2025年中考第二次模拟考试卷：数学（河南卷）（解析版）

这是一份2025年中考第二次模拟考试卷：数学（河南卷）（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．给出四个实数，2，0，-1，其中无理数是（ ）
A．B．2C．0D．-1
【答案】A
【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义即可判断.
【详解】是无限不循环小数，是无理数；
2是整数，是有理数；
0是有理数；
-1是有理数，
故选：A.
2．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿，
∴1兆＝，
故选：C．
3．如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）
A．主视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变D．主视图改变，左视图不变
【答案】D
【详解】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．
将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．
将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．
故选D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根的意义、绝对值、单项式乘多项式、完全平方公式．根据算术平方根的意义、绝对值、单项式乘多项式和完全平方公式逐一计算．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
5．如图，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用“两直线平行，同位角相等”求出∠3，再利用邻补角互补求出∠2．
【详解】解：如图，∵a∥b，
∴∠1=∠3=60°，
∴∠2=180°-∠3=120°，
故选：D．
6．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解．
【详解】解：
一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A.
7．在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，则的长为（ ）
A．4B．6C．D．5
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，即可求解．
【详解】解：由作图可知，为的角平分，
∴；
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
故选：D．
8．数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数与 (m，n为常数，)的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论．
【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方，
关于的不等式的解集是．
在数轴上表示的解集，只有选项A符合，
故选：A
9．如图1，菱形中，点A为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图2，若，则的值为（ ）
A．6B．C．8D．12
【答案】A
【分析】当l落在位置时，与菱形交于D，M，，当|l落在位置时，，得，得，得，解得，即得．
【详解】解：如图所示，当l落在位置时，与菱形交于D，M，
此时，
当l落在位置时，与菱形交于N，B，
此时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∵，
∴点C到y距离为，
∴．
故选：A．
10．某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（ ）
A．本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量
B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到
C．本次充电持续时间是120分钟
D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时
【答案】D
【分析】本题考查了由函数图像读取信息，仔细观察函数图像，正确读取信息逐项进行分析解答即可
【详解】解：A、由函数图像可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，不符合题意；
B、由函数图像可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意；
C、由函数图像可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意；
D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时，
到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，符合题意，
故选：D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．如果水位升高记作，那么水位下降表示为 ．
【答案】
【分析】根据正负数的意义即可求解．
【详解】解：如果水位升高记作，那么水位下降表示为,
故答案为：．
12．不等式组的整数解的和是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集及其最大整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，即可求出整数解，进而求出所有的整数解的和．
【详解】解：由，得：；
由，得：，
不等式组的解集为：；
整数解是、、、、，
整数解之和为．
故答案为：5．
13．小亮和小智相约中考结束后一起参观河南省科技馆．他们想要参观的有动物家园、创享空间、探索发现、宇宙天文四个展厅．由于下午才到，时间有限，他们两个决定利用抽签的方式随机抽取两个展厅进行参观，则恰好抽到动物家园和宇宙天文的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，动物家园、创享空间、探索发现、宇宙天文四个展厅分别用表示．再列表即可得到答案；
【详解】解：动物家园、创享空间、探索发现、宇宙天文四个展厅分别用表示．
∴所有的等可能的结果数为12个，符合条件的结果数有2个，
∴恰好抽到动物家园和宇宙天文的概率为；
故答案为：
14．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等，连接，可证，得到，，利用三角函数可得，即得，得到，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，点为切点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，M是等边三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为 ，的最大值为 ．
【答案】
【分析】连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，由等边三角形的性质和勾股定理求出，证明是等边三角形，得到，再证明，得到，得出点在以点为圆心、1 为半径的圆上运动，点圆位置关系即可得解．
【详解】解：如图所示，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，
点是等边三角形边的中点，
，，
，
由旋转的性质可得，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
点在以点为圆心、1 为半径的圆上运动，
如图，

