天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 已知i为虚数单位，若复数，则复数z在复平面上对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 以下说法正确是（ ）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．
A. ①②④⑥B. ②③④⑤C. ①②③⑥D. ①②⑤⑥
3. 在△中，，，分别为角，，的对边，若，，，则等于
A. B. 或
C. D. 或
4. 已知向量，，，且，，则
A. 3B. C. D.
5. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ）
A. B. 1C. 8D.
6. 已知点，，，，若是与方向相同单位向量，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（ ）

A. B.
C D.
8. 已知复数z满足，则的最大值为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
9. 在中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知，则是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
10. 为解决我校午餐拥挤问题，高一某班同学提出创想，计划修建从翔字楼四楼直达北院食堂二楼的空中走廊“南开飞云”，现结合以下设计草图提出问题：已知A，D两点分别代表食堂与翔宇楼出入口，C点为D点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得，设，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知三个不共线向量满足，则O为的（ ）
A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心
12. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
二、填空题
13. 设是虚数单位，复数，则的虚部是___________，___________.
14. 在中，角的对边分别为，，，，则________.
15. 已知，若复数是纯虚数，则a的值为________.
16. 在边长为的正三角形中，，则的值等于__________.
17. 已知与，点在直线上，且，则点坐标为_________.
18. 在中，角的对边分别为，已知，角为锐角，向量与共线，且，则的周长为___________.
19. 已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则__________；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为_________.
20. 如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为，设，分别为线段，上的动点，且，，则的取值范围是______________.
三、解答题
21. 已知，，与的夹角为.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）求的值；
（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
22. 已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，三角形的面积为.
（1）求边上的高：
（2）求
23. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求角A的值；
（2）若，，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的值．
24. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积；
（3）若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.
塘沽一中2024-2025学年度第二学期
高一年级第一次统练数学学科试题
一、选择题
1. 已知i为虚数单位，若复数，则复数z在复平面上对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数乘方运算得到，从而得到对应的点的坐标，得到所在象限.
【详解】，
故复数z在复平面上对应的点坐标为，故对应的点在第三象限.
故选：C
2. 以下说法正确的是（ ）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．
A. ①②④⑥B. ②③④⑤C. ①②③⑥D. ①②⑤⑥
【答案】C
【解析】
【分析】根据棱柱（直棱柱、平行六面体、多面体）、棱锥（正棱锥）的结构特征判断各项的正误.
【详解】①棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故正确；
②平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故正确；
③直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，故为直棱柱，故正确；
④底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误；
⑤底面为长方形的直四棱柱是长方体，故错误；
⑥四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，正确.
故选：C
3. 在△中，，，分别为角，，的对边，若，，，则等于
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由正弦定理可得,且,故,故应选D.
考点：正弦定理及运用.
4. 已知向量，，，且，，则
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，得到求出，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.
【详解】因为向量，，，且，，
所以，解得：，即，，
所以，因此.
故选：B.
【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标表示，向量垂直的坐标表示，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.
5. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ）
A. B. 1C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据斜二测画法的规则将图还原，平面图是一个直角三角形，从而可求出其面积.
【详解】
由直观图还原平面图形可知，在中，，， ,
所以
故选：B．
6. 已知点，，，，若是与方向相同的单位向量，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出、的坐标，再求出、，最后根据向量在方向上的投影向量为计算可得.
【详解】因为，，，，
所以，，
所以， ，
又是与方向相同的单位向量，所以向量在方向上的投影向量为.
故选：D
7. 如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量线性运算计算可得结果.
【详解】由点为中点得：，因为，所以，
因为，
所以.
故选：C
8. 已知复数z满足，则的最大值为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出最大值.
【详解】在复平面内，z与对应点，关于x轴对称，
而满足条件的点的集合是以为圆心，2为半径的圆，该圆关于x轴对称，
因此，由复数的几何意义知表示点与点的距离，
又圆上的点到的距离最大值为5，
所以的最大值为5.
故选：B
9. 在中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知，则是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得，由余弦定理可得，化简变形可得，则有或，从而可判断三角形的形状
【详解】解：由，得，
所以由余弦定理得，，
所以，
所以，，
所以或，
所以或，
所以为等腰或直角三角形，
故选：D
10. 为解决我校午餐拥挤问题，高一某班同学提出创想，计划修建从翔字楼四楼直达北院食堂二楼的空中走廊“南开飞云”，现结合以下设计草图提出问题：已知A，D两点分别代表食堂与翔宇楼出入口，C点为D点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在 中，利用正弦定理求得BC，在 中，利用正弦定理求得，然后由求解.
【详解】在 中，因为，
所以，
又，
，
由正弦定理得： ，
，
在 中，因为，，
由正弦定理得：，
所以，
因为，
所以，
故选：C
11. 已知三个不共线的向量满足，则O为的（ ）
A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的线性运算判断出分别在的角平分线上，即可得出结论.
【详解】
如图，取，则，且分别与同向，
，
又，
而是以为底的等腰三角形，故在的角平分线上，
同理分别在的角平分线上，
所以O为的内心.
故选：A.
12. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ）

A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可.
【详解】因为，所以
所以，
因为，所以，
即，
因为三点共线，所以，解得，
所以，
而,
所以,
即.
