5π6，则a⊗b的值为( )
A. 32B. 3C. 12D. 32
11.若函数fx=2 3sinωxcsωx−2cs2ωx+1(ω>0)，①函数fx的最小正周期为π，则ω=2；②当ω=2时，fx在区间0,π6上单调递增；③当ω=2时，π24,0为函数fx的一个对称中心；④若fx在0,π3上有且只有两个零点，则ω∈74,134.其中正确结论的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
12.在梯形ABCD中，AB//CD,CD=1,AB=BC=2,∠BCD=120 ∘，动点P和Q分别在线段BC和CD上，且BP=λBC,DQ=18λDC，则AP⋅BQ的取值范围为( )
A. 4 5−338,118B. 5−338,118C. 4 5−338,98D. 5−338,98
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.已知a与b是两个不共线的向量，OA=a−b，OB=2a+b，OC=λa+μb，若A，B，C三点共线，则2λ−μ= ．
14.已知向量a，b满足a−b= 3，a+b=2a−b，则b= ．
15.已知csα−π12=35，则sin2α+ 3cs2α= ．
16.已知a= 2,b=1，a与b的夹角为45°，求使向量2a+λb与λa+3b的夹角是锐角，则λ的取值范围 ．
17.已知函数fx=sinωx+φ，如图A，B是直线y=12与曲线y=fx的两个交点，若AB=π6，则fπ= ．
18.在梯形ABCD中，AB/​/CD，且AB=3CD，M，N分别为线段DC和AB的中点，若AB=a，AD=b，用a，b表示MN= .若MN⊥BC，则∠DAB余弦值的最小值为 ．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
已知向量与，a=1,0，b=−2,1．
(1)求2a−b；
(2)设，的夹角为θ，求csθ的值；
(3)若向量ka+b与a+kb互相平行，求k的值．
20.(本小题12分)
已知a=2sinx,cs2x，b=( 3csx,2)，fx=a⋅b．
(1)求fx的最小正周期及单调递减区间；
(2)求函数fx在区间0,π2上的最大值和最小值．
21.(本小题12分)
在直角梯形ABCD中，已知AB//CD，∠BAD=90∘，AB=6，AD=CD=3，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且OM⊥BD．
(1)求AM⋅BD的值；
(2)若N为线段AC上任意一点，求AN⋅MN的取值范围．
22.(本小题12分)
如图，在▵ABC中，D是BC中点，E在边AB上，且BE=2EA，AD与CE交于点O．
(1)用AB，AC表示AO；
(2)过点O作直线交线段AB于点G，交线段AC于点H，且AG=23AB，AH=tAC，求t的值；
(3)若AB⋅AC=6AO⋅EC，求ABAC的值．
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.D
5.B
6.A
7.B
8.D
9.D
10.A
11.C
12.D
13.3
14. 3
15.−1425
16.−∞,−6∪−1, 6∪ 6,+∞
17.− 32
18.13a−b ；2 23/23 2
19.解：(1)因为a=1,0，b=−2,1，
所以2a−b=4,−1；
(2)csθ=a⋅bab=−2+01× 5=−2 55，
(3)ka+b=k−2,1，a+kb=1−2k,k，
由题意可得，kk−2+2k−1=0，
整理可得，k2−1=0，
解可得，k=±1．

20.解：(1)a=(2sinx,cs2x)，b=( 3csx,2)，
由f(x)=a⋅b=2 3sinxcsx+2cs2x
= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1，
∴fx的最小正周期T=2π2=π，
由2kπ+π2≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z，
得：π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，
∴fx的单调递减区间为π6+kπ,2π3+kπ，k∈Z；
2由x∈0,π2可得：2x+π6∈π6,7π6,
当2x+π6=7π6时，函数fx取得最小值为2sin7π6+1=0,
当2x+π6=π2时，函数fx取得最大值为2sinπ2+1=3,
故得函数fx在区间0,π2上的最大值为3，最小值为0．

21.(1)解：以A为原点，AB、AD分别为x、y轴建立平面直角坐标系，
则A0,0、B6,0、C3,3、D0,3，
因为AB//CD，AB=6，CD=3，
所以▵ABO∽▵CDO，所以OAOC=OBOD=ABCD=2，所以点O2,2，
设Mm,0，则OM=m−2,−2，BD=−6,3，
因为OM⊥BD，所以OM⋅BD=−6m−2−6=6−6m=0，解得m=1，
所以M1,0，AM=1,0，则AM⋅BD=−6．
(2)解：由(1)知，AC=3,3，设AN=λAC=λ3,3=3λ,3λ，其中0≤λ≤1，
则MN=AN−AM=3λ−1,3λ，
所以AN⋅MN=3λ3λ−1+9λ2=18λ2−3λ=18λ−1122−18，
因为λ∈0,1，故当λ=1时，AN⋅MN取得最大值15，
当λ=112时，AN⋅MN取得最小值−18，
故AN⋅MN的取值范围为−18,15．

22.解：(1)因为A，O，D三点共线，所以AO=λAD，λ∈R，且E，O，C三点共线，
所以存在实数μ，使AO=μAE+(1−μ)AC，其中D是BC中点，且BE=2EA，
所以AO=λAD=λ12AB+12AC=12λAB+12λACAO=μAE+1−μAC=μ3AB+1−μAC
即12λ=μ312λ=1−μ
解得λ=12，μ=34，
所以AO=14AB+14AC．
(2)因为H，O，G三点共线，所以存在实数m，使AO=mAG+(1−m)AH，
其中AG=23AB，AH=tAC，所以AO=2m3AB+(1−m)tAC，
根据平面向量基本定理可得：2m3=141−mt=14即m=38t=25,
所以t=25．
(3)AB⋅AC=6AO⋅EC=614AB+14AC⋅−13AB+AC
=32−13AB2+AC2+23AB⋅AC，
整理可得：AC2=13AB2，所以ABAC= 3．