2025年河南省平顶山市叶县中考模拟预测数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2025年河南省平顶山市叶县中考模拟预测数学试题（原卷版+解析版），共31页。
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟．
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名，准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作元，那么亏损30元，记作（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
2. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 在物理学中，电阻表示导体对电流阻碍作用的大小，电阻的单位是欧姆（）．比欧姆大的单位还有千欧，兆欧，吉欧．它们之间的换算关系是：，，．教室内的白炽灯正常工作时的电阻约为．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触直尺的两边，此时圆规的张角（）为，若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
5. 下列调查方式最适合的是（ ）
A. 了解一批节能灯泡的使用寿命，采用普查方式
B. 了解某班同学的视力情况，采用抽样调查方式
C. 了解济南市初中学生的睡眠情况，采用普查方式
D. 了解莱芜区初中学生周末使用手机情况，采用抽样调查方式
6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点C，D分别作、的平行线交于点E．若，，则四边形的周长为（ ）

A. 6B. 12C. 18D. 24
7. 已知，，是的三边，且满足，则为（ ）
A 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
8. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的直径为8，则弦长为（ ）
A. 8B. 4C. D.
9. 某滑梯示意图及部分数据如图所示．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则．正确结论是（ ）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ④⑤
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_____．
12. 甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式：___________．
13. 现有外观完全相同4张刮刮卡，其中“表扬卡”2张，“加分卡”1张，“零食卡”1张，小南从中随机抽取两张刮开，则小南抽到两张都是“表扬卡”的概率是_________．
14. 如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为_____________________．
15. 如图，已知中，，D为边上一点，点B关于直线的对称点为点，连接，将绕点逆时针旋转，过点C作其垂线交于点E，得到等腰直角．那么在点D运动过程中，当点E恰好落在上时，的长为______；当最长时，的长为______．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：
（2）化简：．
17. 某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95．
八、九年级被抽取的学生得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有450名学生，九年级有320名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“不了解”的共有多少名？
18. 如图，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）已知点，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）点C在（2）中所作的角平分线上，且，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
19. 登封境内的嵩岳寺塔是中国现存年代最久的佛塔，堪称世界上最早的筒体建筑．某校数学社团的同学测量嵩岳寺塔的高度，如图，是嵩岳寺塔附近的某建筑物，高为14.7米，同学们利用测角仪在建筑物的底端D处测得塔顶端B的仰角为，在建筑物的顶端C处测得塔底端A的俯角为， ，，点A，D在同一水平线上．求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：，，，）
20. 某景区元宵节举办灯会，需要购买两种款式的花灯．若购买款花灯盏和款花灯盏，则需元；若购买款花灯盏和款花灯盏，则需元．
（1）求每盏款花灯和每盏款花灯的价格；
（2）若该景区需要购买两种款式的花灯共盏（两种款式的花灯均需购买），且购买款花灯数量不超过购买款花灯数量的，为使购买花灯的总费用最低，应购买款花灯和款花灯各多少盏？
21. 中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期(河南安阳殷城)．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型，他绘制了如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架的一端A落在地面上时，与的另一个交点为点D，水平地面切于点B．
（1）求证：；
（2）若，求的直径．
22. 被推出的铅球的运动路径可看作抛物线的一部分，如图，以地面水平方向为x轴，出手点到地面的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．小明第一次推铅球时，铅球出手时离地面的高度为，铅球落地时，离出手点的水平距离是，铅球运行的水平距离为时达到最大高度．
（1）求小明第一次推铅球时该铅球运行路径对应的函数表达式．
（2）小明第二次推铅球时，铅球运行路径对应的表达式为．
①第二次推铅球的成绩是否比第一次更好，请说明理由；
②铅球两次运行过程中，将离出手点水平距离相同时，铅球所在位置的高度差记为，求的最大值及此时铅球运行的水平距离．
23. 综合与实践
正方形纸片的边长为6，对正方形纸片进行以下操作．
【操作一】如图1，将正方形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕．
【操作二】如图2，E为边上的一个动点，将正方形展开后沿直线折叠，使点D的对应点落在上，连接，则的形状为_______，______，
【操作三】如图3，将正方形展开，当动点E与点M重合时，沿折叠，得到点D的对应点，延长交于点P，判断与的数量关系，并说明理由．
