高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册等比数列获奖第1课时教案

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4.3.2等比数列的前n项和（第1课时）
一、教材分析
(1)内容的本质
等比数列是两种“最基本”的数列之一，是刻画数学中或现实中具有递推规律和取值规律的特殊数列，对它的概念、取值规律与应用的研究，将为学生今后进一步学习其他类型的数列打下基础.等比数列的概念、性质与应用既是本章的学习基础，也是本章的重点内容.
由于等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，具有明显的对偶关系，因此对于等比数列的研究，可以类比等差数列的研究路径，按照研究一个数学对象的基本路径，即“事实→概念→性质→应用”来展开研究，让学生自主构建等比数列的研究内容和过程，进一步体会通过数学运算、逻辑推理等研究一个数学对象的一般过程.与等差数列类似，等比数列也是具有明确现实背景、可以给出精确的规律表达、在解决实际问题和数学问题中有重要应用价值的一类数列，它是刻画现实生活中“比值不变”的离散数值的特殊数列，是处理现实生活中“等比”问题(例如存款利率、购房贷款、放射性物质的衰变等)的重要数学模型.与等差数列与一次函数的关系类似，等比数列是定义在正整数集(或其有限子集)上的指数型函数.求等比数列的前n项和是研究级数敛散性的基础，可以借鉴“等差数列的前n项和公式”的研究经验，发现和提出研究“等比数列的前n项和公式”的基本路径，并用于解决问题.与等差数列前n项和公式一样，等比数列的前n项和公式是等比数列的定义、通项公式和特征性质直接应用的结果，是研究数列问题的基础.
(2)知识的上下位关系
本单元借鉴了研究函数的经验，按照“一般数列→特殊数列”的顺序展开，“特殊数列”是指取值规律“最简单”的等差数列和等比数列.等比数列通项公式和前n项和公式是借鉴等差数列的相关研究经验所探究的特殊数列的公式与性质，既是等差数列相关公式推导思路的延展，为后续数列相关问题提供了学习内容和思维方法上的引导，也是今后研究级数的预备.在后续数列内容的学习中，将“陌生”的数列转化归结为等差数列、等比数列这两类“特殊数列”是常用的思路.因此，本单元内容有着承前启后的作用.
(3)内容蕴含的数学思想和方法
研究一个数列，基本而重要的问题是它的取值规律，基本的思想方法是通过运算发现“运算中的不变性、规律性”,等差数列、等比数列的定义就反映了这个思想方法.以运算为手段来探索数学对象的取值规律是一种重要的思维方法.通过对5个具体例子共性的归纳，抽象出等比数列的概念，后续对通项公式和前n项和公式进行探究，其中蕴含了特殊与一般、函数与方程、转化与化归、数形结合的数学思想方法.通过研究等比数列与指数函数的关系，感悟数列是特殊的函数，学会以函数的观点看数列的概念、发现和理解数列的性质、认识数列的应用价值等.一方面可以让学生用函数的观点认识和理解数列的内容，另一方面可以加深学生对函数概念及其思想方法的理解，使其体会数学的整体性.等比数列通项公式和前n项和公式的推导中体现了“无限项”到“有限项”的“化多为少”的转化思想，蕴含着用确定数列的基本量表示通项与前n项和的数学思想.与推导等差数列的前n项和公式的“倒序相加法”类似，推导等比数列前n项和公式的“错位相减法”也是一种带有技巧性但很便捷的方法，同时推导等比数列前n项和公式所需要的代数变形技巧具有挑战性，而且蕴含着差分、微积分等基本思想，但与“倒序相加法”不同的是，“错位相减法”源于对等比数列前n项和公式的观察和分析，其探索过程蕴含了丰富的数学思想方法(如特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等),充分体现了数学思想方法的融合.
