2025年河南省南阳市西峡县中考一模数学试题（原卷版+解析版）（中考模拟）

这是一份2025年河南省南阳市西峡县中考一模数学试题（原卷版+解析版）（中考模拟），共27页。试卷主要包含了答题前请将答题卡上的学校等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、本作业共6页，三大题，23小题，满分120分，时间100分钟．
2．请将答案填写在答题卡上，选择题答案用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色笔迹的水笔填写．
3、答题前请将答题卡上的学校、姓名、班级、座号、学生编号填涂完整．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. ﹣5的绝对值是（ ）
A. 5B. ﹣5C. D.
2. 据统计，2024年我国市场规模达6382亿元．数据“6382亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝130°，则∠2等于（ ）
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
4. 如图是五个小立方块组成的一个几何体，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 不等式组的解集是（ ）
A B. C. D.
6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 小明和小红相约暑期去河南网红地“开封清明上河园、洛阳白马寺、嵩山少林寺”打卡游玩，两人从三个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，小明、小红选择同一个景点的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，以等边的边为直径的分别交，于点D，E，，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图所示是一台自动测温记录仪记录的图象，它反映了重庆5月某天一段时间的气温T（℃）随时间t变化的情况，观察图象得到的下列信息，其中错误的是（ ）

A. 该段时间内最低气温为19℃
B. 从6时至15时气温随着时间的推移而上升
C. 该段时间内15时气温最高
D.
从12时至20时，气温随着时间的推移而下降
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个图象经过原点的函数的解析式__________．
12. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．
13. 如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为_____________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______．
15. 如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为、的中点，，，绕点A旋转的过程中，的最大值为__________，最小值为__________．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
17. 某校从甲，乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲，乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表：
（1）这6次测试中，成绩更稳定的学生是__________（填“甲”或“乙”）；甲学生成绩的中位数为__________分；
（2）求乙学生成绩的平均分；
（3）学校为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的选择建议．
18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像如图所示，矩形在第一象限内，平行于x轴，且，点A的坐标为

（1）直接写出B，C，D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移m个单位，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图像上，猜想这是哪两个点？并求m的值和反比例函数的表达式．
19. 如图， 平行四边形中，
（1）请用无刻度直尺和圆规完成以下基本作图：作 的平分线交于点E，在线段上截取， 使(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）在(1) 所作的图形中， 连接， 求证∶ 四边形是菱形．
20. 如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为，试解答下列问题：
（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式.
（2）这次跳投时，球出手处离地面多高？
21. 安居小区为鼓励本小区50户居民锻炼身体，居委会决定为每户发放一个拉力器或一个健身球．已知购买3个拉力器比购买2个健身球多花70元；购买2个拉力器和4个健身球共需260元．
（1）分别求出拉力器和健身球的单价．
（2）居委会在购买时发现：体育用品商店的拉力器购买数量低于30个不优惠，不低于30个打9折；健身球不打折．若要求购买拉力器的数量不低于健身球数量的2倍，请你设计出费用最少的采购方案，并说明理由．
22. 如图，为了测量某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边取两点B、C，使得，，量得的长为30米．
（1）求河的宽度（即求中边上的高）．（精确到1米．参考数据：，）
（2）①请再设计另一种测量河的宽度的方案．可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．设计方案包括画出图形，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用m，n等字母表示，测出的角度用，等字母表示），并对设计进行简要说明；
②根据测量的数据，计算河的宽度．（用字母或三角函数表示）
23. 如图1，在四边形ABCD中，AC为四边形对角线，在ACDCD边上取一点P，连接AP，如果APC是等腰三角形，且ABC与APD相似，则我们称APC是该四边形CD边上的“等腰邻相似三角形”．
（1）如图2，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，若APC是CD边上的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC，∠BAC＝∠DAP，则∠PCA的度数为 ；
（2）如图3，在四边形ABCD中，若∠BCA＝∠D＝3∠CAD，∠BAC＝2∠CAD，请在图3中画出一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，并说明理由；
