2025年九年级下学期数学模拟考试试题以及答案(适用北师大版)

这是一份2025年九年级下学期数学模拟考试试题以及答案(适用北师大版)，共18页。试卷主要包含了下列各式计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．农历2025年是乙已蛇年，数字2025的倒数是（ ）
A .2025. B .-2025 C.12025 D.﹣12025
2汉白玉葫芦瓶是中国古代玉雕艺术中的瑰宝，以其精湛的工艺和独特的形态而备受瞩目．作为一件具有重要历史价值和艺术价值的玉器，它展示了古代工匠的技艺和中国古代文化的瑰丽魅力．其实物图如图，下列关于视图的说法正确的是( )
A ．主视图与俯视图相同 B ．主视图与左视图相同
C ．左视图与俯视图相同 D ．三种视图都相同
3．我国自主研发的人工智能"绝艺"获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，其中一个大数据中心能存储580亿本书籍，数据58000000000用科学记数法表示为（ ）
A B C .58x109 D
4.小高同学和爸爸去超市采购物品，当把选好的物品放入购物车中时，小高发现购物车和物品放在一起的形状很接近于正五边形，如图所示，若把购物车和物品的形状抽象成几何示意图，则五边形ABCDE 是正五边形，且F , E , A 三点在一条直线上，连接EC ,则∠CEA 的度数为( )
A .50° B .60° C .62° D .72°
5．已知图中的两个三角形全等，则a + b - c 是（ ）
A .3 B .4 C .5 D .7
6．下列各式计算正确的是（ ）
A .( x -2)( x +2)=x2-2 B .( a - b )2=a2- ab +b2 C .( a + b )2=a2+b2 D .(-3m+2)(-3m-2)=9m2-4
已知关于 x 的一元二次方程(a -1)x2-4x-1=0有两个实数根，则 a 的取值范围是( )
A . a ≥-4 B . a >-3 C . a ≥-3且 a ≠1 D . a >-3且 a ≠1
8．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字"泉""城""济""南"的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字能组成"泉城"的概率是( )
A.12 B.14 C.16 D.18
9．已知在正方形 ABCD 中，AB 长为6，分别以点A , B 为圆心，以大于AB 长度的一半为半径作弧，两弧交于M , N 两点，作直线MN ，交CD 于点E ，再分别以点A , E 为圆心，以大于AE 长的一半为半径作弧，两弧交于P , Q 两点，作直线PQ ，分别与AD , BC 交于点F , G ，那么四边形AFGB的面积为( )
A.18 B.272 C.458 D.452
如图，抛物线 y =ax2-103x与直线y=43x+4经过点A（2，0），且相交于另一点B ；抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于另一点E；点N 在线段AB 上，过点N 的直线交抛物线于点M ，且MN∥y 轴，连接AM , BM , BC , AC．当点N 在线段AB 上移动时（不与点A , B 重合），下列结论中正确的是（ ）
A. MN + BN < AB B.∠BAC =∠BAE C.∠ACB﹣∠ANM=12∠ABC D．四边形 ACBM 的最大面积为13
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11．要使分式x﹣22x+4有意义，则 x 的取值范围是 。
12．小李广花荣是《水浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3:1．将一支箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为 （结果用含＝的式子表示）
某位小朋友利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC =119°, AB∥DE ,∠D =80°,则∠ACD =
。
14．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．图1是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距450cm的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x ( s )，聪聪和慧慧行走的路程分别为y1( cm ),y2( cm ), y1，y2与x 之间的函数图象如图2所示．则图2中的n = 。
15．如图，在矩形ABCD 中，AB =4, AD =3．点E , F 分别在边AD , BC 上（点E 不与点A , D 重合）且AF∥CE , DP⊥AF于点P ，交CE 于点Q , BM⊥CE于点M ，交AF 于点N ．给出下面四个结论：①AC =5;②DQ = CM ;③四边形 PQMN 是矩形；④AC 平分四边形 PQMN 的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 。
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.(7分）计算：2﹣3+82+（14）﹣1﹣2cs30°
17.(7分）解一元一次不等式组2x+5≤3（x+2）①2x﹣1+3x2＜1②，把解集在数轴上表示出来，并写出它的非负
整数解．
18.(7分）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做"筝形"．如图，四边形ABCD 是一个筝形，AD = CD ,AB =CB ，对角线AC 交BD 于点O .