【操作四】如图4，将沿继续折叠，点A的对应点为Q，当点E的位置不同时点Q的位置也随之改变，连接．若点Q恰好落在的边上，直接写出的长．
2025春季摸底调研卷
数学试卷
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟．
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名，准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作元，那么亏损30元，记作（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相反意义的量，根据“正负数是具有相反意义的两个量，规定哪一个为正，则和它意义相反的量记为负”进行求解即可．
【详解】解：∵盈利50元，记作：元，
∴亏损30元，记作：元，
故选：C．
2. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可．
本题考查了三视图的意义，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键．
【详解】解：根据俯视图的意义，得．
故选：C．
3. 在物理学中，电阻表示导体对电流阻碍作用的大小，电阻的单位是欧姆（）．比欧姆大的单位还有千欧，兆欧，吉欧．它们之间的换算关系是：，，．教室内的白炽灯正常工作时的电阻约为．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触直尺的两边，此时圆规的张角（）为，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由三角形外角的性质求出，再由平行线的性质得到．
【详解】解：如图所示，
，，
，
，
．
故选：C．
5. 下列调查方式最适合的是（ ）
A. 了解一批节能灯泡的使用寿命，采用普查方式
B. 了解某班同学的视力情况，采用抽样调查方式
C. 了解济南市初中学生的睡眠情况，采用普查方式
D. 了解莱芜区初中学生周末使用手机情况，采用抽样调查方式
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查普查与抽样调查，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．由普查得到调查结果比较准确，但所费人力、物力、时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，依次判断即可．
【详解】解：A．了解一批节能灯泡的使用寿命，采用抽样调查方式，故不符合题意；
B．了解某班同学的视力情况，采用抽样普查方式，故不符合题意；
C．了解济南市初中学生的睡眠情况，采用抽样调查方式，故不符合题意；
D．了解莱芜区初中学生周末使用手机情况，采用抽样调查方式，符合题意，
故选：D．
6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点C，D分别作、的平行线交于点E．若，，则四边形的周长为（ ）

A. 6B. 12C. 18D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得，，，由，可证是等边三角形，再根据，，可证四边形是菱形，即可计算出结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，，
∴四边形是菱形，
∴菱形的周长为：，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，证明四边形是菱形是解题的关键．
7. 已知，，是的三边，且满足，则为（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了因式分解、等腰三角形的判定，利用平方差公式分解因式和提公因式法分解因式可得：，因为三角形三边之和不为，所以可得，从而可知是等腰三角形．
【详解】解：，
，
移项得：，
提公因式得：，
，
，
，
是等腰三角形．
故选：A ．
8. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的直径为8，则弦长为（ ）
A. 8B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接AO，BO，求出∠AOB=2∠APB=60°，得到△AOB为等边三角形，即可求出AB长.
【详解】连接AO，BO，
∴OA=OB，
∵所对的圆周角是∠APB，所对的圆心角是∠AOB，∠APB=30°，
∴∠AOB=2∠APB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AO，
∵直径为8，
∴OA=4，
∴AB=4，
故选B.
【点睛】本题考查的是圆周角和圆心角，根据题意作出辅助线，得到等边三角形是解答此题的关键．
9. 某滑梯示意图及部分数据如图所示．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】根据，，，求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握正切三角函数的运用．
10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则．正确结论是（ ）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求得与的关系，以及熟练掌握二次函数与方程、不等式之间的转化时解题的关键．由抛物线的开口方向判断a的大小，根据抛物线与y轴的交点判断c的大小，根据对称轴和抛物线与x轴的交点情况进行推理，对结论逐一判断，即可解答
【详解】解：图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右边，
可得：，
，
故错误；
根据对称轴为直线，抛物线与x轴交点在的左边，
可得：抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
当时，，
故错误；
当时，函数具有最大值为，
，
即，
故错误；
根据，可得，
由得，
故正确；
，
，
令，，
则在二次函数上，
，
关于对称轴直线对称，
根据中点公式可得，
，
故正确，
故答案为：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≥2．
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，x﹣2≥0且x≠0，
解得x≥2且x≠0，
所以，自变量x的取值范围是x≥2．
故答案为x≥2．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
12. 甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式：___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】依题意，利用二次函数的性质，可得出，，即可作答．本题考查了二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵当时，函数值y随自变量x的增大而增大，函数图象经过点