（3）已知RtAPC，若RtAPC是某个四边形ABCD的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC＝1，ABC与APC相似，求出对角线BD长度的所有可能值．
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数学作业
注意事项：
1、本作业共6页，三大题，23小题，满分120分，时间100分钟．
2．请将答案填写在答题卡上，选择题答案用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色笔迹的水笔填写．
3、答题前请将答题卡上的学校、姓名、班级、座号、学生编号填涂完整．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. ﹣5的绝对值是（ ）
A. 5B. ﹣5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．
【详解】解：|﹣5|=5．
故选A．
2. 据统计，2024年我国市场规模达6382亿元．数据“6382亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：6382亿，
故选：C．
3. 如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝130°，则∠2等于（ ）
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】利用对顶角相等和同旁内角互补即可得出答案．
【详解】如图，
因为∠3=∠1=130°，
又因为a∥b
所以∠3+∠2=180°，
所以∠2=50°．
故选C．
【点睛】平行线的判定定理（1）同位角相等，两直线平行．（2）内错角相等，两直线平行．（3）同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质定理：（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．平面几何中，判定定理和性质定理是成对出现的，定义也可以作为判定定理使用．
4. 如图是五个小立方块组成的一个几何体，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据简单组合体的三视图的看法，找到从正面看到的图形即可．
【详解】解：主视图是，
故选B．
5. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出不等式的解集，求公共部分即可．
【详解】解：
由①得：，
由②得：．
∴原不等式组的解集是：．
故选A．
【点睛】本题考查不等式组的解集，正确得出不等式组的解题是解题的关键．
6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，在解题时熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的对应情况是解此类题的关键．
根据一元二次方程的系数结合根的判别式计算即可得出Δ=-2m2-4×1×-1=4m2+4>0，即可得出结论．
【详解】∵在方程中，
Δ=-2m2-4×1×-1=4m2+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法和完全平方公式分别判断得出答案．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
8. 小明和小红相约暑期去河南网红地“开封清明上河园、洛阳白马寺、嵩山少林寺”打卡游玩，两人从三个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，小明、小红选择同一个景点的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了画树状图法求概率；首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人抽到同一个景点的概率的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：用、、 表示：“开封清明上河园、洛阳白马寺、嵩山少林寺”；
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，则他俩选择同一个景点有3种情况，
∴则他俩选择同一个景点的概率是：，
故选B．
9. 如图，以等边的边为直径的分别交，于点D，E，，则阴影部分的面积是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算和等边三角形的性质，利用为等边三角形，再证明为等边三角形，然后根据扇形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
10. 如图所示的是一台自动测温记录仪记录的图象，它反映了重庆5月某天一段时间的气温T（℃）随时间t变化的情况，观察图象得到的下列信息，其中错误的是（ ）

A. 该段时间内最低气温19℃
B. 从6时至15时气温随着时间的推移而上升
C. 该段时间内15时气温最高
D.
从12时至20时，气温随着时间的推移而下降
【答案】D
【解析】
【分析】观察图像可知从0时到6时，温度逐渐下降，最低温度时19℃，从6时到15时，温度逐渐上升，最高温度是28℃，从15时到20时，温度逐渐下降，然后逐项判断可得答案．
【详解】观察图像可知从0时到6时，温度逐渐下降，最低温度时19℃，可知A不符合题意；
从6时到15时，温度逐渐上升，15时气温最高温度是28℃，可知B，C不符合题意；
从15时到20时，温度逐渐下降，可知D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，从图象中获取信息是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个图象经过原点的函数的解析式__________．
【答案】y=x（答案不唯一）
【解析】
【分析】直接写出一个已经学过的经过原点的函数解析式即可．
【详解】解：因为直线y=x经过原点（0,0），
故答案为：y=x（本题答案不唯一，只要函数图象经过原点即可）．
【点睛】本题考查了学生对函数解析式的理解，解决本题的关键是理解并掌握函数解析式与函数图象的关系等．
12. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义条件，根据分式有意义，分母不能为0，计算即可．
【详解】若代数式有意义，则，解得
故答案为：．
13. 如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为_____________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线性质定理，直角三角形两锐角互余，由圆周角定理可得出，根据圆的切线性质定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵以为直径的与相切于点A，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作，因为，，所以，，根据勾股定理得，故，即点的坐标即可求解．