故选：D.
二、填空题
13. 设是虚数单位，复数，则的虚部是___________，___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先利用复数的加法和除法运算化简复数z，再利用复数的概念和复数的模公式求解.
【详解】因为复数，
所以的虚部是，，
故答案为：，
14. 在中，角的对边分别为，，，，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】由正弦定理求出，由边的大小关系得到角的大小关系，从而求出.
【详解】由正弦定理可得，即，∴，
∵，∴，∴.
故答案为：.
15. 已知，若复数是纯虚数，则a的值为________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据纯虚数的概念，实部等于0，虚部不为0，列式求解即可.
【详解】由题：，解得：，
故答案为：.
16. 在边长为的正三角形中，，则的值等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】由和，结合向量数量积定义和运算律可求得结果.
【详解】，，
.
故答案为：.
17. 已知与，点在直线上，且，则点坐标为_________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意，可得或，设P点坐标，利用向量的坐标运算，可得到满足条件的点P坐标．
【详解】由点P在直线AB上，且，可得或，
当时，设，有，解得，，
点坐标为.
当时，设，有，解得，，
点坐标为.
故答案为：或.
18. 在中，角的对边分别为，已知，角为锐角，向量与共线，且，则的周长为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据与共线，得到，即，求得角B，再根据，利用正弦定理求得2R，然后将转化为边，再结合余弦定理求得即可.
【详解】因为与共线，
所以，即，
所以，
因为，
所以，
则，
解得，
因为，
由正弦定理得，
又因为，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
即，即，
所以，
解得，
所以三角形的周长为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是由和求得外接圆半径，将转化为边结合余弦定理而得解 。
19. 已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则__________；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为_________.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则可得，再根据平面向量基本定理求，，由此可得；根据向量线性运算法则结合数量积运算律可得，结合图形确定的最小值，由此可求的最小值.
【详解】因为，所以，
因为，，
所以，，
所以，
因为为线段的中点，所以，又，
所以，
又，
所以，
因为设是线段上的动点，又为钝角，
所以，
因为正方形的边长为，，
所以，
所以，
所以当点与点重合时，取最小值，最小值为.
故答案为：；.
20. 如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为，设，分别为线段，上的动点，且，，则的取值范围是______________.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，用设点，坐标，使用向量数量积的坐标运算建立函数求解.
【详解】
∵，∴，以为原点，直线，分别为轴，轴建立平面直角坐标系，
∵向量在向量上的投影向量为，∴，∴，
由已知，设，，（，），
则，，，
∵，∴，即，
∴，∴，，∴，
又∵，分别为线段，上的动点，且，，
∴，解得，
且，，
∴，，
∴，，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
设，，则由以上基本不等式所求最小值可知，
当时，单调递减，当时，单调递增，
，，
∴的最小值为，最大值为
∴的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题
21. 已知，，与的夹角为.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）求的值；
（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可；
（2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可；
（3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可.
小问1详解】
因为与共线，
所以存在实数使得，
所以，解得，所以；
【小问2详解】
因为，，与的夹角为，
所以，
所以，
则；
【小问3详解】
向量与的夹角是锐角，
可得，且与不同向共线，
即为，
即有，解得，
由与共线，可得，
解得，当时，两者同向共线，
则实数的取值范围为.
22. 已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，三角形的面积为.
（1）求边上的高：
（2）求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角形面积公式求出，根据为锐角，求出，用余弦定理求出，再根据面积公式求出所求高；
（2）利用余弦定理求出，根据同角公式求出，再根据两角差的正弦公式求出结果.
【详解】（1），得，
因为为锐角，所以.
所以，
设边上的高为，则，得.
（2）,,
所以.
【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式、余弦定理求解是解题关键.
23. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求角A的值；
（2）若，，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的值．
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化简已知式可得，由余弦定理即可求出；
（2）（ⅰ）由正弦定理可求出的值；（ⅱ）由同角三角函数的基本关系可求出，再由二倍角的正弦和余弦公式求出，最后由两角差的余弦公式求出的值．
【小问1详解】
由正弦定理得：，化简得：，
由余弦定理得：，又，所以.
【小问2详解】
（ⅰ）由（1）知，，又，，
由正弦定理可得：；
（ⅱ）因为，所以，
所以，，
所以
.
24. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积；
（3）若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件和正弦定理，将边化为角，利用三角函数关系即可求出A的大小；
（2）结合余弦定理求出bc，从而可求面积；
（3）结合正弦定理求出a，根据是锐角三角形求出B的范围，利用正弦定理用B表示b，将化为关于sinB的式子，利用对勾函数单调性即可求其范围.
【小问1详解】
由及正弦定理得：
，
因为，
所以，又，，
，又，故；
【小问2详解】
由余弦定理，又，
所以，所以，
由可得，
故的面积；
【小问3详解】
由正弦定理可知，故，
因为是锐角三角形，
所以，
所以，
令，，，
由对勾函数的性质可知，当时，y单调递增；当，y单调递减；
当时，；当时，；当时，；
因为，所以，
故.
【点睛】关键点点睛：本题第3小问解决的关键在于，利用锐角三角形的条件得到，从而得解.