∴，且，
令，则
故答案：（答案不唯一）．
13. 现有外观完全相同的4张刮刮卡，其中“表扬卡”2张，“加分卡”1张，“零食卡”1张，小南从中随机抽取两张刮开，则小南抽到两张都是“表扬卡”的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及抽到两张都是“表扬卡”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到两张都是“表扬卡”的结果有2种，
小南抽到两张都是“表扬卡”的概率是．
故答案为：．
14. 如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为_____________________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质以及等边三角形的判定得出3个等边三角形全等，进而得出阴影部分面积等于面积，求出即可．此题考查了组合图形的面积，关键是得出阴影部分面积等于面积．
【详解】解：记与的交点为点，连接，，，过点作于点，
，
，
是等边三角形，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
同理可得出是等边三角形且3个等边三角形全等，
阴影部分面积等于面积，
，，
图中阴影部分的面积为：．
故答案为：
15. 如图，已知中，，D为边上一点，点B关于直线的对称点为点，连接，将绕点逆时针旋转，过点C作其垂线交于点E，得到等腰直角．那么在点D运动过程中，当点E恰好落在上时，的长为______；当最长时，的长为______．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】连接．由，得，由对称得，设，得，．由，得，故，再计算即可．由为等腰，得在直径为的中点为圆心的圆上运动．由为直径，得为直径时，最大，故为中点．由四边形为正方形，得，证明为等腰，得，，再换算得．
【详解】解：当点恰好落在上时，如图所示：连接．
，
，
，，
，
，
，
，
由对称得，
，
设，
，
，
，
．
，
，
，
，
．
为等腰，
在直径为的中点为圆心的圆上运动．
为直径，
为直径时，最大．
故为中点．
则、、、四点共圆．
交于，连．
四边形为正方形，
，
为直径，
，
．
过作，
为等腰，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了旋转的性质，四点共圆，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，点到圆上的距离，勾股定理，掌握旋转的性质是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：
（2）化简：．
【答案】（1） 8；（2）
【解析】
【分析】（1）分别根据零指数幂及负整数指数幂的计算法则、实数的立方根分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简即可．
【详解】解：（1） 原式；
（2）
．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
17. 某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95．
八、九年级被抽取的学生得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有450名学生，九年级有320名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“不了解”的共有多少名？
【答案】（1）82，78，20
（2）八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由见解析
（3）109名
【解析】
【分析】本题考查的是从扇形图与统计表中获取信息，求解中位数，众数，利用样本估计总体；
（1）由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值；
（2）从中位数或众数的角度出发可得答案；
（3）由九年级与八年级的总人数分别乘以不了解的占比，再求和即可.
【小问1详解】
解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有；
八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有；
∴第5个，第6个数据分别是：82，82，
所以中位数，
九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，
，
∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有，
∴，
∴；
故答案为：82，78，20；
【小问2详解】
解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）：
①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78．
【小问3详解】
解：（名）．
答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“不了解”的共有109名．
18. 如图，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）已知点，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）点C在（2）中所作的角平分线上，且，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；
（2）见解析 （3）四边形是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据尺规作图－角平分线的作法即可作出图形；
（3）求得的长，得到，由角平分线的定义和平行线的性质求得，得到，根据对边平行且相等的四边形判断是平行四边形，据此即可得到四边形是菱形．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：如图，射线即为所求作，
；
【小问3详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，由，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了坐标与图形，尺规作角平分线、等腰三角形的等角对等边、平行四边形的判定、菱形的判定，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
19. 登封境内的嵩岳寺塔是中国现存年代最久的佛塔，堪称世界上最早的筒体建筑．某校数学社团的同学测量嵩岳寺塔的高度，如图，是嵩岳寺塔附近的某建筑物，高为14.7米，同学们利用测角仪在建筑物的底端D处测得塔顶端B的仰角为，在建筑物的顶端C处测得塔底端A的俯角为， ，，点A，D在同一水平线上．求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：，，，）