【详解】解：过点作，如图所示：
四边形是正方形，点的坐标是，
，，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
在△中，根据勾股定理得，
，
即点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理．
15. 如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为、的中点，，，绕点A旋转的过程中，的最大值为__________，最小值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由题可知：点在以点为圆心，为半径的圆上，连接，，则：，当三点共线时，且点M在延长线上时，的值最大，当点M在线段上时，的值最小，进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，
∴
∴，，
∵绕点A旋转，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵，
∴当三点共线时，且点M在延长线上时，的值最大，
即：；
当三点共线时，且点M在线段上时，的值最小，
即：．
故答案为：，．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，以及借助圆，求线段的最值．解题的关键是确定点在以点为圆心，为半径的圆上．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）6；（2）
【解析】
【分析】此题考查了零指数幂，二次根式的乘法，分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算零指数幂，二次根式的乘法，然后计算加减即可求解；
（2）根据分式的加减乘除混合运算法则求解即可．
【详解】解：（1）
．
（2）原式
．
17. 某校从甲，乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲，乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表：
（1）这6次测试中，成绩更稳定的学生是__________（填“甲”或“乙”）；甲学生成绩的中位数为__________分；
（2）求乙学生成绩的平均分；
（3）学校为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的选择建议．
【答案】（1）甲；95.5
（2）95 （3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查统计图（表），求平均数，中位数，根据平均数、中位数和方差做决策．
（1）根据折线的波动程度可判断成绩更稳定的学生，运用中位数定义即可求出平均数；
（2）运用平均数的定义求解即可；
（3）根据平均数、中位数、方差和统计图的走势进行分析可得出结论，提出合理建议．
【小问1详解】
∵由统计图可知，甲的成绩比乙的成绩波动幅度小，
∴成绩更稳定的学生是甲．
∵将甲的6次成绩从小到大进行排序，排在第3位和第4位的是分别是95和96，
∴甲的中位数为：（分）；
故答案为：甲；95.5；
【小问2详解】
乙的平均分为：（分）；
【小问3详解】
甲乙的平均分相同，但甲的中位数比乙高，方差比乙小，成绩更稳定，且从统计图的趋势可以看出甲的成绩在稳步上升，所以推荐甲参加．
18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像如图所示，矩形在第一象限内，平行于x轴，且，点A的坐标为

（1）直接写出B，C，D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移m个单位，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图像上，猜想这是哪两个点？并求m的值和反比例函数的表达式．
【答案】（1）B（4，1），C（4，2），D（2，2）
（2）点A和点C，m=3；．
【解析】
【分析】（1）根据矩形性质得出、，再根据点的平移即可解答；
（2）设，点A和点C同时落在反比例函数的图像上，可得出，解得，即，再将点A代入求得即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，轴，且，点A的坐标为，
∴、，
∴，即；
【小问2详解】
解：点A和点C同时落在反比例函数的图像上，矩形向下平移m个单位，
设，点A和点C同时落在反比例函数的图像上，
则，
解得，
即，
把代入，得，
∴反比例函数的表达式为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、矩形的性质、坐标与图形的变化——平移等知识点，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键．
19. 如图， 在平行四边形中，
（1）请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：作 的平分线交于点E，在线段上截取， 使(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）在(1) 所作的图形中， 连接， 求证∶ 四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图−−复杂作图，平行四边形的性质和菱形的判定与性质．解题的关键是：
（1）根据基本作图，即可作得；
（2）首先根据平行四边形的性质及所作的图，可证得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的定义，可证得，据此即可证得结论．
【小问1详解】
解：如图，，即为所求，
；
小问2详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴且，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴，
∴四边形是菱形．
20. 如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为，试解答下列问题：
（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式.
（2）这次跳投时，球出手处离地面多高？
【答案】（1）；（2）这次跳投时，球出手处离地面.
【解析】
【分析】（1）设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；
（2）设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=-0.2x2+3.5，当x=-2，5时，即可求得结论．
【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为，
∴可设抛物线的函数关系式为.
∵篮圈中心在抛物线上，将它的坐标代入上式，得，
∴，
∴
（2）设这次跳投时，球出手处离地面，
因为（1）中求得，
∴当时，
.
