2025年中考第一次模拟考试卷：数学（陕西卷）（解析版）

这是一份2025年中考第一次模拟考试卷：数学（陕西卷）（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的相反数是（ ）
A．B．5C．D．
1.A
【分析】本题考查的是绝对值和相反数的概念．根据绝对值、相反数的定义即可得出答案．
【详解】解：根据绝对值的定义，
，
根据相反数的定义，
5的相反数是．
故选：A．
2．如图，直线被直线所截，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2. B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
3．下列立体图形中，可能被一个平面截出的截面是长方形的是（ ）
A．B．
C．D．
3. D
【分析】本题考查的是几何体截面的形状，截面的形状既与被截几何体有关，还与截面的角度和方向有关．认真观察图中的截面是解题的关键．根据几何体截面的概念求解即可．
【详解】解：由题意可得，可能被一个平面截出的截面是长方形的是圆柱体，
故选：D．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4. D
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
将解集表示在数轴上为：
故选：D
5．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5. C
【分析】本题考查三角形的三线，根据高线，中线，角平分线的定义，进行判断即可．
【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线，
∴，，，
故选项A，B，D正确，选项C错误；
故选C．
6．如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．4D．8
6. A
【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到即可得到四边形的面积．
【详解】解：由题意可知，垂直平分，，
∴，四边形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴四边形的面积为，
故选：A
7．直线与直线（，为常数，）关于坐标原点中心对称，若在直线上，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7. C
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标系中点的对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
先求得直线与坐标轴的交点为和，则其对称点和在直线，再用待定系数法求直线的表达式，把代入即可求解．
【详解】解：当，则，
∴直线与y轴交于点，
当时，，解得，
∴直线与x轴交于点，
∵直线与直线（，为常数，）关于坐标原点中心对称，
∴可得和关于原点对称的点和在直线上，
将和代入
得：，
解得：，
∴直线的表达式为，
∵在直线上，
∴有，
故选：C．
8．抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线B．当时，
C．当时，随的增大而减小D．抛物线开口向下
8. B
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个选项中的结论是否成立，得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：A、由表格中点，，可知对称轴是直线，故此选项不符合题意；
B、根据对称轴是直线，图象过点，则根据二次函数的对称性得当时，，故此选项符合题意；
C、由表格数据可得，当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意；
D、根据对称轴是直线，当时，随的增大而减小，得出抛物线开口向下，故此选项不符合题意；
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．分解因式： ．
9.
【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解．直接提取公因式，即可作答．
【详解】解：∵，
故答案为：．
10．如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则 ．
10. /50度
【分析】本题考查了圆周角定理．根据圆周角定理可求的度数，然后根据直径所对的圆周角是直角得出求解即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故答案为：．
11．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”当中，根据幻方的相等关系设计出来一个“幻圆”，即大圆．小圆．横线．竖线上的四个数字加起来的和均相等．如图给出了部分数字，则幻圆中的值为 ．
11.
【分析】如图所示，设小圆空白处为，根据题意列出等式，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设小圆空白处为，
依题意，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，等式的性质，理解题意是解题的关键．
12．反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是 ．
12.
【分析】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过、两点，当时，，
∴此反比例函数的图象在二、四象限，
∴．
故答案为：．
13．如图，在菱形中，，，为菱形的对称中心，过点的直线交于点E，交于点为上的一点，连接．若，则四边形的面积为 ．
13.
【分析】本题考查菱形的性质、中心对称性以及解直角三角形的知识点，解题的关键是利用菱形的中心对称性将四边形的面积进行转化．
通过连接相关线段，利用菱形中心对称性得到一些等量关系．过点作垂线，构造出可以计算面积的三角形．因为菱形具有中心对称性，所以将四边形的面积转化为几个易求面积的三角形面积之和或差．利用已知条件和所作辅助线，结合三角形面积公式（底×高÷2）来计算相关三角形面积，进而得出四边形的面积．
【详解】如图，由菱形的中心对称性可知，
连接，
∵，过点作于点，
作于点，
，
连接，
则
三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：
14.
