2024-2025学年天津市滨海高新技术产业开发区第一学校高二下学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市滨海高新技术产业开发区第一学校高二下学期第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)=4t2−3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t=5时的瞬时速度为( )
A. 7m/sB. 10m/sC. 37m/sD. 40m/s
2.下列函数的求导正确的是( )
A. x−2′=−2xB. (sinx)′=−csx
C. ex+ln3′=ex+13D. lnx2′=2x
3.完成一项工作有3种方法，其中有5个人只会用第一种方法，有4个人只会用第2种方法，有3个人只会用第3种方法，从中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有( )
A. 5种B. 4种C. 9种D. 12种
4.下列函数中，存在极值的是( )
A. y=exB. y=lnxC. y=2xD. y=x2−2x
5.已知C172x=C17x+2x∈N+，则x=( )
A. 2B. 5C. 2或5D. 2或6
6.已知函数fx=e2x，则limΔx→0f1+Δx−f1Δx=( )
A. 0B. 1C. e2D. 2e2
7.函数fx的定义域为开区间a,b，导函数f′x在a,b内的图像如图所示，则函数fx在开区间a,b内有极大值点( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.某高中期中考试需要考查九个学科(语文、数学、英语、生物、物理、化学、政治、历史、地理)，已知语文考试必须安排在首场，且物理考试与英语考试不能相邻，则这九个学科不同的考试顺序共有( )种
A. A88B. A22A77C. A66A72D. A66A82
9.一个矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为xcm，小盒子的容积为Vcm3，则( )
A. 当x=1时，V有极小值B. 当x=1时，V有极大值
C. 当x=103时，V有极小值D. 当x=103时，V有极大值
10.若f(x)=−12x2+bln(x+2)在(−1,+∞)上是减函数，则b的取值范围是( )
A. [−1,+∞)B. (−1,+∞)C. (−∞,−1]D. (−∞,−1)
11.天津国家海洋博物馆，位于天津市滨海新区中新生态城，是集收藏、展示、研究、教育为一体的国家级综合性海洋博物馆.博物馆每周一闭馆，周二至周日开放(节假日除外).某学校计划于2025年5月13日(周二)至5月18日(周日)组织高一、高二、高三年级的同学去天津国家海洋博物馆参观研学(此周学生不休息)，每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有( )
A. 20种B. 50种C. 60种D. 100种
12.已知函数fx=lnxx,x>0x+2ex,x≤0,若函数gx=fx−a的零点有2个或3个，则实数a的取值范围为( )
A. −1e3,1eB. −1e3,1eC. 0,1eD. −1e3,0
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.计算：C104−C73×A33= ．
14.函数f(x)=x−2lnx+1的单调递减区间为 ．
15.已知函数fx的导函数为f′(x)，且满足fx=2xf′1+1x，则f′1= ．
16.若函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点，则实数m的取值范围是 ．
17.用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的三位数，且是偶数，则这样的三位数有 个.
18.如图，天津市共辖16区，市内六区分布如图，用4种颜色标注6个区域，相邻区颜色不同，不同的涂色方式共有 种.
19.已知函数fx=x−ax−22a∈R，当x=2时，fx有极大值，则a的取值范围为 ．
20.已知a∈R，设函数f(x)=x2−2ax+2a,x≤1x−alnx,x>1，若关于x的不等式f(x)≥0在x∈R上恒成立，则a的取值范围为 ．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题12分)
已知函数fx=−x3+ax2+bx在区间−2,1内，当x=−1时取得极小值，当x=23时取得极大值．
(1)求函数y=fx在x=−2时的对应点的切线方程；
(2)求函数fx在−2,1上的最大值与最小值．
22.(本小题12分)
从3名男同学中选出2人，5名女同学中选出3人．(此题结果用数字作答)
(1)共有多少种不同的选法；
(2)若将选出的5人排成一排．
①共有多少种不同的排法；
②若选出的2名男同学必须相邻，共有多少种不同的排法．
23.(本小题12分)
如图，在多面体ABCDEF中，AD//BC，AF//BE，AB⊥AF，AD⊥平面ABEF，AD=AB=2，AF=4AG=4，BC=BE=1．
(1)求证：直线BG//平面DCE；
(2)求平面DBF与平面DCE夹角的余弦值；
(3)求点E到平面DBF的距离．
24.(本小题14分)
已知函数f(x)=x−(a+1)lnx，g(x)=−2+ax,(a∈R).
(1)若a=2，求函数f(x)的极值；
(2)设函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，求函数ℎ(x)的单调区间；
(3)若对1,e内任意一个x，都有f(x)>g(x)成立，求a的取值范围．
参考答案
1.D
2.D
3.D
4.D
5.C
6.D
7.A
8.C
9.B
10.C
11.C
12.B
13.0
14.0,2/0,2
15.1
16.− 3, 3
17.52
18.144
19.a>2
20.0,e
21.(1)f′x=−3x2+2ax+b，
又x=−1，x=23分别对应函数的极小、极大值，
则x=−1，x=23是方程−3x2+2ax+b=0的两实根，
∴23a=−1+23,−b3=(−1)×23，
于是a=−12,b=2，经检验满足题意
则fx=−x3−12x2+2x且当x=−2时，f−2=2，且f′2=−8，
∴所求切线方程为y−2=−8x+2，即8x+y+14=0；
(2)∵f−2=2，f−1=−32,f23=2227,f1=12，
∴fx在−2,1上的最大值为2，最小值为−32，