∴这次跳投时，球出手处离地面.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．
21. 安居小区为鼓励本小区50户居民锻炼身体，居委会决定为每户发放一个拉力器或一个健身球．已知购买3个拉力器比购买2个健身球多花70元；购买2个拉力器和4个健身球共需260元．
（1）分别求出拉力器和健身球的单价．
（2）居委会在购买时发现：体育用品商店的拉力器购买数量低于30个不优惠，不低于30个打9折；健身球不打折．若要求购买拉力器的数量不低于健身球数量的2倍，请你设计出费用最少的采购方案，并说明理由．
【答案】（1）50元，40元；（2）购买34个拉力器和16个健身球，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设拉力器的销售单价为元，健身球的销售单价为元，根据题意列出方程组，然后求解即可；
（2）设采购拉力器个，则采购健身球个，根据题意列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：（1）设拉力器的销售单价为元，健身球的销售单价为元，
则依题意得： ，
解得：
答：拉力器和健身球的单价分别为50元，40元．
（2）设采购拉力器个，则采购健身球个，
则解得．
设采购总费用为，则．
∵，∴随的增大而增大．
∵，且为整数，
∴费用最少的采购方案为购买34个拉力器和16个健身球．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22. 如图，为了测量某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边取两点B、C，使得，，量得的长为30米．
（1）求河的宽度（即求中边上的高）．（精确到1米．参考数据：，）
（2）①请再设计另一种测量河的宽度的方案．可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．设计方案包括画出图形，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用m，n等字母表示，测出的角度用，等字母表示），并对设计进行简要说明；
②根据测量的数据，计算河的宽度．（用字母或三角函数表示）
【答案】（1）河的宽度为19米
（2）①见解析；②河的宽度为米
【解析】
【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）如图1中，过点作于点．设米．构建方程求出即可解决问题；
（2）①构造如图2，测得的长，构造全等三角形解决问题即可；
②构造全等三角形解决问题即可；
【小问1详解】
解：如图1中，过点作于点．设米．
在中，（米，
中，，
（米，
米，
，
，
（米
河的宽度为19米．
【小问2详解】
解：①如图2中，设线段为河的宽，取线段，使得，作，设的中点，当，，共线时，测量出的长米；
②，
，
的中点，
，
，
，
米．
23. 如图1，在四边形ABCD中，AC为四边形对角线，在ACD的CD边上取一点P，连接AP，如果APC是等腰三角形，且ABC与APD相似，则我们称APC是该四边形CD边上的“等腰邻相似三角形”．
（1）如图2，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，若APC是CD边上的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC，∠BAC＝∠DAP，则∠PCA的度数为 ；
（2）如图3，在四边形ABCD中，若∠BCA＝∠D＝3∠CAD，∠BAC＝2∠CAD，请在图3中画出一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，并说明理由；
（3）已知RtAPC，若RtAPC是某个四边形ABCD的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC＝1，ABC与APC相似，求出对角线BD长度的所有可能值．
【答案】（1）45°；（2）图见解析，证明见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质、“等腰邻相似三角形”的定义构建方程即可解决问题；
（2）在线段AD上取一点P，使得PC＝PA，则△PAC即为所求；
（3）分四种情形分别求解即可解决问题；
【详解】解：（1）如图2中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠D＝∠B＝45°
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AP＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC，∵∠BAC＝∠DAP，
∴∠DAP＝∠CAP＝∠PCA，
在△ADC中，∠D+∠DCA+∠DAC＝180°，
∴3∠PCA＝135°
∴∠PCA＝45°．
故答案为45°．
（2）如图3中，
在线段AD上取一点P，使得PC＝PA，则△PAC是等腰三角形，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴∠DPC＝∠PAC+∠PPCA＝2∠PAC，
∵∠BAC＝2∠CAD，
∴∠BAC＝∠DPC，
∵∠BCA＝∠D，
∴△CBA∽△DCP，
∴△PAC是一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，
（3）由题意△APC是等腰直角三角形，
∵△APC与△ABC，△ABC与△PCD相似，
∴△PDC，△ABC都是等腰直角三角形；
如图4中，当点P在线段AD上，∠ABC＝90°时，易证∠DAB＝90°，AB＝AP＝PD＝1，BD＝＝．
如图5中，当点P在线段AD上，∠BAC＝90°时，作BE⊥DA交DA的延长线于E．易知DE＝3，EB＝1，BD＝＝．
当∠ACB＝90°时，四边形ABCD不存在，不符合题意；
如图6中，如图7中，BD的长度与图4，图5类似．
综上所述，满足条件的BD的长度为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
学生
平均分（分）
中位数（分）
方差
甲
95
4
乙
95
5
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甲
95
4
乙
95
5