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂，绝对值，零指数幂是解题的关键．
分别计算负整数指数幂，绝对值，零指数幂，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
15．（5分）先化简，再求值：，其中，．
15. ，11
【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
16．（5分）解方程：．
16.
【分析】本题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
，
，
，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
17．（5分）如图，在中，，请用尺规作图法在边上求作一点，使保留作图痕迹，不写作法
17. 见解析
【分析】根据题意，作出的垂直平分线（或作出的角平分线），交于点，即可求解．
【详解】解法一：如图所示，作的垂直平分线，交于点，则点，即为所求；
解法二：如图所示，作的角平分线，交于点，则点，即为所求；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，作角平分线，作垂直平分线，平行四边形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．
18．（5分）如图，在矩形中，对角线与交于点，，，垂足分别为、．求证：．
18. 证明见解析．
【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解决问题的关键．
根据矩形的性质求出，根据推出即可证得结论．
【详解】证明：四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
19．（5分）某校为丰富学生的课余生活，强化学生的校园安全意识，准备举办一次趣味知识竞答活动，计划购买两种奖品奖励答题优秀同学．已知种奖品比种奖品每件贵12元，且购买种奖品15件，种奖品10件，共需资金280元．求种奖品每件需要多少元．
19. 种奖品每件需要16元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设种奖品每件需要元，则种奖品每件需要元，列出方程求解即可．
【详解】解：设种奖品每件需要元，则种奖品每件需要元．
根据题意，得，
解得．
答：种奖品每件需要16元．
20．（5分）化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
(1)小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________；
(2)小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率．
20. (1)
(2)
【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据列表法求概率即可求解．
【详解】（1）由题意得，选到的概率为
故答案为：
（2）列表如下：
由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种，
二人所选金属均能置换出氢气的概率为．
21．（6分）2025年春节期间，某市举办烟花表演，其中最美烟花当属“惊艳天梯”．当烟花在空中点燃的那一刻，一段段明亮的台阶依次向上显现，在空中逐渐形成一幅美妙的“天梯”图案，十分惊艳．如图，某专业团队在水平地面上竖直架设测角仪，测量“天梯”的长度，在处测得“天梯”最低点的仰角，最高点的仰角，若，，，，共线且垂直于地面，且与，位于同一平面内．请你根据以上信息，计算出天梯的长度．（结果精确到，参考数据：，，，）
21. “天梯”的长度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，由题意得，，在中，根据三角函数的定义得到，在中，根据三角函数的定义得到，于是可得到结论．
【详解】解：由题意得，，
在中，，
，
解得，
在中，，
解得，
，
答：“天梯”的长度约为．
22．（7分）某市采用分段收费标准的方式来鼓励节约用水，居民每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间的关系如图所示．
(1)月用水量超过5吨时，试求y与x的函数关系式；
(2)若某户居民本月比上个月多用水2吨，而水费多5.5元，求该户本月用水量多少吨?
