2025年中考第一次模拟考试卷：数学（河南卷）（解析版）

这是一份2025年中考第一次模拟考试卷：数学（河南卷）（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各数中，属于有理数的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了实数概念，正确掌握相关定义是解题关键．
直接利用有理数以及无理数的定义分别分析即可得出答案．
【详解】解：A、属于无理数，故A选项不符合题意；
B、属于无理数，故B选项不符合题意；
C、属于无理数，故C选项不符合题意；
D、属于有理数，故D选项符合题意；
故选：D．
2．某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“承”的对面是（ ）
A．化B．传C．文D．色
【答案】A
【分析】本题考查了正方体的展开图形，根据正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形求解即可得到答案；
【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与“承”字相对的面上的汉字是“化”，
故选：A．
3．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，它的高度大约是．小明将数据用科学记数法表示为，则n的值是（ ）
A．B．C．6D．7
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：数据用科学记数法表示为．
∴n的值是6．
故选：C．
4．如图，圆O是的外接圆，已知，，则圆O的半径的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，连接，根据圆周角定理可得，即可得到为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解答，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
,
，
为等腰直角三角形，
,
即，解得（负值舍去），
故选：B．
5．下列计算正确的是( )
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，计算正确；
B、 ，原计算错误；
C、 ，原计算错误；
D、 ，原计算错误；
故选A．
6．已知关于x的方程的一根为0，另一根不为0，则m的值为（ ）
A．1B．C．1或D．以上均不对
【答案】A
【分析】首先将根为0代入方程解得的值，然后利用根的判别式进行判断的范围，再根据二次项系数不能为0，从而得到所求的的值．
【详解】解：关于的方程的一根为0，
，
即，
解得：或．
当时，方程为，
解之得，，符合题意；
当时，方程为，
方程只有一个根，不符合题意；
∴，
故选：A．
7．在一次兑换盲盒的游戏中，规定：在不透明的袋子中，放置3个黄球，2个红球，这些小球除颜色以外其他完全相同，搅匀后随机摸出两个球，若摸到的两个球颜色相同，便能得到一次兑换盲盒的机会，则参与者每次摸球得到兑换盲盒机会的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率计算；画树状图法或列表法，利用概率计算公式，即可求解；能理解放回与不放回的区别是解题的关键．
【详解】解：列表如下
共有种等可能结果，其中摸到的两个球颜色相同的有种结果，
摸到的两个球颜色相同的概率：；
故选：C．
8．如图，二次函数的图象与y轴交于点，其对称轴是直线，则不等式的解集是（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的对称性，先根据对称性求出点也在改二次函数图象上，再根据函数图象即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数的图象与y轴交于点，其对称轴是直线，
∴点也在改二次函数图象上，
∴由函数图象可知，当时，或，
∴不等式的解集是或，
故选：D．
9．如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 点A， B ， E 在x轴上，若正方形的边长为 12， 则 C点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出的长是解题关键．直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长，进而得出，进而得出的长，即可得出答案．
【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
点坐标为：，
故选：C．
10．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示．(温馨提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，则以下说法正确的是（ ）

A．当石块下降时，此时石块在水里
B．当时，拉力与之间的函数表达式为
C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是
D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底
【答案】D
【分析】根据函数图象待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面，故选项A错误；
当时，设所在直线的函数表达式为
，
则
解得
，故选项B错误；
当石块下降的高度为时，即时，
，
，
故选项C错误；
当即3=，
解得，
石块距离水底的距离为，
故选项D正确，
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若分式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据若分式有意义则分式的分母不等于0列式计算即可．
【详解】根据题意得，，解得．
故答案为．
12．不等式组：的解集是 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
故答案为：．
13．某校抽测了某班级的10名学生竞赛成绩（均为整数），从低到高排序如下：，，，，，，，，，，如果，，该组数据的中位数是85，则 ．
【答案】84或85
【分析】本题考查了求中位数，正确理解中位数的定义是解题的关键．由中位数的定义可知，，再根据，，即可得出答案．
【详解】由已知，10个成绩从低到高排列，居中的两个成绩为和,且该组数据的中位数是85，
，，
，，或，，
故答案为：84或85．
14．如图，在中，，点B在x轴上，分别为、的中点，连接，E为上任意一点，连接、，反比例函数的图象经过点A，若的面积为6，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象、等腰三角形以及中位线的性质、三角形面积，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质.
根据等腰中位线得出, 应用的几何意义求.