当点在线段上时，的值最小，最小值为，
当点在射线上时，有最大值，最大值为，
故答案为：，．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）0；（2）．
【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，整式的运算：
（1）先化简各数，再进行加减运算即可；
（2）先进行乘法公式的计算，再合并同类项即可．
【详解】解：（1）原式．
（2）原式．
17．（9分）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
表2：后测数据
(1)A，B两班的学生人数分别是多少？
(2)请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．
(3)通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．
【答案】(1)A，B两班的学生人数分别是50人，46人
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由统计表中的数据个数之和可得两个班的总人数；
（2）先求解两个班成绩的平均数，再判断中位数落在哪个范围，以及15分以上的百分率，再比较即可；
（3）先求解前测数据的平均数，判断前测数据两个班的中位数落在哪个组，计算15人数的增长百分率，再从这三个分面比较即可．
【详解】（1）解： A班的人数：（人）
B班的人数：（人）
答：A，B两班的学生人数分别是50人，46人．
（2），
，
从平均数看，B班成绩好于A班成绩．
从中位数看，A班中位数在这一范围，B班中位数在这一范围，B班成绩好于A班成绩．
从百分率看，A班15分以上的人数占16%，B班15分以上的人数约占46%，B班成绩好于A班成绩．
（3）前测结果中：
从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从中位数看，两班前测中位数均在这一范围，后测A班中位数在这一范围，B班中位数在这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从百分率看，A班15分以上的人数增加了100%，B班15分以上的人数增加了600%，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
18．（9分）如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：．
【答案】(1)
(2)图见解析部分
(3)证明见解析
【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案；
（2）利用基本作图作线段的垂直平分线即可；
（3）根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到，然后利用平行线的判定即可得证.
【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点，
∴当时，，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）如图，直线即为所作；
（3）证明：如图，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
19．（9分）如图，在中，，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若（1）中所作的垂直平分线与边交于点D，连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图—作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，掌握基本的尺规作图是解题的关键．
（1）利用作已知线段的垂直平分线的方法作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到，然后得到，然后利用角的直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）如图，即为所作；
（2）证明：∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．（9分）聊城西站自开通以来给聊城人民出行带来了极大的便利，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中，开展了测量聊城西站楼顶P处到地面的距离，实践报告如下：
请你帮助兴趣小组解决以上问题（参考数据：，，，，结果保留整数）
【答案】32
【分析】本题考查解直角三角形，以及矩形的判定和性质，过点B作交于点E，易知四边形为矩形，得到，在中，利用解直角三角形得到，在中，利用解直角三角形得到，再根据求解，即可解题．
【详解】解：过点B作交于点E，
易知四边形为矩形，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
的高度为32．
21．（9分）在2024的“”来临之际，某商场计划采购一批甲和乙两种厨房小家电．已知乙种家电的进价比甲种家电的进价每件多100元，用1万元购进甲种家电的件数与用1.2万元购进乙种家电的件数相同．请解答下列问题：
(1)这两种家电每件的进价分别是多少元？
(2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过54000元，则该商场至少购进甲种家电多少件？
(3)在（2）的条件下，甲、乙两种家电分别在进价的基础上提价、进行销售，这100件家电全部售完，能获得的最大利润是多少？
【答案】(1)甲种家电每件的进价是元，则乙种家电每件的进价是元
(2)该商场至少购进甲种家电件
(3)这100件家电全部售完，能获得的最大利润是元
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设甲种家电每件的进价是元，则乙种家电每件的进价是元，根据“用1万元购进甲种家电的件数与用1.2万元购进乙种家电的件数相同”列出分式方程，计算即可得出答案；
（2）设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件，根据“总金额不超过54000元”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案；
（3）设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件，利润为元，先求出两种家电销售的利润，再表示出关于的表达式，结合一次函数的性质额得出答案．
【详解】（1）解：设甲种家电每件的进价是元，则乙种家电每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴（元），
∴甲种家电每件的进价是元，则乙种家电每件的进价是元；
（2）解：设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件，
由题意得：，
解得：，
∴该商场至少购进甲种家电件；
（3）解：设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件，利润为元，
∵在（2）的条件下，甲、乙两种家电分别在进价的基础上提价、进行销售，
∴甲种家电的利润为：（元），乙种家电的利润为：（元），
∴，
∵，
∴随的减小而增大，
∴当时，有最大值，最呆滞为（元），
∴这100件家电全部售完，能获得的最大利润是元．
22．（10分）如图，排球运动场的长为，球网在场地中央，高度为，排球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．小乐在场地左侧边界处（距球网）练习发球，某次发球，击球点的高度为，当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度．小乐同学建立了如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示）．
(1)求此抛物线的解析式（不写自变量的取值范围）．
(2)通过计算判断此球是否能够过网．若能过网，请进一步判断是否会出界．
(3)小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，要使球既能过网又不出界，请直接写出发球点距离球网的距离 d 的取值范围．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)能过网，会出界，利用见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
（1）根据排球飞行的水平距离为时达到最大高度，求出抛物线的顶点坐标为，再用待定系数法求解即可；
（2）计算当时，的值，与比较；再根据右边界的坐标为，令，求出x值与9比较即可；
（3）小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，设击出的排球轨迹为，求解出击出排球轨迹的临界点，即可得解．
【详解】（1）解：∵当排球飞行的水平距离为时达到最大高度，，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵点在抛物线上，
∴，解得，
∴．
（2）解：当时，，
∴此球能够过网；
根据题意得右边界的坐标为
∴当时，，
解得，（舍去），
∵，
∴不会落在界内，会出界．
（3）解：小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，
∴设击出的排球轨迹为，
当该轨迹经过球网的顶端坐标时，
，解得，（舍去）
∴，
此时当时，解得：（舍去）或．
∴，
当该轨迹经过右边界的坐标时，，
解得（不符合题意的根舍去），
∴，
此时当时，或（舍去），
∴，
经过分析，若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），．
23．（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
①图1中四边形的形状是______；
②图2中与的数量关系是______；四边形的形状是______．
(2)迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：将三角板按（1）中方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长．
(3)拓展应用
在（2）的探究过程中：当为等腰三角形时，请直接写出的长为______．
【答案】(1)①正方形；②，平行四边形
(2)可以是菱形，
(3)的长为或
【分析】（1）①根据，都是等腰直角三角形，及正方形的判定即可求解；②运用全等三角形的判断和性质，平行四边形的判定方法即可求解；
（2）根据菱形的判定方法即可求证；
（3）根据等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，分类讨论，图形结合即可求解．
【详解】（1）解：①∵，都是等腰直角三角形，
∴，，
∴四边形是正方形；
故答案为：正方形；
②根据平移的性质可得，，
如图所示，连接，，