求证：(1)AC ⊥ BD ;
(2)△AOB≌△COB .
19.(8分）随着移动互联网的普及，外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分，某天，小明在位于点 C 处的家中购买了位于点 A 处某商家的外卖食品，外卖骑手收到派单后，立即赶往点 A 处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点 B 在点 A 的北偏西37°方向，点 C 在点 B 的北偏东60°方向， BC =1200m；点 D 在点 C 的正东方向， CD =400m；点 E 在点 D 的正南方向，且在商家 A 的正东方向， AE =700 m .（参考数据：3≈1.73,tan37°≈0.75, sin 37°≈0.6, cs37°≈0.8)
(1）求AB 的长度；（结果精确到个位）
(2）骑手在收到派单后立即赶往点A 处取餐并开始配送，骑手有两条送餐路线可选择：①4→ B → C ;② A→ E → D → C ．请通过计算说明，在速度相同的情况下，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到个位）

20.(8分）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O的弦，P 是⊙O 外的一点， PC⊥AB ，垂足为C ,PC 与BD 相交于点E ，连接PD ，且PD = PE ，延长PD 交BA 的延长线于点 F .
(1）求证：PD 是⊙O 的切线；
(2）若DF =4, PE =72, cs∠PFC =45，求OC 的长
21.(9分）3月22日"世界水日"，某中学数学活动小组到某住宅区调查了解住宅区去年用水情况．该数学活动小组从住宅区中随机抽样调查了50个家庭去年每个月的用水情况，根据调查数据得到两张统计图：图1是去年50个家庭的月总用水量折线统计图，图2是去年50个家庭月总用水量的频数直方图（不完整）．请根据统计图，回答下面问题：
(1）根据图1的信息，补全频数直方图(图2);
(2）去年50个家庭的月总用水量中，极差是 m3，中位数是 m3;
(3）根据上面数据，计算去年该住宅区每个家庭平均每月的用水量是多少？
22.(10分）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A , B 两种配件．已知购进50件A 配件和125件B 配件需支出成本20000元，购进40件A 配件和40件B 配件需支出成本12400元．
(1）求A , B 两种配件的进货单价；
(2）若该配件销售部门计划购进A , B 两种配件共400件，B 配件进货件数不低于A 配件件数的3倍．据市场销售分析，A 配件提价16％销售，B 配件的售价是进价的43．怎样安排A , B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？
23.(10分）如图，反比例函数 y＝kx与一次函数 y= ax + b 的图象交于点A (-2,6)，点B ( c ,1).
(1）求反比例函数与一次函数的表达式；
(2）点E 为y 轴上一个动点，若 S△AEB =5，求点E 的坐标；
(3）将一次函数y = ax + b 的图象沿y 轴向下平移n 个单位长度，使平移后的图象函数 y＝kx的图象有且只有一个交点，求n 的值。
24.(12分）如图，直线 l: y = x +6与坐标轴分别交于点A , C ，抛物线 L: y =ax2-2x+ c 经过点B (2,0)和点C ，其顶点为M ，对称轴与x 轴交于点H , P 是抛物线 L 上的一点，设点P 的横坐标为 m .
(1）求抛物线l的表达式，并经过计算判断抛物线l是否经过点A ;
(2）若点P介于点M , B 之间（包括端点），点D与点P关于对称轴MH 对称，作DE∥y轴，交l于点 E .
①当m =1时，求 DE 的长；
②若DE 的长随m 的增大而增大，求m 的取值范围；
(3）若点P 在第二象限，直接写出点P 与直线l距离的最大值。
25.(12分）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
【操作判断】
操作一：如图1，对折正方形纸片ABCD ，得到折痕AC ，把纸片展平；
封
操作二：如图2，在边AD 上选一点E ，沿BE 折叠，使点A 落在正方形内部，得到折痕BE;
操作三：如图3，在边CD上选一点F ，沿BF 折叠，使边BC 与边BA 重合，得到折痕BF .把正方形纸片展平，得图4，折痕BE , BF 与AC 的交点分别为G , H .
根据以上操作，得∠EBF= 。。
【探究证明】
(1）如图5，连接GF ，试判断△BFG 的形状并证明；
(2）如图6，连接EF ，过点 G作CD 的垂线，分别交AB , CD , EF 于点P , Q , M．求证：EM = MF .
【深入研究】
(3)若AGAC=1k，请求出GHHC的值（用含 k 的代数式表示）.
