2025年中考第一次模拟考试卷：数学（湖南卷）（解析版）

这是一份2025年中考第一次模拟考试卷：数学（湖南卷）（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．-2025的绝对值是（ ）
A．2025B．C．-2025D．
【答案】A
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可求解．
【详解】解：的绝对值是2025．
故选：A ．
2．随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：将0.0000007用科学记数法表示应为，
故选：C．
3．湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，如图①量某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同B．左视图与俯视图相同
C．主视图与俯视图相同D．三个视图完全不相同
【答案】A
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图的知识点，根据主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形，可得答案，理解三视图的意义是正确判断的前提．
【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，底层是一个矩形，上层是一个等腰三角形，俯视图是一个带圆心的圆；
故选：A．
4．下面的计算，不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了合并同类项、单项式的乘法、幂的乘方等知识，根据相关运算法则计算即可．
【详解】A、，故选项正确，不符合题意；
B、，故选项正确，不符合题意；
C、，故选项不正确，符合题意；
D、 ，故选项正确，不符合题意；
故选：C
5．已知点关于原点的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法，以及关于原点对称的两点坐标之间的关系以及一元一次不等式组的解法．先确定出点M在第三象限，然后根据第三象限内点的坐标特征列出不等式组，然后求解得到m的取值范围，从而得解．
【详解】解：∵点关于原点的对称点在第一象限，
∴点在第三象限，
∴，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
在数轴上表示如下：
．
故选：B．
6．将分别标有“惟”、“楚”、“有”、“才”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了用列表法或树状图求概率．根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图即可
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的结果有2种，
∴两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的概率为，
故选：A．
7．临近中考，学校组织师生前往岳麓山放松心态。如果单独租用座的客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用座的客车，可少租一辆，且余个空座位，设全校师生共有人，则所列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设全校师生共有人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找出等量关系是解题的关键．
【详解】解：设全校师生共有人，
由题意得，，
故选：．
8.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则瞬间与空竹接触的细绳的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．
【详解】解：如图所示，连接，

分别与相切于点C，D，
∴，
，
∴，
的长，
∴瞬间与空竹接触的细绳的长为，
故选：C．
【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．
9．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（ ）
A．BD＝10B．HG＝2C．D．GF⊥BC
【答案】D
【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得，进而判断B，根据折叠的性质可得，进而判断C选项，根据勾股定理求得的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项
【详解】BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，
故A选项正确，
将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，
，
,
故B选项正确，
,
∴EG∥HF，
故C正确
设，则，
，
即
，同理可得
若
则
，
，
不平行，
即不垂直，
故D不正确．
故选D
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①； ②；③； ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由图象得 ，，由对称轴得，，；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得 ，于是，进一步推知，由根与系数关系知；
【详解】解：开口向下，得 ，与y轴交于正半轴，，
对称轴，，，故①错误；
故②错误；
抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时，
∴，得，故③正确；
由，，知，
∵，为方程的两个根，
∴
∴，故④正确；
故选：B
【点睛】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．计算的结果是 ．
【答案】/
【分析】先将二次根式化简，然后再合并同类项即可得到答案．
【详解】，
，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查分母有理化，二次根式的加减，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
12．关于的方程无解，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，先求出方程的解，再根据方程无解可知分式方程的分母为，求出的值，再代入方程的解计算即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边乘以得，，
∴，
∵关于的方程无解，
∴，
∴x=−1，
∴，
∴a=2，
故答案为：．
13．眼睛是心灵的窗户．为保护学生视力，某中学每学期给学生检查视力，下表是该校9年级班名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了中位数，解题关键是掌握中位数的定义．数据按从小到大排列，若数据是偶数个，中位数是最中间两数的平均数，若数据是奇数个，中位数是正中间的数．
【详解】解：该样本中共有个数据，按照右眼视力从小到大的顺序排列，第、个数据是，
学生右眼视力的中位数为，
故答案为：．
14．已知，则的值是 ．
【答案】25
【分析】本题考查了因式分解的应用，把变形为，将代入，整理后再次代入即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：25．
15．足球表面是由正六边形和正五边形拼接而成的．右图是足球表面有公共顶点的3个多边形展平后的平面图形，则的大小为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角问题是解题的关键．