(4)内容的育人价值
历史上人们对等比数列的研究比等差数列还要早，现实中等比数列的应用十分广泛，学生对于数值呈指数爆炸式增长的情境较为熟悉，本单元的学习有助于学生从数学的角度思考这些生活中常见的情境，树立“数学来源于生活并应用于生活”的观念.在推导等比数列通项公式和前n项和公式的过程中，无论是对归纳猜想法、“累乘法”还是对“错位相减法”的探究，都让学生经历了从等比数列概念出发，观察代数式的形式特点，运用数学思想经过不断尝试得出方法的全过程，这能有效提升学生的数学运算、逻辑推理和数学抽象素养.学生在学习数列求和时，能体会到数学思想方法诞生的曲折过程，感受到数学家在进行数学研究时的探索精神和创新意识，同时对培养学生的科学精神有着十分重要的作用.特别是“错位相减法”所蕴含的“化多为少”和“化繁为简”的数学思想，会让学生感受到数学的“无可名状”之美.在探究数列应用问题时，需要学生发现问题中成等差、等比关系的量，并抽象构造数列模型来刻画现实中具有递推规律的事物，不仅可以培养学生的数学阅读理解能力和数学建模能力，而且有利于学生养成利用数学问题的结论进行决策的思维习惯，是“三会”的具体化.教科书中“一尺之棰”的例子蕴含了数列极限的思想，展现了中华民族先贤们的智慧，是数学学科育人的具体体现。
二、学情分析
(1)认知基础
学生之前经历了探索等差数列定义、通项公式、前n项和公式的过程，对研究数列的一般路径有具体的感受，积累了有关特殊数列求和的研究经验，具备了学习等比数列的认知基础.这些认知基础对于分析等比数列项的变化规律，利用等比数列的定义及性质减少项数，发现错位相减的运算特点，并最终能够顺利地推导出求和公式，起到了引领思路的作用.通过之前函数、等差数列等知识的学习，学生对数列是一种特殊的函数这一观念有了较为深入的理解，初步具备了从函数的角度看待数列的思维习惯，这些都有助于学生探究等比数列与指数函数的关系.学生经历过从实际问题中抽象出等差数列模型的过程，具备一定的数学建模能力，这有利于学生自主解决等比数列的实际应用问题.
(2)认知困难
首先，在探究等比数列和指数函数的关系时，在且(与指数函数底数取值范围相同)和的条件下，等比数列的通项公式实际上是经过坐标变换和对称变换的指数函数表达式，对于这一点，部分学生理解起来可能会有困难.另外教科书“边空”中的问题“类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性”,对于基础薄弱的学生，要分类讨论出完备的结论也会有一定难度.其次，虽然学生有过推导等差数列前n项和公式的数学活动经验，但“倒序相加法”和“错位相减法”在思维方法上有所不同，学生容易产生知识的负迁移，同时很多学生会觉得“错位相减法”巧妙但“想不到”,怎样让推导过程能够相对自然地呈现，成为学生理解推导过程合理性的一个关键.再者，准确地从实际问题中抽象构建出数列模型，对部分学生而言会遇到困难.最后，对于教科书例题中出现的由等差、等比数列通过运算组合成的“陌生”数列的问题，由于在前面的内容中找不到现成的方法，学生往往会不知如何下手。
(3)应对策略
①探究等比数列和指数函数的关系时，可以简单回顾一下函数的坐标变换和对称变换，利用信息技术多作一些图象帮助学生理解.对于“类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性”这一问题，可引导学生从函数单调性的角度结合图象来考虑，囿于课堂容量，可以放到课后思考题中，在作业讲评中予以解决.
②在探究推导等比数列前n项和公式时所用的“错位相减法”时，要引导学生用数列的基本量(特别是首项和公比)去表示前n项和，思考如何“消项”,多观察定义式、通项公式和,充分开展自主探究、合作交流，多做尝试，进而得出推导公式的思路.此处教师启发的度要把握好，不宜直接点明方法，要让学生经历探究中思维逐渐从模糊到清晰的升华过程.从某种意义上说，推导公式的过程比公式本身更重要.