答案
一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．农历2025年是乙已蛇年，数字2025的倒数是（ C ）
A .2025. B .-2025 C.12025 D.﹣12025
2汉白玉葫芦瓶是中国古代玉雕艺术中的瑰宝，以其精湛的工艺和独特的形态而备受瞩目．作为一件具有重要历史价值和艺术价值的玉器，它展示了古代工匠的技艺和中国古代文化的瑰丽魅力．其实物图如图，下列关于视图的说法正确的是( B )
A ．主视图与俯视图相同 B ．主视图与左视图相同
C ．左视图与俯视图相同 D ．三种视图都相同
3．我国自主研发的人工智能"绝艺"获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，其中一个大数据中心能存储580亿本书籍，数据58000000000用科学记数法表示为（ B ）
A B C .58x109 D
4.小高同学和爸爸去超市采购物品，当把选好的物品放入购物车中时，小高发现购物车和物品放在一起的形状很接近于正五边形，如图所示，若把购物车和物品的形状抽象成几何示意图，则五边形ABCDE 是正五边形，且F , E , A 三点在一条直线上，连接EC ,则∠CEA 的度数为( D )
A .50° B .60° C .62° D .72°
5．已知图中的两个三角形全等，则a + b - c 是（ C ）
A .3 B .4 C .5 D .7
6．下列各式计算正确的是（ D ）
A .( x -2)( x +2)=x2-2 B .( a - b )2=a2- ab +b2 C .( a + b )2=a2+b2 D .(-3m+2)(-3m-2)=9m2-4
已知关于 x 的一元二次方程(a -1)x2-4x-1=0有两个实数根，则 a 的取值范围是( C )
A . a ≥-4 B . a >-3 C . a ≥-3且 a ≠1 D . a >-3且 a ≠1
8．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字"泉""城""济""南"的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字能组成"泉城"的概率是( C )
A.12 B.14 C.16 D.18
9．已知在正方形 ABCD 中，AB 长为6，分别以点A , B 为圆心，以大于AB 长度的一半为半径作弧，两弧交于M , N 两点，作直线MN ，交CD 于点E ，再分别以点A , E 为圆心，以大于AE 长的一半为半径作弧，两弧交于P , Q 两点，作直线PQ ，分别与AD , BC 交于点F , G ，那么四边形AFGB的面积为( B )
A.18 B.272 C.458 D.452
10.如图，抛物线 y =ax2-103x与直线y=43x+4经过点A（2，0），且相交于另一点B ；抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于另一点E；点N 在线段AB 上，过点N 的直线交抛物线于点M ，且MN∥y 轴，连接AM , BM , BC , AC．当点N 在线段AB 上移动时（不与点A , B 重合），下列结论中正确的是（ C ）
A. MN + BN < AB B.∠BAC =∠BAE C.∠ACB﹣∠ANM=12∠ABC D．四边形 ACBM 的最大面积为13
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11．要使分式x﹣22x+4有意义，则 x 的取值范围是 x≠﹣2 。
12．小李广花荣是《水浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3:1．将一支箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为 29π （结果用含＝的式子表示）
13.某位小朋友利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC =119°, AB∥DE ,∠D =80°,则∠ACD =
19 。
14．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．图1是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距450cm的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x ( s )，聪聪和慧慧行走的路程分别为y1( cm ),y2( cm ), y1，y2与x 之间的函数图象如图2所示．则图2中的n = 45 。
15．如图，在矩形ABCD 中，AB =4, AD =3．点E , F 分别在边AD , BC 上（点E 不与点A , D 重合）且AF∥CE , DP⊥AF于点P ，交CE 于点Q , BM⊥CE于点M ，交AF 于点N ．给出下面四个结论：①AC =5;②DQ = CM ;③四边形 PQMN 是矩形；④AC 平分四边形 PQMN 的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 ①③④ .
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.(7分）计算：2﹣3+82+（14）﹣1﹣2cs30°
=3﹣2+2+4﹣3
=4
17.(7分）解一元一次不等式组2x+5≤3（x+2）①2x﹣1+3x2＜1②，把解集在数轴上表示出来，并写出它的非负
整数解．
解不等式①得x≥﹣1
解不等式②得x＜3
不等式组解集为﹣1≤x＜3
解集在数轴上表示如下．
不等式组的非负整数解为0,1,2.
18.(7分）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做"筝形"．如图，四边形ABCD 是一个筝形，AD = CD ,AB =CB ，对角线AC 交BD 于点O .