【详解】如图: 连接,
中， 在轴上, 分别为的中点,
∴,
，
，
故答案为：
15．如图，点P为矩形ABCD对角线AC上异于A、C的一个动点，过点P作PE⊥AD于点E，点F为点A关于PE的对称点，连接PF、FC，若AB＝6，BC＝8，当△CPF为直角三角形时，AE的长为 ．
【答案】或
【分析】根据△CBF为直角三角形，即∠CFP为直角，从而证明∠CFD+∠PFA＝90°，得∠CFD＝∠BAC，证得△CDF∽△CBA，根据相似三角形的性质计算得到DF的长度，再用AD长度减去DF后根据轴对称的性质可得AE的长．
【详解】解：①当∠CFP＝90°时，
∵△PCF为直角三角形，
∴∠CFP＝90°，
∴∠CFD+∠PFA＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠CAB+∠PAF＝90°，
∵PE⊥AD，点A与点F关于PE对称，
∴PE＝PA，EF＝EA，
∴∠PFA＝∠PAF，
∴∠CAB＝∠CFD，
在△CBA和△CDF中
∴△CBA∽△CDF，
∴，
∵AB＝CD＝6，BC＝8，
∴，
即DF＝ ，
∴AE＝（AD﹣DF）
＝（8﹣）
＝ ．
②当∠PCF＝90°时，
∵∠ACB＝∠CAF，∠B＝∠ACF＝90°，
∴△ACB∽△FAC，
∴＝，
∴AF＝，
∴AE＝AF＝
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)8；
(2)
【分析】此题考查了立方根和负整数指数幂，分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算立方根和负整数指数幂，然后计算加减；
（2）根据分式的混合运算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
17．（9分）每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息：
七年级10名学生竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的竞賽成绩在组中的数据是：94，90，94．
七、八年级抽取的学生竞賽成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中，的值；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防漏水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
(3)该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？
【答案】(1)，
(2)八年级，理由见解析
(3)468人
【分析】（1）根据中位数和扇形统计图即可得到结论；
（2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【详解】（1）解：，
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
；
（2）解：八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由如下（写出其中一条即可）：
①七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的中位数94高于七年级学生成绩的中位数93；
②七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的众数100高于七年级学生成绩的众数99；
（3）解：∵七年级10名学生中，成绩在C，D两组中有6人，八年级10名学生中，成绩在C，D两组中有7人，
∴（人）．
∴（人）．
答：参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是468人．
（9分）如图，为了测量国旗台上旗杆的高度，小华在点A处利用测角仪测得旗杆底部D的仰角为，然后他沿着正对旗杆的方向前进到达点B处，此时利用测角仪测得旗杆顶部E的仰角为，已知点A，B，C在同一水平直线上，测角仪AF的高为，于点C，旗杆底部D到地面的距离为，求旗杆的高度．（结果精确到．，，，）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，三角函数的定义；延长交于点M，求得，，，根据列方程求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点M，
由题意得，，，．
∴．设，则．
在中，，
在中，，
由得，．
解得．
答：旗杆的高度约为．
19．（9分）如图，在矩形中，，为上一点，且．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）中所作的角平分线与的延长线交于点，连接．猜想四边形是什么四边形？并证明你的猜想．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是菱形．证明见解析
【分析】本题考查作图—基本作图、矩形的性质、角平分线的定义、菱形的判定，熟练掌握矩形的性质、角平分线的定义、菱形的判定是解答本题的关键．
（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）结合矩形的性质、角平分线的定义、菱形的判定可得结论．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：四边形是菱形．
证明：平分，
．
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
20．（9分）小晃同学借助反比例函数图像设计一个轴对称图形．如图，正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过正方形的顶点，以点为圆心，的长为半径作扇形BCD，弧BD交于点；以为对角线作正方形，再以点为圆心，的长为半径作扇形．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求弧EG的长；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将代入，可求，进而可得反比例函数的解析式；
（2）由题意知，，根据，计算求解即可；
（3）根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由题意知，，
∴，
∴的长为；
（3）解：由题意知，
，
∴图中阴影部分面积之和为．
21．（9分）为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某商场购进甲、乙两种装饰物对商场进行布置．已知每件甲种装饰物的价格比每件乙种装饰物的价格贵4元，用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同．
(1)求该商场购进甲、乙两种装饰物的单价各是多少元；
(2)当商场装饰完工后，发现还剩余甲种装饰物和乙种装饰物共400件，且购入成本不超过3000元．为了降低装饰成本，商场决定将甲种装饰物以每件13元，乙种装饰物以每件8元的价格对外出售．如果将剩余的这400件装饰物全都售完，剩余甲、乙装饰物的数量分别为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每件甲种装饰物的价格为10元，每件乙种装饰物的价格为6元；
(2)剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元．
【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为元，根据“用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物件，商场获得的利润为元，根据“购入成本不超过3000元”可得出关于m的一元一次不等式，求得，再根据得到关于m的一次函数，利用二次函数的性质即可得出结论；
【详解】（1）解：设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：每件甲种装饰物的价格为10元，每件乙种装饰物的价格为6元；
（2）解：设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物件，商场获得的利润为元，
根据题意得，
解得，
则，
∵，
∴随m的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时，
答：剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元．
22．（10分）2024年8月6日，在巴黎奥运会女子10米跳台跳水决赛中，中国选手全红婵以五跳共分的总成绩夺得金牌．已知跳水运动员起跳后的运动轨迹可近似看作抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)某位运动员在第一次跳水中，从点处起跳（如图），她的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系式，测得几组数据如下表：
则的值为__________，满足的函数关系式为____________________；
(2)若该运动员在第二次跳水中，她的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系式，记她这两次跳水的入水点的水平距离分别为，，则_______；（填“>”“=”或“