2024-2025学年天津市滨海新区塘沽第一中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市滨海新区塘沽第一中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.已知复数z满足1−2iz=2+i，则|z|=( )
A. 3B. 2C. 1D. 5
2.设向量a=(2,0),b=(1,1)则( )
A. a|=|bB. (a→−b→)/\!/b→
C. a−b⊥bD. a与b的夹角为π3
3.某省为全运会选拔跳水运动员，对某运动员进行测试，在运动员跳完一个动作之后由7名裁判打分，统计结果为平均分9.5分，方差为a，为体现公平，裁判委员会决定去掉一个最高分10分，一个最低分9分，则( )
A. 平均分变大，方差变大B. 平均分变小，方差变小
C. 平均分不变，方差变大D. 平均分不变，方差变小
4.已知水平放置的▵ABC的平面直观图▵A′B′C′是边长为1的正三角形，那么▵ABC的面积为( )
A. 62B. 6C. 32D. 3
5.设α,β是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若α⊥β,m/\!/α,l/\!/β，则m⊥lB. 若m⊂α,l⊂β,l/\!/m，则α/\!/β
C. 若m⊥α,l⊥β,l/\!/m，则α⊥βD. 若α∩β=m,l/\!/α,l/\!/β，则m//l
6.袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．在杂交水稻试验田中随机抽取了100株水稻，统计每株水稻的稻穗数(单位：颗)得到如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，则下列说法错误的是( )
A. a=0.01B. 这100株水稻的稻穗数的众数约为250
C. 这100株水稻的稻穗数的平均数约为256D. 这100株水稻的稻穗数的中位数约为252
7.如图，在▵ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足CP=3PD，若AC=4，AB=6，则AP⋅CD的值为( )
A. 8B. 8 3C. 4D. 4 3
8.在▵ABC中，AB=9，AC=12，∠BAC=90°，点D在边BC上靠近B点的三等分点处，则sin∠CAD=( )
A. 513B. 1213C. 2 1313D. 3 1313
9.已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为 21，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. 49πB. 49π3C. 48πD. 36π
10.山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算水塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为10m，在地面上点C处(B，C，N在同一水平面上且三点共线)测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为60°和15°，在A处测得木塔顶部M的仰角为30°，则可估算木塔的高度为( )m．
A. 10+30 2B. 30+10 2C. 10+30 3D. 30+10 3
11.在▵ABC中，P0满足AP0=13AB，若对于AB边上任一点P，恒有PB⋅PC≥P0B⋅P0C，则▵ABC为( )
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形
12.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=2，AB=BC=2，三棱柱外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一动点．下列说法正确的个数是( )
①直线AC与直线C1E是异面直线；
②若∠ABC=90°，则A1E与AC1一定不垂直；
③若∠ABC=60°，则三棱锥E−AA1O的体积为2 39；
④三棱柱ABC−A1B1C1外接球的表面积的最大值为24π．
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.若复数a+3i1−2i(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数，则实数a= ．
14.已知a=(x,1),b=(−1,2)，且a⃗+2b⃗=a⃗−2b⃗，则x= ．
15.某校学生高一年级有880人，高二年级有800人，高三年级有720人，现用分层随机抽样方法共选取n名学生进行竞赛答题，已知高三年级选出9名选手，则n= ；选出的高三年级9名选手分别答对题目数量为：2，3，7，5，1，6，8，3，8，则这组数据的第60百分位数为 ．
16.已知一个圆锥的轴截面为等边三角形，底面积为S1，体积为V1，一个圆柱下底面积为S2，体积为V2，若圆锥和圆柱的侧面积相等，且S1S2=94，则V1V2的值是 ．
17.已知菱形ABCD的边长为2，∠A=2π3，沿AC将▵ABC折起得到二面角B′−AC−D.当二面角B′−AC−D为直二面角时，B′D的长为 ；当三棱锥B′−ACD的体积为 32时，二面角B′−AC−D的度数为 ．
18.在▵ABC中，点D是线段BC上任意一点(不包含端点)，点E为线段AC的中点，AF=2FB，若AD=mAE+nAF，则4m+3n的最小值为 ．
19.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD−A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
(1)盛水的部分始终呈棱柱形．
(2)水面EFGH所在四边形的面积为定值．
(3)当容器倾斜如图②所示时，AE+DH为定值．
(4)当容器倾斜如图③所示时，AE⋅AH为定值．
(5)当容器倾斜如图③所示时，当AE=AH时，FG取最小值．
其中所有正确命题的序号是 ．
20.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120∘，点E、F分别在边BC、CD上，BC=3BE，CD=λDF，若AE⋅AF=1，则λ的值为 ；若G为线段DC上的动点，则AG⋅AE的最大值为 ．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点．

(1)求异面直线CD1与BC1所成角；
(2)求证：MN//平面ABCD
22.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csC2a−c=12b．
(1)求角B；
(2)若 7c=2b．
(ⅰ)求csC的值；
(ⅱ)若a+c=5 2，求▵ABC的面积．
23.如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C是⊙O上的动点，PA⊥平面ABC，过点A作AE⊥PC，过点E作EF⊥PB，连接AF．
(1)求证：BC⊥AE；
(2)求证：平面AEF⊥平面PAB；
(3)当C为弧AB的中点时，直线PA与平面PBC所成角为45∘，求四棱锥A−EFBC的体积．
24.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2sinAsinBsinC= 3sin2A−cs2C+cs2B
(1)求B；
(2)若a=2，b= 19，且BA，CA边上的两条中线CM，BN相交于点G，求∠MGN的余弦值；
(3)若▵ABC为锐角三角形，a=2，且外接圆圆心为O，求▵OBC和▵OAC面积之差的最大值．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.A
5.D
6.D
7.C
8.D
9.A
10.D
11.B
12.B
13.6
14.2
15.30
；6
16. 32
17. 6 ； ；
；60°或120°
18.8
19.(1)(3)(4)(5)
20.2 ；83
21.解：(1)连接A1B，A1C1，
因为A1D1=BC且A1D1//BC，所以四边形A1D1CB为平行四边形，
所以CD1//A1B，则∠A1BC1或其补角为异面直线CD1与BC1所成的角，
在正方体中，可得A1C1=A1B=BC1，即▵A1C1B为等边三角形，
所以∠A1BC1=60°，所以异面直线CD1与BC1所成角为60°；

(2)取CC1的中点E，连接ME，NE，
因为M，N分别是BC1，CD1的中点，
所以ME//BC，NE//C1D1，
而C1D1//CD，所以NE//CD，
又因为BC⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，NE⊄平面ABCD，
ME⊄平面ABCD，
所以NE//平面ABCD，ME//平面ABCD，
又ME∩NE=E，ME,NE⊂平面MNE，
所以平面MEN//平面ABCD，
因为MN⊂平面MNE，
所以MN//平面ABCD．

22.解：(1)由csC2a−c=12b，去分母得2bcsC=2a−c，
利用正弦定理边化角得：2sinBcsC=2sinA−sinC，
由三角形内角和定理得：2sinBcsC=2sin(B+C)−sinC，
用两角和正弦公式得：2sinBcsC=2sinBcsC+2csBsinC−sinC，
整理得：2csBsinC=sinC，
因为sinC>0，所以csB=12，
又因为B∈0,π，所以B=π3
(2)(ⅰ)由 7c=2b，结合正弦定理得： 7sinC=2sinB=2sinπ3= 3⇒sinC= 217，
由bc= 72>1，得C