22.解：(1)从3名男同学中选出2人，5名女同学中选出3人，共C32C53=30种选法．
(2)①这5人全排列，共C32C53A55=3600种排法；
②男同学必须相邻共A22种排法，5人排列共A44种排法
所以共有C32C53A22A44=1440种排法．

23.(1)因为AB⊥AF，AD⊥平面ABEF，AF,AB⊂平面ABEF，
所以AD⊥AF,AD⊥AB，
所以AF，AB，AD两两垂直，
则以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，
则B(0,2,0)，E(1,2,0)，C(0,2,1)，D(0,0,2)，G(1,0,0)，
所以BG=(1,−2,0)，EC=(−1,0,1)，ED=(−1,−2,2)，
设平面DCE的法向量n=(x,y,z)，则n⋅EC=−x+z=0n⋅ED=−x−2y+2z=0，令x=2，
得n=(2,1,2)，
所以BG⋅n=1×2−2×1+0×2=0，则BG⊥n，
又因为BG⊄平面DCE
所以直线BG/​/平面DCE．
(2)由F(4,0,0)，得BF=(4,−2,0)，BD=(0,−2,2)，
设平面DBF的法向量为n0=(x0,y0,z0)，则n0⋅BF=4x0−2y0=0n0⋅BD=−2y0+2z0=0，令x0=1
得n0=(1,2,2)，
所以csn0,n=n0⋅nn0⋅n=1×2+2×1+2×23×3=89
则平面DBF与平面DCE夹角的余弦值为89
(3)由于DE=(1,2,−2)，平面DBF的法向量n0=(1,2,2)，
设点E到平面DBF的距离为d，
则d=n0⋅DEn0=1×1+2×2−2×23=13，
所以点E到平面DBF的距离为13

24.(1)fx的定义域为0,+∞，
当a=2时，fx=x−3lnx，f′x=1−3x=x−3x，
所以fx的极小值是f3=3−3ln3，fx没有极大值；
(2)ℎx=x+2+ax−a+1lnx，
ℎ′x=1−2+ax2−a+1x=x2−a+1x−a+2x2=x+1x−2+ax2，
①当a+2>0时，即a>−2时，在0,2+a上ℎ′x0，
所以ℎx在0,2+a上单调递减，在2+a,+∞上单调递增；
②当2+a≤0，即a≤−2时，在0,+∞上ℎ′x>0，
所以，函数ℎx在0,+∞上单调递增；
(3)“对1,e内任意一个x，都有fx>gx成立”等价于
“函数ℎx=x+2+ax−a+1lnx在1,e上的最小值大于零”
由(2)可知
①当2+a≤0时，ℎx在0,+∞上单调递增，所以ℎxmin=ℎ1=a+3>0，解得−30可得ae−2，所以e−2≤a0可得a>−3，所以−1≥a>−3；
④当1