③对于数列的实际应用问题，关键是发现问题中成等比关系的量，从实际背景中抽象出数列模型.教学时要加强对学生数学阅读理解能力的培养，帮助学生正确理解题意，可以按顺序列举几个具体数值帮助寻找规律，这种由特殊到一般的操作方法符合学生的认知规律.同时从文字语言到数学符号表达规律时，要让学生独立写出，对出现的表达不准确的内容可以采取全班讲评的方式予以修正，之后给出准确的符号表述，这对提升学生的数学符号表达能力十分重要.
④对于由等差、等比数列构造的新数列及递推数列的相关问题，教学时，一是要通过“求通项→用电子表格求出若干项→发现规律→证明结论”的途径进行解决，其中学生不容易想到数列单调性的证明方法，实际教学中要引导学生从特殊函数的角度观察数列，再结合函数单调性的判定方法，探究解决方法；二是“陌生”的数列可通过代数变形转化为最常用的两类特殊数列——等差数列和等比数列，这是今后解决类似问题的重要思维方向，对变形过程中渗透的“转化与化归”数学思想，教学中要引起足够重视.
三、教学目标
（一）课程标准要求
①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义。
②探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系。
③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。
④体会等比数列与指数函数的关系。
（二）课时目标要求
1.经历等比数列的前n项和公式的推导过程，让学生理解“错位相减法”,提升学生的逻辑推理核心素养.
2.通过对等比数列的前n项和公式的运用，进一步理解方程思想、分类讨论思想及转化思想，培养学生的观察、归纳、反思能力，提升学生的数学运算与逻辑推理核心素养。
四、重点难点
教学重点：等比数列的前n项和公式的推导及应用
教学难点：等比数列的前n项和公式的推导.
五、教学过程
环节一：创设情境，导入新课
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为40g,据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
设计意图：本课时开头用一个有趣的故事情境来引入数列的求和问题，激发学生的探究欲望，与等差数列前n项和公式的推导所不同的是，这个求国际象棋棋盘上所有麦粒总质量的情境只提供了一个求等比数列的问题背景，而没有提供算法，可为后续学习提供更大的思考空间。
问题1：上述问题可以转化为一个什么数学问题?你将如何解决这个问题?
师生活动：引导学生从实际背景中抽象出等比数列模型，如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.
即：，
由于项数较多，直接计算繁琐不易操作，适时引起学生的认知冲突，引入本课时重点探究内容.
设计意图：通过将实际问题抽象成数学问题，激起学生的认知冲突，引入本课时的学习内容，为学生后续探究公式作准备.
环节二：学习新知
问题2：如何求这个等比数列前64项的和呢?
师生活动：设①
追问1：观察①式的右边每一项的特征，思考它们之间的联系，有什么办法它们之间的不同呢？
师生活动：①式的右边每一项都是前一项的2倍，每一项都乘2,就变成了它的后一项，即：
②
追问2：比较①②式，你有什么发现，能否求得①的和？
师生活动：经过比较、研究之后，发现：①②两式的右边有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，即得：
所以，，此方法叫做：错位相减法.
追问3：你觉得本节课开头故事里的国王能够兑现承诺吗?
师生活动：由．这个数很大，超过了．如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍．因此，国王根本不可能实现他的诺言．
设计意图：通过对具体的实例进行分析，探索求和的方法，为进一步推导等比数列的前n项和公式作准备.与此同时，对引入课题时的问题给予解答，有助于学生进一步思考问题。
问题3：类比①的求解方法，能否将其推广至一般等比数列的前n项和的求解吗?
师生活动：设等比数列的首项为，公比为，则的前n项和是
．
上式可以写成：
．③
若在③式两边同以，得到：
④
③④两式的右边有很多相同的项，用③的两边分别减去④的两边，就可以消去这些相同的项，可得
，即⑤
所以，当时，⑥
因为，所以公式⑥还可以写成
⑦
追问1：当时，等比数列的前项和等于多少?