∵，都是等腰直角三角形，
∴，
∵将三角板沿方向平移（两三角板始终接触），
∴，，且，
∴在中，
，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：，平行四边形．
（2）解：可以是菱形，理由如下：
如图所示，连接，，

∵，，，
∴，，
∵将三角板沿方向平移，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是菱形．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
（3）解：∵含角的直角三角板，即，边长为，
∴，
①当时，为等腰三角形，如图所示，

∵，，
∴，
∴，且，
∴，
∴点是的中点，
∴；
②当时，为等腰三角形，如图所示，

∵，，，
∴在中，，
∵为等腰三角形，，
∴；
③当时，为等腰三角形，如图所示，

与“将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）”矛盾，
∴不存在；
综上所示，当为等腰三角形时， 的长为或．


测试分数x
控制班A
28
9
9
3
1
实验班B
25
10
8
2
1
测试分数x
控制班A
14
16
12
6
2
实验班B
6
8
11
18
3
活动课题
测量聊城西站楼顶P处到地面的距离（的长度）
活动工具
测量角度的仪器、皮尺等
测量方案示意图
说明
为站台北侧扶梯，点A为扶梯底端，点B为扶梯顶端，平台
测量数据

解决问题
根据以上数据计算聊城西站楼顶P到地面的高度．