先由正多边形的内角公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是即可求出的大小．
【详解】解：正五边形的每个内角的度数为：，
正六边形的每个内角的度数为：，
，
故答案为：．
16．为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，湖南部分城市开启改造路灯计划。如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为 米．
【答案】14
【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出米，然后计算米求解即可．
【详解】解：∵米，米，
∴米，
∵点到地面的竖直距离为2米，
∴米，
∴起重臂顶端离地面的高度为14米．
故答案为：14．
17.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB=10，AC=7，BC=12，则△ADE的周长为 ．
【答案】17
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得AD=AC=7,MN垂直平分BD，则根据线段垂直平分线的性质得到EB =ED，然后利用等量代换即可得到△ADE的周长．
【详解】解：由作图可得AD=AC=7,MN垂直平分BD，
∴EB=ED，
∴△ADE的周长为AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=10+7=17，
故答案为：17．
18．如图，在反比例函数的图象上有，，，……，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，……，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，……，，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可．
【详解】解：∵的横坐标依次为，
∴阴影矩形的一边长都为1，
记轴于点轴于点轴于点，且交于点，如图所示：
将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，
则，
把代入得：，即，
∴，
根据反比例函数中的几何意义，可得：，
∴，
即，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合计算，熟记特殊三角函数值，掌握平方差公式是解题的关键．先算平方差公式，立方根，以及特殊三角函数值，再计算即可得到答案．
【详解】解：原式．
20．（6分）先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键．
先将除法转化为乘法运算，再进行加减运算，最后再代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当，原式．
21．（8分）在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番号”番茄，某校科技小组随机调查株番茄的挂果数量（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表：
“宇番号”番茄挂果数量统计表
请结合图表中的信息解答下列问题：
(1)统计表中，________，________；
(2)将频数分布直方图补充完整；
(3)若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“”所对应扇形的圆心角度数为________；
(4)若所种植的“宇番号”番茄有株，请估计挂果数量在“”范围的番茄有多少株？
【答案】(1)，
(2)详见解析
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意可知样本容量，求某个项目的频数，根据样本容量减去已知项的频数即可求解，根据求某项的频率的方法即可求解；
（2）由（1）可求出对应项的频数，由此即可补全频数分布直方图；
（3）根据样本的频数估算总体的数量的方法即可求解．
【详解】（1）解：随机调查株，
∴挂果数量在的频数为，
挂果数量在的频率为，
故答案为：，．
（2）解：由（1）可知，挂果数量在的频数为，
∴补全的频数分布直方图如图所示，

（3）解：挂果数量在“”的频数为株，频率是，
∴挂果数量在“”所对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：．
（4）解：由（1）可知，样本中挂果数量在“”范围的频率为，
∴种植的“宇番号”番茄株，数量在“”范围的番茄株．
【点睛】本题主要考查调查与统计中的相关的计算，掌握样本的计算方法，频率的计算方法，圆心角的计算公式，根据样本频率估算总体数量的方法等知识是解题的关键．
22．（8分）如图，在⊙中，直径与弦相交于点，连接、．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求⊙的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)⊙的半径为3
【分析】（1）利用，同弧所对的圆周角相等，得到，再结合对顶角相等，即可证明；
（2）利用，得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得⊙的半径．
【详解】（1）证明：在⊙中，
∵，
∴，
又∵,
∴．
（2）解：∵，
由（1）可知，，
∵直径，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴，
即⊙的半径为3．
【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含角的直角三角形．主要涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径所对的圆周角是直角；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半．
23．（9分）在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元．
(1)求型、型设备每台各是多少万元；
(2)根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共10台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？
【答案】(1)型设备每台万元，型设备每台万元
(2)一共有种购买方案
【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用；
（1）设型设备万元台，型设备万元台，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设型设备购买台，则购买型设备台，根据题意列出不等式组，求得整数解，即可求解．
【详解】（1）解：设型设备万元台，型设备万元台，
依题意得：
解得
答：型设备每台万元，型设备每台万元．
（2）设型设备购买台，则购买型设备台，
依题意得：
解得：，
又因为为正整数，所以的取值为，，
答：一共有种购买方案．
24．（9分）如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡上有一棵山楂树，他想测量一下山楂树顶到山脚下的垂直距离，即点到所在直线的距离，方案及测量报告如下：
请根据以上测量报告中的数据，帮助小华求出山楂树顶到山脚下的垂直距离．（结果保留整数，参考数据：）
【答案】8米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，交直线于点，容易证出四边形是矩形，则有，米，再利用正切的定义可得，设米，表示出、的长，再证得，得到，解出的值，得到的长即可解答．
【详解】解：如图，过点作交延长线于点，交直线于点，
∵EM⊥BD，FD⊥BD.