【答案】约为36.3米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角、俯角的定义及解直角三角形的相关计算是解题的关键．
由，可得，由题意得，在中，，米，由正切的定义可得米，在中，，由正切的定义可得，由此即可求出嵩岳寺塔的高度．
【详解】解：，，
，
在中，，米，
（米），
在中，，
（米），
嵩岳寺塔的高度约为36.3米．
20. 某景区元宵节举办灯会，需要购买两种款式的花灯．若购买款花灯盏和款花灯盏，则需元；若购买款花灯盏和款花灯盏，则需元．
（1）求每盏款花灯和每盏款花灯的价格；
（2）若该景区需要购买两种款式的花灯共盏（两种款式的花灯均需购买），且购买款花灯数量不超过购买款花灯数量的，为使购买花灯的总费用最低，应购买款花灯和款花灯各多少盏？
【答案】（1）每盏款花灯元，每盏款花灯元；
（2）应购买款花灯盏，则应购买款花灯盏．
【解析】
【分析】（）设每盏款花灯元，每盏款花灯元，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解；
（）设应购买款花灯盏，则应购买款花灯盏，根据题意，列出不等式求出的取值范围，设购买花灯的总费用为元，求出与的一次函数，根据一次函数的性质即可求解；
本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，根据题意，列出二元一次方程组和一次函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设每盏款花灯元，每盏款花灯元，
由题意可得，，
解得，
答：设每盏款花灯元，每盏款花灯元；
【小问2详解】
解：设应购买款花灯盏，则应购买款花灯盏，
由题意可得，，
解得，
设购买花灯的总费用为元，
则，
∵是的一次函数，，
∴当时，总费用的值最小，
∴，
答：为使购买花灯的总费用最低，应购买款花灯盏，则应购买款花灯盏．
21. 中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期(河南安阳殷城)．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型，他绘制了如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架的一端A落在地面上时，与的另一个交点为点D，水平地面切于点B．
（1）求证：；
（2）若，求的直径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理等等：
（1）如图所示，连接，根据等边对等角结合三角形外角的性质证明，由切线的性质得到，则由三角形内角和定理可得；
（2）设的半径为，则，，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∵水平地面切于点B，
∴，即，
∴，即；
【小问2详解】
解：设的半径为，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为．
22. 被推出的铅球的运动路径可看作抛物线的一部分，如图，以地面水平方向为x轴，出手点到地面的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．小明第一次推铅球时，铅球出手时离地面的高度为，铅球落地时，离出手点的水平距离是，铅球运行的水平距离为时达到最大高度．
（1）求小明第一次推铅球时该铅球运行路径对应的函数表达式．
（2）小明第二次推铅球时，铅球运行路径对应的表达式为．
①第二次推铅球的成绩是否比第一次更好，请说明理由；
②铅球两次运行过程中，将离出手点的水平距离相同时，铅球所在位置的高度差记为，求的最大值及此时铅球运行的水平距离．
【答案】（1）
（2）①第二次推铅球的成绩与第一次相同，见解析；②的最大值为，此时铅球运行的水平距离为
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
（1）根据题意可设抛物线的表达式为．由可得，，将代入即可求解；
（2）①将代入，即可求解；
②根据二次函数解析式得出，然后根据二次函数的最值，求出最大值即可．
【小问1详解】
解：设表达式为，则．
∴．
∴
将代入．
得，
解得．
故表达式为，
【小问2详解】
解：①∵，
当时，．
解得 （舍去）．
故第二次推铅球的成绩与第一次相同．
②，
∵，
当时，取最大值，最大值为．
答：的最大值为，此时铅球运行的水平距离为．
23. 综合与实践
正方形纸片的边长为6，对正方形纸片进行以下操作．
【操作一】如图1，将正方形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕．
【操作二】如图2，E为边上的一个动点，将正方形展开后沿直线折叠，使点D的对应点落在上，连接，则的形状为_______，______，
【操作三】如图3，将正方形展开，当动点E与点M重合时，沿折叠，得到点D的对应点，延长交于点P，判断与的数量关系，并说明理由．
【操作四】如图4，将沿继续折叠，点A的对应点为Q，当点E的位置不同时点Q的位置也随之改变，连接．若点Q恰好落在的边上，直接写出的长．
【答案】[操作二]等边三角形，；[操作三]，见解析；[操作四]或
【解析】
【分析】[操作二]由题意得为正方形的对称轴，得出，，，，，由折叠的性质可得，从而推出，即可得出为等边三角形，得到，由勾股定理得出的长即可得解；
[操作三]连接，由题意得为正方形的对称轴，得出，，由折叠的性质可得，，证明得出，设，则，，由勾股定理得：，求出的值即可得解；
[操作四]分两种情况：当点在上时；当点在上时；分别利用正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形求解即可得出答案．
【详解】解：[操作二]由题意得：为正方形的对称轴，，
，，，，，
由折叠的性质可得，
，
为等边三角形，
，
，
；
[操作三]，证明如下：
如图，连接，
，
由题意得：为正方形的对称轴，
，，
由折叠的性质可得，，
，
，
，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，，
；
[操作四] 如图，当点在上时，
，
在正方形中，，，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
；
如图，当点在上时，
，
由折叠的性质可得：，，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
年级
平均数
中位数
众数
八年级
79.8
a
82
九年级
798
79
b
表扬卡
表扬卡
加分卡
零食卡
表扬卡
（表扬卡，表扬卡）
（加分卡，表扬卡）
（零食卡，表扬卡）
表扬卡
（表扬卡，表扬卡）
（加分卡，表扬卡）
（零食卡，表扬卡）
加分卡
（表扬卡，加分卡）
（表扬卡，加分卡）
（零食卡，加分卡）
零食卡
（表扬卡，零食卡）
（表扬卡，零食卡）
（加分卡，零食卡）
年级
平均数
中位数
众数
八年级
79.8
a
82
九年级
79.8
79
b