求证：(1)AC ⊥ BD ;
(2)△AOB≌△COB .
证明：(1）在△ABD 和△CBD 中，AD=DCAB=CBDB=DB
∴△ABD ≌△CBD ( SSS )
∴∠ADB =∠CDB
∵AD = CD , ∠ADB = ∠CDB
∴DB⊥AC ，即AC⊥BD .
∵AC⊥BD
∴∠AOB = ∠COB
∵△ABD ≌△CBD
∴∠ABD = ∠CBD .
在△ AOB 与△ COB 中，∠AOB=∠COBOB=OB∠ABD=∠CBD
∴△ AOB≌△COB ( ASA ).
19.(8分）随着移动互联网的普及，外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分，某天，小明在位于点 C 处的家中购买了位于点 A 处某商家的外卖食品，外卖骑手收到派单后，立即赶往点 A 处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点 B 在点 A 的北偏西37°方向，点 C 在点 B 的北偏东60°方向， BC =1200m；点 D 在点 C 的正东方向， CD =400m；点 E 在点 D 的正南方向，且在商家 A 的正东方向， AE =700 m .（参考数据：3≈1.73,tan37°≈0.75, sin 37°≈0.6, cs37°≈0.8)
(1）求AB 的长度；（结果精确到个位）
(2）骑手在收到派单后立即赶往点A 处取餐并开始配送，骑手有两条送餐路线可选择：①4→ B → C ;② A→ E → D → C ．请通过计算说明，在速度相同的情况下，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到个位）

解：(1）如图，过点 B 作BF⊥AE ，交EA 的延长线于点F ，过点C 作CG⊥BF ，交FB 的延长线于点 G ,由题意，得四边形DEFG 是矩形，
∴EF = DG , FG = DE .
在Rt △BCG 中，BC =1200 m ,∠CBG =60°
∴BG = BC·sin60°=1200×32=6003m
∴EF =DG =(400+6003) m .
∴AF = EF - AE =400+6003-700=(6003-300) m .
∵点 B 在点 A 的北偏西37°方向，
∴∠BAF =90°-37°=53°.
在Rt △ABF 中，∠BFA =90°
∴∠ABF =90°-53°=37°.
AF1230( m ).
∴AB =（6003-300）÷0.6≈1230m
答： AB 的长度约为1230m.
(2)．点C 在点B 的北偏东60°方向，BC =1200m,
∴∠BCG =90°-60°=30°.
∴BG = BC·sin 30°=1200×12=600( m )
∵BF =（6003-300）÷0.75≈984m
∴DE =BF +BG =984+600=1584( m ).
①路线 A → B → C 的距离为 AB + BC =1230+1200=2430 m ,②路线 A → E → D → C 的距离为 AE + DE + DC =700+1584+400=2684 m
∵24300
∴w 随 m 的增大而增大．
当m =100时， w 取得最大值，最大值为20x100+8000=10000，此时400- m =300.
答：当购进100件 A 配件，300件 B 配件时，才能让本次销售的利润达到最大，最大利润是10000元
23.(10分）如图，反比例函数 y＝kx与一次函数 y= ax + b 的图象交于点A (-2,6)，点B ( c ,1).
(1）求反比例函数与一次函数的表达式；
(2）点E 为y 轴上一个动点，若 S△AEB =5，求点E 的坐标；
(3）将一次函数y = ax + b 的图象沿y 轴向下平移n 个单位长度，使平移后的图象函数 y＝kx的图象有且只有一个交点，求n 的值。
解：(1）把A (-2,6）代人 y =kx得 k =-2x6=-12
所以反比例函数表达式为 y =﹣12x
把 B ( c ,1）代人 y =﹣12x，得 c =-12，则 B (-12,1)
把 A (-2,6)，B (-12,1）代人 y = ax + b ,
得﹣2a+b=6﹣12a+b=1解得a=12b=7
所以一次函数表达式为 y=12x+7
(2）设 y =12x+7与 y 轴的交点为Q ，得Q (0,7)，设 E (0, m ),
∴S△AEB = S△REQ - S△ARO =5.
12m﹣7x(12-2)=5，解得 m1=6,m2=8.
∴点 E 的坐标为（0,6）或（0,8).