，
，
，
，
四边形是矩形，
，米，
在中，，
，
设米，则米，
米，米，
由题意得，，∠B=90°，
，
，
，即，
解得：，
（米），
山楂树顶到山脚下的垂直距离为8米．
25．（10分）阅读短文，解决问题．
若平行四边形的四个顶点都在三角形的边上，且有一个角与三角形的一个角重合，另一个顶点在三角形的这个重合角的对边上，我们就称这个平行四边形是该三角形的“相依四边形”．例如：如图，在平行四边形中，与重合，点在上，则称平行四边形为的“相依四边形”．
(1)如图，平行四边形为△ABC的“相依四边形”，平分，判断四边形的形状，并进行证明．
(2)在（1）的条件下，如图2，∠B=90°．
①若，，求四边形的周长；
②如图，分别是的中点，连接，若，求的值．
【答案】(1)四边形为菱形，证明过程见详解
(2)①四边形的周长为；
②
【分析】本题利用新定义考查直角三角形性质及菱形的性质与判定，解题的关键是掌握菱形的性质与判定，熟练应用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
（1）已知四边形是平行四边形，根据平分，可得，，即可证明四边形为菱形．
（2）设由，，得，即，列方程求解即可求出四边形的周长为；②过作交于可得，，根据分别是的中点，可得为的中点，即可得，从而得到，．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
平分
四边形为菱形．
（2）①由（1）可知四边形为菱形，
设，
，
∵ ∠B=90°，EF∥AB，
．
．
，
解得
四边形的周长为；
②过作交于，如图：
，，
四边形是平行四边形，
，
分别是的中点，
，
，
，
为的中点，
，
，，
，
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点，与轴交于点，抛物线 经过坐标原点和点，顶点为点．
(1)求抛物线的函数关系式及点的坐标；
(2)点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于 时，求点的坐标；
(3)将直线AB向下平移，得到过点 的直线y=mx+n，且与轴负半轴交于点，取点，连接，请探究与之间存在怎样的数量关系?
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先求出、坐标，再根据抛物经过原点得到，由此利用待定系数法求出抛物线解析式，然后求出顶点坐标即可；
（2）如图1，过点作轴交AB于点，设点的坐标为，则点，然后根据进行求解即可；
（3）设直线与轴交于点先求出直线的解析式为，从而得到点，点，)，即可求出再求出，即可得到，则．
【详解】（1）解：对于，令，解得x=6，令x=0，则，
故点、的坐标分别为、，
抛物线经过坐标原点，故，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为；
则抛物线的对称轴为，当时，
则点的坐标为；
（2）解：如图，过点作轴交AB于点，
设点的坐标为，则点，
，

解得x=1或 ，
故点的坐标为或；
（3）解：设直线与轴交于点
直线AB向下平移后过点
直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
令，解得，令x=0，则
点，点)，
，，
，
过点作于点，
，，，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解．
视力
人数
挂果数量（个）
频数（株）
频率
测量对象
山楂树
测量工具
平面镜、皮尺、测倾器
测量方案
①身高米小华站在点的位置，让同伴移动平面镜至点处，此时小华在平面镜内可以看到山楂树顶点，并测量米；
②测量平面镜至山脚下的距离米；
③小华又站在处，利用测倾器测得山楂树顶的仰角．
测量示意图