22. (1)
(2)该户居民本月用水量为6吨．
【分析】此题是一次函数的应用，关键是分析统计图，得出两个不同的直线表示的意义，再结合问题进行解答．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先判断出上月用水量不超过5吨，本月用水量超过5吨．设本月的用水量为吨，则上个月的用水量为吨，根据题意列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设月用水量超过5吨时，y与x的函数关系式为，
把，代入得，
解得，
∴；
（2）解：设月用水量不超过5吨时，y与x的函数关系式为，
把代入得，
解得，
∴用水量不超过5吨时，，
若本月和上月用水量都不超过5吨，那么水费应该多4元，
若本月和上月用水量都超过5吨，那么水费应该多7元，
所以上月用水量不超过5吨，本月用水量超过5吨．
设本月的用水量为吨，则上个月的用水量为吨，
则，
解得，
该户居民本月用水量为6吨．
23．（7分）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，2024年2月1日教育部印发《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园．某校为了解全校学生在此之前使用手机情况，随机抽取了部分学生调查其一周使用手机的时间，并用调查结果绘制了如下统计图表，请根据统计图表解答以下问题：
(1)______，填出所抽取学生一周使用手机时间的中位数落在______组；
(2)若以各组组中值（例如的组中值为1小时）代表各组的实际数据，求出所抽取学生一周使用手机时间的平均数及众数；
(3)若该校共有1200名中学生，请你估计该校学生中一周使用手机的时间在6小时以上的有多少人？
23. (1)15；C
(2)平均数为4.4小时，众数为5
(3)该校学生中一周使用手机的时间在6小时以上的有180人
【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图，加权平均数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据C组的频数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后即可计算出A组的频数，再根据频数分布表中的数据，即可得到相应的众数；
（2）根据频数分布表中的数据，可以计算出这组数据的平均数，写出相应的众数；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出该校学生中一周使用手机的时间在6小时以上的有多少人．
【详解】（1）解：这次调查的学生人数为(人)，
A组人数是：(人)；
，
所抽取学生一周使用手机时间的中位数落在C组，
故答案为：15；C；
（2）解：平均数为（小时），众数为5；
（3）解：（人）
答：该校学生中一周使用手机的时间在6小时以上的有180人
24．（8分）如图，在中，，点O在上，以O为圆心，为半径的⊙O切于点D，过点A作交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
24. (1)见解析
(2)
【分析】本题是圆综合题，考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、三角形面积的计算等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）由切线的性质得出再证得，得出，即可得出结论；
（2）由，设，则，再由锐角三角函数定义求出，然后由勾股定理求出，进而得出，求出，最后由即可得出结果．
【详解】（1）切于点D，

在和中
，
（2）在中，，
设，则，
在中，
，
，
解得，
，
在中，
由勾股定理得，
，
即的长为．
25．（8分）公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道的修建在缩短运行距离、提高运输能力、减少事故等方面起到重要的作用．某隧道顶部横截面可视为抛物线，如图1．隧道底部宽为，高为．为了避免司机在隧道内行车疲劳，交通技术部门拟在隧道顶部安装上下长度为的警示灯带．普通货车的高度大约为（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．
(1)在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求抛物线的解析式．
(2)在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带悬挂点的横坐标的取值范围．
25.(1)坐标系见解析；
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，待定系数法求解析式，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
(1)以为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，利用待定系数法即可得解；
(2)先计算出悬挂点的纵坐标，然后由纵坐标范围即可确定横坐标范围．
【详解】（1）解：以为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
顶点的坐标为，设抛物线的解析式为：．
抛物线过点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：普通货车的高度大约为（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．
悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，
，
悬挂点的横坐标的取值范围是：．
26．（10分）问题探索：
（1）如图1，在矩形中，点、分别在边、上，连接、，且于点，若，则______；
问题解决：
（2）如图2，小明家原有一块四边形菜地，其中，，米，米，米，后经土地资源再分配调整为五边形，经测量米，，现需过点修建一条小路将五边形分割成两个区域进行不同的蔬菜种植，设计时满足点在边上，与所夹锐角为，求需修小路的长（小路宽度忽略不计）．
26.（1）（2）米
【分析】（1）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解；
（2）过作交于，过作交于，交于，过作交于，交于，过作交于，由判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得 ，求出， 由（1）同理可证，由相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：过作交于，过作交于，交于，过作交于，交于，过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与所夹锐角为，
，
，
，
，
在和中
（），
，
，
，
，
，
解得：，
，
由（1）同理可证：，
，
，
解得∶；
故需修小路的长米．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质等；掌握矩形中“十字架”的典型解法，矩形的性质，能构建全等三角形及相似三角形，同时能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
组别
使用时间t（小时）
人数
A
a
B
20
C
50
D
10
E
5