师生活动：当时，.
综上，首项为，公比为的等比数列的前n项和的公式为：
⑧
追问2：我们知道，当公差不为零时，等差数列前n项和公式是一个特殊的二次函数，请问等比数列前n项和公式跟什么函数有关联?
师生活动：学生思考后小组交流，由小组代表展示结论.
当时，是关于n的一次函数；
当时，是一个特殊的指数型函数.
追问3：探究等比数列的前n项和公式，还有其他法吗?
师生活动：本问题留作课后拓展问题，课后完成.
注：一般地，使用等比数列求和公式时需注意：
(1)一定不要忽略的情况；
(2)知道首项，公比和项数,可以用求其前项和；知道首项，末项和公比可以用求其前n项和；
(3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：首项，公比，末项，项数，前项和，知道其中任意三个量，可求其余两个量.
设计意图：等比数列前n项和公式的推导是本节课的重难点，而如何避免“强行”得到错位相减法是教学中需要认真思考的问题.要引导学生从特殊到一般，体会两个方面的思维：一是推导公式要从“无限”项到“有限”项，消项的思想必须贯穿在探究中；二是当“倒序相加法”等已知方法无法迁移使用时，要抓住等比数列的定义和前n项和公式的特点进行探究.本设计意在让学生通过经历整个推导过程，充分感悟由“多”到“少”,由“无限”到“有限”，特殊到一般的数学思想，进一步体会数学的简洁和严谨。
环节三 例题练习，巩固理解
例1.已知数列是等比数列．
（1）若，，求；
（2）若，，，求；
（3）若，，，求．
解：（1）因为，，所以
．
（2）由，，可得
．
即
．
又由，得
．
所以
．
（3）把，，，代入，得
．
整理，得
．
解得
．
设计意图：通过例题的解答和讲解，让学生熟练公式的运用，重视公式的选择，进一步提高学生运用知识解决问题的能力.另外，要让学生明确若知道等比数列的五个基本量(，，，，)中的任意三个就能求出另外两个.
例2 已知等比数列的首项为，前项和为．若，求公比．
解：若，则
．
所以
．
当时，由，得
．
整理，得
．
即
．
所以
．
解法二：
，
所以，所以．
设计意图：相比较于例1,例2的解答中涉及对公比取值的讨论，学生容易忽视的情形.此环节设置例题和变式主要是通过题目的对比，引导学生注意对的取值情况进行分类讨论。
随堂演练：
1．已知数列是等比数列．
（1）若，，，求；
（2）若，，，求；
（3）若，，求与q．
解：（1）因为，，，可得．
（2）因为，，且，
所以．
（3）设等比数列的公比为，因为，，
当时，可得，此时，满足题意；
当时，可得，解得，．
解法二：，将，代入，得，
，解得或．
当时，；当时，．
2．设等比数列的前项和为，已知，．求和．
解析：，解得或．
即或
当时，，当时，．
环节四：新知再认识，能力提升
题型一：利用等比数列的前n项公式的函数性质应用
例：数列的前n项和，求的通项公式，并判断是否是等比数列.
解：当时，.
当时，不适合上式.
所以，
方法一：
所以，由于，显然不是等比数列，即不是等比数列.
方法二：
由等比数列的公比时的前n项和，对比可知，故不是等比数列.
方法规律：等比数列前n项和的函数关系
（1）已知，通过求通项，应特别注意时，.
(2)若数列的前项和，其中且，则是等比数列.
变式训练：
1.若数列的前项和，则此数列是（ ）
A．等差数列B．等比数列
C．等差数列或等比数列D．以上说法均不对
【答案】D
【详解】当时，，
当时，，
当时，，所以是等差数列；
当时，为非等差数列，非等比数列’
当时，，所以是等比数列，
故选：D
2.若是等比数列，且前n项和为，则________.