（3）n=7±26
24.(12分）如图，直线 l: y = x +6与坐标轴分别交于点A , C ，抛物线 L: y =ax2-2x+ c 经过点B (2,0)和点C ，其顶点为M ，对称轴与x 轴交于点H , P 是抛物线 L 上的一点，设点P 的横坐标为 m .
(1）求抛物线l的表达式，并经过计算判断抛物线l是否经过点A ;
(2）若点P介于点M , B 之间（包括端点），点D与点P关于对称轴MH 对称，作DE∥y轴，交l于点 E .
①当m =1时，求 DE 的长；
②若DE 的长随m 的增大而增大，求m 的取值范围；
(3）若点P 在第二象限，直接写出点P 与直线l距离的最大值。
解：(1）对于 y= x +6, x =0时，y =6，则点C (0,6),当 y =0时，得x =-6，则 A (-6,0).
∴B (2,0), C (0,6）代人抛物线，得4a﹣4+c=0c=6，解得a=﹣12c=6
∴抛物线 l 的表达式为 y=-12x2-2x+6
把 x =-6代人 y=﹣12x2-2x+6
得y =0,
∴抛物线 l 经过点 A
(2)①当m =1时， y =72
∴P（1，72）
由y=﹣12x2-2x+6=-(12 x +2)2+8知，抛物线l的对称轴为直线 x =-2,
∴D (-5,72).
将 x =-5代人 y = x +6，得 y =1,
∴E (-5,1)
∴DE =72-1=52
②设 P ( m ,﹣72m2-2m+6)，由点 D与点P 关于对称轴MH 对称，得 D (-m -4,-72m2-2m+6),
∵点 E 在直线y = x +6上，
∴E (- m -4,-m -4+6)，即E (-m -4,-m +2).
∴DE =﹣12m2-2m+6-(- m +2)=﹣12（m+1）2+92
又-2≤ m ≤2
∴若 DE 的长随 m 的增大而增大， m 的取值范围是-2≤ m ≤-1.
(3）924
25.(12分）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
【操作判断】
操作一：如图1，对折正方形纸片ABCD ，得到折痕AC ，把纸片展平；
封
操作二：如图2，在边AD 上选一点E ，沿BE 折叠，使点A 落在正方形内部，得到折痕BE;
操作三：如图3，在边CD上选一点F ，沿BF 折叠，使边BC 与边BA 重合，得到折痕BF .把正方形纸片展平，得图4，折痕BE , BF 与AC 的交点分别为G , H .
根据以上操作，得∠EBF= 。。
【探究证明】
(1）如图5，连接GF ，试判断△BFG 的形状并证明；
(2）如图6，连接EF ，过点 G作CD 的垂线，分别交AB , CD , EF 于点P , Q , M．求证：EM = MF .
【深入研究】
(3)若AGAC=1k，请求出GHHC的值（用含 k 的代数式表示）.
解：【操作判断】如图，标注∠1,∠2,∠3,∠4.
A ( C )
由题意可得∠1=∠2,∠3=∠4,
2∠2+2∠3=90°,
∴∠2+∠3=45°.
∴∠EBF =45°.
(1)△BFG 为等腰直角三角形，证明如下：
由题意可得∠EBF =45°,
∵四边形ABCD 是正方形
∴∠BCA = ∠ACD =45°
∵∠EBF =45°
∴△BHG∽△CHF .
∴BHHG=CHHF
∵∠GHF = ∠BHC
∴△BHC∽△GHF .
∴∠BCH = ∠GFH =45°
∴△ GBF 为等腰直角三角形．
(2）证明：△GBF 为等腰直角三角形，
∴∠BGF =90°, BG = FG
∴∠PGB + ∠QGF =90°
∵PQ⊥CD, CD∥AB
∴PQ LAB .
∴∠BPG = ∠GQF =90°
∵∠PBG + ∠PGB =90°, ∠QGF + ∠QFG =90°
∴∠PBG = ∠QGF
∴△ PBG≌△QGF ( AAS ).
∴∠PGB = ∠GFQ .
∵PQ∥AD
∴∠PGB = ∠AEB .
∠AEB 翻折得到∠BEF
∴∠AEB = ∠BEF .
∵PGB = ∠EGQ
∴∠BEF = ∠EGQ
∴EM = MG
∵∠BEF + ∠EFG = ∠EGQ + ∠FGQ =90°,
∴∠EFG = ∠FGQ
∴MG = MF
∴EM = MF .
(3)GHHC=k2﹣2k+2k2﹣2k