解析：显然，此时应有，
又，所以.
题型二：错位相减法求和问题（分类讨论）
例. 求和：
解析：记
当时，；
当时，；
当且时，
综上，.
规律方法
1.等比数列前n项和公式
2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当和时是不同的公式形式，不可忽略的情况.
变式训练：
已知等差数列的前项和为．若，．
（1）求的通项公式；
（2）求和：，其中为非零实数．
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为d，
则，解得，所以；
（2）由（1）知，
当时，；
当时，由，
有，
上面两式相减得
，
所以；
综上，.
题型三：错位相减法求和问题（等差等比乘积）
例：等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）设数列的公比为，则，
由得：，所以.
由，得到
所以数列的通项公式为.
（2）由条件知， ①
又 ②
得
所以.
方法规律：错位相减法的适用条件与方法
1.一般地，若数列为等差数列，为等比数列且公比为,求的前项和时，常用“乘公比，错位减”的方法求和，即错位相减法.
2.在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出或的表达式；
3.在运用错位相减法求数列的前项和时要注意四点：①乘数(式)的选择；②对的讨论；③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；④相消项中构成数列的项数.
变式训练：
已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由，得，
又，是以1为首项，3为公比的等比数列，
，，
即数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
则，①
得，②
①－②得
，
故．
环节五：凝练升华，课堂小结
问题6：回顾本节课的学习内容，回答下列问题：
(1)等比数列前n项和公式的推导过程是怎样的?其中蕴含了哪些思想方法?
(2)你认为等比数列前n项和公式与等差数列前n项和公式的共性和区别是什么?
(3)运用等比数列前n项和公式时要注意些什么?
师生活动：先让学生思考并在小组内适当交流，再让学生发言，教师引导完善.
设计意图：回顾公式的推导过程，促进学生对等比数列概念的深入理解，有助于学生体会其中蕴含的“消项”方法和“无限到有限”的数学思想，积累数学活动经验，发展逻辑推理和数学运算素养，等比数列与等差数列的研究思路类似，学生认识到等比数列具有其不同于等差数列的特征，有利于形成辩证地、多角度地看待问题的意识.对等比数列前n项和公式中公比q取值的讨论，是学生容易忽略的，小结中需要再次强调。
环节六：布置作业，应用迁移
巩固作业：教科书第37页练习第2、4、5题
拓展作业：探究等比数列的前n项和公式的其他求法.
2．已知，且．对于，证明：
．
证明：记，
因为，且，所以两边同乘以，得：，
所以，所以．
所以，即证．
方法二：数列是首项为，公比为，共有项的等比数列．
所以．
特别地，当时，，即，即立方差公式．
4．已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64．求这个等比数列的首项和公比．
4．解析：设这三个数分别为，，，则满足．
由题意可得，，
联立方程组，可得，，或，，，
当这三个数为，，，可得这个等比数列的首项为2，公比为2；
当这三个数为，，，可得这个等比数列的首项为，公比为．
5．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少?
5．解析：依题意设数列的首项为，公比为，则，，所以，即，所以，解得，即，所求．
解法二：依题意设数列的公比为，其前项和为，则，
，所以，即，所以．
拓展作业答案：
思路一：设等比数列的首项为，公比为，则的前n项和是
．①
所以，
．②
．③
所以，
．④
整理得（注意验证时成立）：
当时，⑤
当时，⑥
思路二：设等比数列的首项为，公比为，则的前n项和是
．①
所以，
②
因为，消去得，
整理得（注意验证时成立）：
当时，③
当时，④
思路三：由等比数列的定义，
所以有：，即
所以，当时，，注意验证时成立
当时，.
环节七板书设计
4.3.2等比数列的前n项和
1.等比数列的前n项和公式 例1.
例2
2.等比数列前n项和的函数性质：
例3
3.错位相减法